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第五章 数论导引. 1 素数和数的互素 除数 ( 因子 ) 的概念 : 设 z 为有全体整数而构成的集合,若 b≠0 且 使得 a=mb, 此时称 b 整除 a. 记为 b∣a, 还称 b 为 a 的 除数 ( 因子 ). 注 : 若 a=mb+r 且 0<r<b, 此时 b 不整除 a, 记为 b ┼ a 素数 ( 质数 ) 的概念 : 整数 p>1 被称为 素数 是指 p 的因子仅有 1,-1,p,-p 。. § 算术基本定理 :
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第五章 数论导引 1 素数和数的互素 除数(因子)的概念:设z为有全体整数而构成的集合,若 b≠0且 使得a=mb,此时称b整除a.记为b∣a,还称b为a的除数(因子). 注:若a=mb+r且0<r<b,此时b不整除a,记为b┼a素数(质数)的概念:整数p>1被称为素数是指p的因子仅有1,-1,p,-p。
§算术基本定理: 任何一个不等于0的正整数a都可以写成唯一的表达式a=P1α1P2α2…Ptαt,这里P1>P2>P3…>Pt是素数,其中αi>0 §最大公约数: 若a,b,c∈z,如果c∣a,c∣b,称c是a和b的公约数。正 整数d称为a和b的最大公约数,如果它满足 • d是a和b的公约数。 • 对a和b的任何一个公约数c有c∣d。 注:1*. 等价的定义形式是: gcd(a,b)=max{k∣ k∣a,k∣b} 2*.若gcd(a,b)=1,称a与b是互素的。
模 算术 全体整数而构成的集合对整数的加法和乘法的两种运算 是封闭的且满足算术运算的所有定律,此时我们称整数 集合z为整数环。整数环z对除法运算不封闭。 • 带余除法:a∈z,>0,可找出两个唯一确定的整数q和r,使a=qm+r, 0<=r< m,q和r这两个数分别称为以m去除a所得到的商数和余数。 (若r=0则m∣a) • 整数同余式和同余方程: 定义(同余)称整数a模正整数m同余于整数b,并写a≡b(mod m)是指m∣a-b, m称为模数。注:1*.m∣a-ba=q1m+r,b=q2m+r即a和b分别 除以m有相同的余数。“同余”二字的来源就在于此。
2*.相对于某个固定模数m的同余关系,是整数间的一种等价关系。具有等价关系的三点基本性质:2*.相对于某个固定模数m的同余关系,是整数间的一种等价关系。具有等价关系的三点基本性质: 自反性:对任意整数a有a≡a(modm) 对称性:如果a≡b(modm)则b≡a(modm) 传递性:如果a≡b (modm)b≡c(modm)则a≡c(modm) 于是,全体整数集合z可按模m(m>1)分成一些两两不交的等价类。 3*.整数模m同余类共有m个,他们分别为mk+0,mk+1, mk+2,…mk+(m-1); k∈z,每一个算一类,每一类都可以选一个代表元,一般选这一类中的最小的非负整数。于是称[0],[1],[2],…[m-1]为标准完全剩余系。Z模12的标准剩余系为:[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11]
4*. 对于某个固定模m的同余式可以象普通的等式那样相加相减和相乘: (1)a(mod m)±b(mod m)=(a±b)(mod m) (2)a(mod m)*b(mod m)=a*b(mod m)例子.通过同余式演算证明560-1是56的倍数,223-1是47的倍数。 解: 注意53=125≡13(mod56) 于是有56≡169≡1(mod56) 对同余式的两边同时升到10次幂, 即有56∣560-1。 其次, 注意26=64≡-30(mod47), 于是
