刚体的转动

第五章 刚体的转动

、刚体的运动 质点运动 §1 一、刚体：（理想模型）在任何情况下都不发生变形的物体。条件：形变对结果影响可略二、刚体的运动 1、平动：刚体中任意两点的连线在运动中始终保持彼此平行。特点：刚体中各点运动情况 a、v 完全相同

2、定轴转动：刚体围绕某一固定直线作 圆周运动。特点：各质点的轨迹是圆，且垂直于固定直线转轴：一固定直线转动平面：垂直于转轴的平面刚体的一般运动 = 定轴转动 + 平动

ω 角速度矢量 ω M r 面平 v 动 θ 转 o 参 ω 考 ω 方向四指为转动方向拇指的指向为w。 x ω 定轴转动：刚体绕一固定不动的轴转动。转动平面：垂直于转动轴所作的平面

ω 角速度矢量 ω M r 面平 v 动 θ 转 o 参考 ω 方向 x ω v r = × ω 定轴转动：刚体绕一固定不动的轴转动。转动平面：垂直于转动轴所作的平面线速度与角速度的关系

w v (r ) 随位置变化各质点相同 b a (r ) ω = v r ω b w an v at r r v = = = × × × b a r = t v 2 ω a r = = 2 n r 二、描述转动的参量（在转动平面内讨论） 1、个体量（线量）整体量（角量） 2、线量和角量的关系

、力矩转动定律 M = F d r M = F × = F r sin j M F F j r M r d r 为力的作用点的位矢一、力矩 M 单位：kgm2s-2 1. 力在转动平面内 § 2

F F 1 M F r = × F = F1 + F2 r M = F2 F 转动 × r 2 平面 M ⊥F M⊥r 2. 力不在转动平面内将力分解 F1对转动无贡献。在定轴转动问题中，所指的力 F就是在转动平面内的分力 F2。

o ´ ω F 外力 i f i f 内力 F r i i i θ i j 对 Δ 质点 m m Δ i i i o f sin F sin m a j Δ θ + = i i i t i i i ω f cos F cos m r Δ 2 j θ = i i i i i i 二、转动定律应用牛顿第二定律：

(1) (2) b a r 并考虑到 = 式(1) r r r r r 得到： × i t i i i i i i f sin F sin m r j Δ b θ + = 2 i i i i i i f sin F sin m r Σ Σ j Σ Δ b θ + = 2 i i i i i i f sin F sin m a j Δ θ + = i i i t M i 0 i i J ω f cos F cos m r Δ 2 j θ = i i i i i i M J b = J = S Dmi ri 2 b 转动定律：

ω d M J b = = J dt 1. M一定，J b J 是转动惯性转动定律：可见：大小的量度。 2. M的符号：使刚体向规定的转动正方向加速的力矩为正。比较： F = maM = Jb 力 = 惯量 × 加速度平动平动平动转动　　转动　转动　力 =惯量 × 　　加速度

T T b 1 2 m a m m + a 1 2 T T m g 1 m g 2 1 2 r r b T T J = 1 r 2 1 J m 2 = 2 m g T m a = 2 2 2 r J T m m a g = 1 1 1 m m 1 2 a r b = 如图已知：圆盘惯量 J，m1、m2。试求：圆盘 b。解： [例1] T ≠ mg

b J R r b T T J = 1 2 R r m g T m a 1 = 1 1 1 a a = = b 1 2 T m m a 2 g = r T R T 2 2 2 1 2 m m 1 2 G1 G2 图示装置, 已知：r, R, J,m1 , m2 试求：圆盘 b。 [例2] T ≠ mg

1 2 m L = J 3 试求： L a mg sin M = θ 2 L L L 2 mg mg cos cos q q/J = = 2 2 mg b a b b = (θ) 一杆绕水平轴旋转，开始时处于水平位置，让它自由下落。 [例3] 解： = Jb = 3gcosq/2L

已知飞轮的 m，R，w。，m，闸尺寸如图所示，制动力F。求：飞轮转动的时间？ F r1 N r2 · 闸 · w f m dw = J dt 1 1 2 2 J J m m R R = = 2 2 [例4] 解：闸杆平衡 F ( r1+ r2 )= N r1 f = m N - f R = J b

F ( r1+ r2 )= N r1 f = m N Jw0 mR r1w0 t = = f R 2mF ( r1+ r2 ) dw = J dt 0 t 1 2 J m R ò ò = 2 w0 0 - f R = J b - f R dt = Jdw - f R t = - Jw0

一水缸如图所示 求：侧面所受的力和对底边的力矩 H dS h r L F = rghLdh = rgLH2 1 1 6 2 H H ò ò 0 0 M = ( H-h) rghLdh = rgLH3 [例5] 解： p = rgh F = pS dS = Ldh dF = pdS = rghLdh = ( H-h) rghLdh dM = r dF

如图，一直杆在平面上绕 O 轴旋转，已知：m、m、l，ω0。求当转速为原来的一半时所用的时间。 1 2 m l = J 3 x d M d = f d x ω df l o x [例6] 阻力矩

1 2 m l = J 3 ω l o 1 1 ω d 2 m l m m g l = m x d m d x 2 3 d x x d t = d M d = f l df d m g d m f = m x m g d x = l 1 m l ò m m g l M m g x d x = = 2 l ∵ 0 ω d = M J d t 解：

1 1 ω d 2 m l m m g l = 2 3 d t 3 m g ω t ò ò 0 d t ω d 3 m g = 2 ω 2 l ω d t d 0 = 0 2 l ω l t = 0 3 m g 3 m g ω ω t = 0 2 2 l 0 ∴

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