Функциональное программирование

1. Функциональное программирование Факультет инноваций и высоких технологий Московский физико-технический институт

2. Лекция 12 Деревья

3. Определение Дерево общего вида типа T – это • Элемент типа T с присоединенными к нему 0 и более деревьями типа T • Формально – связанный граф без циклов 1 2 3 4 5 6 7

4. 1 2 3 4 5 6 7 Описание • Лист – это терминальный элемент без поддеревьев • Узел – это элемент, содержащий значение и поддеревья type 'T tree = Leaf of 'T | Node of 'T*('T tree list);; let tr = Node(1,[ Node(2,[ Leaf(5)]); Node(3,[ Leaf(6); Leaf(7)]); Leaf(4)]);;

5. Обход дерева • Обход – это процедура, которая посещает каждый узел дерева один и только один раз let rec iter f = function Leaf(T) -> f(T) | Node(T,L) -> (f(T); for t in L do iter f t done);; let iterh f = let rec itr n = function Leaf(T) -> f n T | Node(T,L) -> (f n T; for t in L do itr (n+1) t done) in itr 0;; let print_tree T = iterh (fun h x -> printf "%s%A\n" (spaces (h*3)) x) T;;

6. Пример обработки: map map: (A → B) → A tree → B tree let rec map f = function Leaf(T) -> Leaf(f T) | Node(T,L) -> Node(f T,List.map (fun t -> map f t) L);; • print_tree (map (fun x->2*x) tr);; • В качестве упражнения опишите другие преобразования деревьев – отрубание листьев, maph, зеркальное переворачивание и т.д.

7. Пример дерева общего вида: структура директорий • Дерево неявно порождается с помощью генератора на каждом уровне • Возможный способ задания дерева! • В качестве упражнения – построение структуры директорий в виде дерева в памяти в явном виде #light open System.IO let rec tree path ind = Directory.GetDirectories path |> Array.iter(fun dir -> printfn "%s%s" (spaces (ind*3)) dir; tree dir (ind+1) );;

8. Чуть более сложный пример let rec du path = Directory.GetDirectories path |> Array.iter(fun dir -> let sz = Directory.GetFiles dir |> Array.map(fun f -> new FileInfo(f)) |> Array.fold_left (fun ac x -> ac+x.Length) 0L; printfn "%10d %s" sz dir; du dir );;

9. + 6 * 3 3 7 1 2 1 4 Двоичные деревья • Двоичное дерево типа T – это • Пустое дерево Nil • Элемент типа T с двумя поддеревьями – левым и правым

10. Взаимосвязь с дер.общ.вида • Двоичные деревья – это не есть частный случай деревьев общего вида: • Различие между левым и правым поддеревьями • Двоичное дерево может быть пустым 1 1 1 2 2 2

11. Сведение дерева общего вида к двоичному • Любое дерево общего вида может быть преобразовано к двоичному 1 1 2 2 3 4 5 3 5 6 7 6 4 7

12. Применение двоичных деревьев • Деревья поиска • Способ представления упорядоченных данных в памяти с эффективными алгоритмами добавления/удаления элемента и поиском • В неявном виде используются при определении структур данных типа ассоциативных таблиц, при индексировании и т.д. • Деревья выражений • Представление арифметических выражений с бинарными операторами

13. 6 3 7 1 4 Описание двоичного дерева • Лист – это терминальный элемент без поддеревьев • Узел – это элемент, содержащий значение и поддеревья type 't btree = Node of 't * 't btree * 't btree | Nil;; let tr = Node(6, Node(3, Node(1,Nil,Nil), Node(4,Nil,Nil)), Node(7,Nil,Nil));;

14. + * 3 1 2 Обходы двоичного дерева • КЛП, прямой, префиксный [+ * 1 2 3] • ЛКП, обратный, инфиксный [1*2+3] • ЛПК, концевой, постфиксный [1 2 * 3 +] • + 3 симметричных

15. Процедура обхода let prefix root left right = (root(); left(); right());; let infix root left right = (left(); root(); right());; let postfix root left right = (left(); right(); root());; let iterh trav f t = let rec tr t h = match t with Node (x,L,R) -> trav (fun () -> (f x h)) (fun () -> tr L (h+1)) (fun () -> tr R (h+1)); | Nil -> () in tr t 0;; let print_tree T = iterh infix (fun x h -> printf "%s%A\n" (spaces h) x) T;;

16. Отложенные вычисления • prefix/infix/postfix: • Переключатели типа обхода • (unit→unit)→ (unit→unit)→ (unit→unit)→unit • unit→unit – это функциональный тип • fun () -> … - создает функцию такого типа • () – вызов этой функции

17. Обход с аккумулятором • Производит инфиксный обход дерева • Вычисляет f(a1,f(a2,…,f(an,init))..) • Дерево в список: let fold_infix init f t = let rec tr t x = match t with Node (z,L,R) -> tr R (f z (tr L x)) | Nil -> x in tr t init;; let tree_to_list T = fold_infix [] (fun x l -> x::l) T;;