223=(26)3·25=(26 · 26)26 · 25 ≡900*(-30)*(32) mod(47) ≡(7)(-30)*(32) (mod47) ≡1(mod47) 于是有 47∣223-1 定理:(消去率)对于ab≡ac(mod m)来说,若(a,m)=1则b≡c(mod m) 5*.一次同余方程ax≡b(mod m)这个方程有没有解,相当于问有没有那样一个整数x,使得对于某个整数y来说,有ax+my=b 定理:如记(a,m)=d,则同余方程ax≡b(mod m)有解的充分必要条件是d∣b。当这个条件满足时,恰有d个模m同余类中的整数是上述方程的解。 证明:略。(从ax+my=b入手)
6*.整数环z模正整数m得到的剩余类集合可以记为zm(或z/(m)) zm={[0],[1],…,[m-1]}6*.整数环z模正整数m得到的剩余类集合可以记为zm(或z/(m)) zm={[0],[1],…,[m-1]} 在4中已说明zm对剩余类的加法,乘法是封闭的,可列出它们的加乘表。(见书214页)。我们称为zm为剩余类环(或同余类环) 7*.在整数环z中是没有零因子的,即两个非零整数的乘积一定不等于0,但是剩余环则不然。 例z12中:[3]*[4]=[12]=[0] 说明,zm中的元素可分为两类,一类是零因子,即若α∈zm,α≠[0]存在β∈zm且β≠[0],有α*β=[0],称α,β都为zm中的零因子。另一类是可逆元,即若α∈zm,存在β∈zm使α*β=[1],此时α,β互为各自的逆元,记α-1=β;β-1=α
定理:剩余类环zm中元素α=[a]为zm的可逆元(a,m)=1定理:剩余类环zm中元素α=[a]为zm的可逆元(a,m)=1 要证明这个定理,只需证明下列引理: 引理:任意两个整数a和b都有一个最大公约数,这样一个最大公约数d可以表示成a,b二数关于整系数的线性组合,即有s,t∈z,使d=sa+tb。 证明:不妨设b>0,用辗转相除法,先用b去除a,得a=q1b+r1,0<=r1<b; (1) 如果r1=0,停止,否则再用r1去除b,得 b=q2r1+r2,0<=r2<r1; (2) 如果r2=0,停止,否则再用r2去除r1,得 r1=q3r2+r3;0<=r3<r2; (3) 等等,这样一直进行下去,可得一系列关系式: rk-3=qk-1rk-2+rk-1,0<=rk-1<rk-2; (k-1) rk-2=qkrk-1+rk,0<=rk<rk-1; (k)
由于历次所得的余数 r1> r2 >r3 >r4 >…rk>…>=0 是严格递降的一串非负整数,故最后总会 出现余数为0的情形: rk-1=qk+1rk (k+1) 所以,进行有限步必停止,此时d=rk=(a,b)定成立,这是因为 1*. 可见rk为a和b的公约数,只要按倒序分析自然有此结论。 2*. a和b的任何一个公约数c都是rk的约数,只要按正序分析,自然可知。 为证定理的后一部分,将式(1)做移项有 r1=s1a+t1b(其中s1=1,t1= -q1)再将式(2)右端通过移项变为r2=s2a+t2b 这样一直下去,最后得d=rk=s*a+t*b, s,t∈z
例子:求(180,252),并将他表示为180和252这两个数的一个带整系数的线性组合。例子:求(180,252),并将他表示为180和252这两个数的一个带整系数的线性组合。 解: 252=1*180+72 (1) 180=2*72+36 (2) 72=2*36 (3) 得(180,252)=36,同时有 72=252-1*180 (1 ) 由(2)得 36=180-2*72 (2 )将(1)代入(2 ),即得36=180-2*(250-180) =3*180-2*252
3 Format定理和Euler定理 §Format定理:如果p是素数并且a是正整数,p┼a,那 么,ap-1≡1(mod p) 证明: z*p≡{α∈zp∣(α,p)=1} 易见,z*p={1,2,3,…,(p-1)}且因为(a,p)=1知 a z*p={[a],[2a],[3a],…,[(p-1)a]}= z*p,原因是a z*p内的元素两两不同。他们刚好为1,2,3…,(p-1)的一个排列。所以[a]*[2a]*[3a]*…[(p-1)a]≡1*2*3*…(p-1)(modp)由 ((p-1)!,p)=1,所以 ap-1≡1(modp)注:易见对(a,p)=1 有ap≡a(modp)
