T.A. Edison

1. T.A. Edison Tajemství úspěchu v životě není v tom, že děláme, co se nám líbí, ale, že nacházíme zalíbení v tom, co děláme.

2. E2 Eukleidovská rovina Body Používáme homogenní souřadnice Vektory Budeme používat i označení u, v místo šipky z technických důvodů E3 Eukleidovský prostor

3. Množina všech geometrických vektorů v prostoru tvoří vektorový prostor dimenze 3. Skalární součin Skalární součin dvou vektorů je číslo. Velikost vektoru

4. Vektorový součin • Vektorový součin je vektor. Vektor u x v je kolmý k vektoru u i vektoru v Jsou-li vektory u a v lineárně nezávislé, je velikost ║u x v║ vektorového součinu u x v rovna obsahu rovnoběžníku, který určují libovolná umístění vektorů u a v se společným počátečním bodem. Kanonickou bázi budeme někdy značit i, j, k (i, j v rovině)

5. Body, přímky, úsečky, kružnice, kuželosečky, křivky, … Geometrické objektykoule, krychle, tělesa, rovina, kulová plocha, plocha, …Zobrazení, promítání, transformace, … • Kružnice je množina všech bodů v rovině, které mají od daného bodu konstantní vzdálenost Nepoužíváme souřadnice, popisujeme slovně (synteticky) vlastnosti objektu. V rovině je dána soustava souřadnic { O, i, j }. Každá rovnice Kde m, n, r (r>0) jsou reálná čísla popisuje kružnici. Objekt jsme popsali rovnicí, pomocí souřadnic jeho bodů – analyticky. Z rovnice umíme „odečíst“ souřadnice středu a poloměr kružnice.

6. Analytický popis roviny • Rovina je určena: třemi body, které neleží v jedné přímce, přímkou a bodem, který na ní neleží, dvěma různoběžkami, dvěma rovnoběžkami, bodem a přímkou, která je k rovině kolmá, … Ve všech případech máme k dispozici je- den bod roviny a její normálový (nenulo- vý) vektor, libovolné umístění tohoto vektoru je úsečka kolmá k dané rovině. Obecná rovnice roviny

7. Analytické vyjádření přímky v prostoru • Dva různé body v prostoru ur-čují jedinou přímku. Přímka je průsečnice dvou různoběžných rovin. Existuje jediná přímka procházející daným bodem, která je rovnoběžná s danou přímkou nebo kolmá k dané rovině. • Přímka je určena svým směrovým vektorem u= B-A a jedním bodem A X – A = t (B – A) X = A + t (B – A) X = A + t u

8. Příklady analytického vyjádření geometrických objektů • Kulová plocha • Koule • Krychle • Šroubovice • Válcová plocha

9. Šroubovice a válcová plocha

10. A A A A A A A Je toto podobnost A AJe toto také podobnost Transformace a zobrazení

11. Afinní transformace detailu obrazu

12. Transformace soustavy souřadnic V rovině jsou dány dvě soustavy souřadnic S= {O,i,j} a S’={O’, i’, j’}. Známe: souřadnice bodu O’ v soustavě S a vyjádření vektorů i‘ a j‘ v bázi { i,j }. Úloha: Bod X má souřadnice x, y v soustavě S a souřadnice x‘, y‘ v soustavě S‘. Vyjádřete x‘, y‘ v závislosti na x a y.

13. Transformace v rovině … Φ, Ψ, f, FPevná soustava souřadnicX, k, …vzory X’, k’, … obrazySamodružný bod f(A) = A, samodružná přímka f(a) = aZnáme: shodnosti, stejnolehlost, podobnost Otáčení kolem počátku soustavy souřadnic o úhel α

14. Translace = posunutí: vektor posunutí t = (a, b) Symetrie podle počátku soustavy souřadnic Symetrie podle os souřadnic

15. Stejnolehlost se středem v počátku a kvocientem k Změna měřítek na osách souřadnic (dilatace)

16. Afinita, afinní zobrazení Vlastnosti afinního zobrazení: • Transformace roviny • Obrazem přímky je přímka • Rovnoběžné přímky se zobrazí do rovnoběžných přímek • Zachovává dělicí poměr • Obrazem kuželosečky je kuželosečka stejného typu, obrazem kružnice je elipsa • Je určeno šesti parametry = třemi páry bodů vzor – obraz, vzory ani obrazy nesmí ležet na jedné přímce.