§ Euler φ函数 定义(Eulerφ函数φ(n)): φ(n)是这样来定义的,当n=1 时,φ(1)=1;当n>1时,它的值φ(n)等于比n小而与n互素的正整数的个数。 以n=24为例,比24小而与24 互素的正整数为:1,5,7,11,13,17,19,23因此,我们有φ(24)=8。易见,若p为素数,则φ(p)=p-1。注:1*.若p,q都为素数且p≠q,此时有φ(pq)=φ(p)φ(q)=(p-1)(q-1) 证明:考虑zpq剩余类的集合是{0,1,2,…,(pq-1)}集合中与pq不互素的元素子集为{p,2p,…,(p-1)q}和子集 {q,2q,…(p-1)q}以及0,于是若设n=pq,有 φ(n)=pq-[(q-1)+(p-1)+1] =(p-1)(q-1)=φ(p)φ(q)
例:φ(21)=φ(3*7)=φ(3)φ(7)=2*6=12. 2*.设n= p1e1p2e2…prer,其中p1,p2,…,pr为互异素数,则φ(n)= p1e1-1p2e2-1…prer-1(p1-1)(p2-2)…(pr-1) =n(1-1/p1) (1-1/p2) (1-1/p3)… (1-1/pr) 3*.Euler公式 证明:考虑1/n,2/n,…n/n,然后化简成既约分数,分母为d的一类分数有φ(d)个,于是 §欧拉定理(Euler): 若整数a于整数n互素,则aφ(n)≡1(mod n) 证明:设小于n而和n互素的个正整数为 r1,r2,r3…,rφ(n) (1)
他们是模n两两互不同余的。对每一个定数i来说,由于a和ri都与n互素,所以(ari,n)=1,他们是模n两两互不同余的。对每一个定数i来说,由于a和ri都与n互素,所以(ari,n)=1, 所以ari同余于(1)中的某个ri’即 ari≡ri’(mod n),1<=i<=φ(n) 并且当i≠j时有ari /≡arj(mod n).于是, 为 的置换.所以有 由(ri,n)=1, 所以 注:1*. n=p时,有ap-1≡1(mod p)为Format定理! 2*.易见aφ(n)+1≡a(mod n) 3*.若n=pq,p与q为相异素数,取0<m<n,若(m,n)=1,有mφ(n)+1≡m(mod n),也即m(p-1)(q-1)+1≡m(mod n).
4*.对于3中,若(m,n)=p,或q,书中P220-P221给出了详细讨论。也同样有mφ(n)+1≡m(mod n)5*.由 (mφ(n))k≡1k(mod n) 知mkφ(n)≡1(modn), 进一步mkφ(n)+1≡m(mod n) mk(p-1)(q-1)+1≡m(mod n)
4 中国剩余定理 例子:(孙子算经)今有物不知其数。三三数之余二;五五数之余三;七七数之余二。问物几何? 答曰:二十三。 23≡2*70+3*21+2*15(mod 105) (口诀:三人同行七十稀,五树梅花廿一枝, 七子团圆月正半,除百零五便得知。) 问,70,21,15如何得到的? 原问题为: 求解同余方程组
注意:若x0为上述同余方程组的解,则x0=x0+105*k(k∈z) 也为上述同余方程组的解。有意义的是,解题口诀提示我们先解下面三个特殊的同余方程组 (1) (2) (3) 的特殊解 =? =? =? 以方程(1)为对象,相当于解一个这样的同余方程 35y≡1(mod 3),为什么呢? 原因是,从(1)的模数及条件知,x应是35的倍数,于 是可以假设x=35y有
35y≡1(mod 3)相当于2y≡1(mod)3解出y=2(mod3)于是x35*2 70(mod105) 类似地得到(2)、(3)方程的模105的解21、15。于是有 得
中国剩余定理:设自然数m1,m2,…mr两两互素,并记N=m1m2…mr,则同余方程组中国剩余定理:设自然数m1,m2,…mr两两互素,并记N=m1m2…mr,则同余方程组 在模N同余的意义下有唯一解。
证明:考虑方程组, (1<=i<=r) 由于诸mi(1<=i<=r)两两互素,这个方程组作变量替换,令x=(N/mi)*y,方程组等价于解同余方程: (N/mi)y≡1(mod mi)
若要得到特解yi,只要令 xi=(N/mi)yi 则方程组的解为 x0=b1x1+ b2x2+ …+ brxr (mod N) 模N意义下唯一。