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Finger pattern のブロック化による 陰的 wavelet 近似逆行列前処理の 高速化

Finger pattern のブロック化による 陰的 wavelet 近似逆行列前処理の 高速化. 今倉　暁　　曽我部　知広　　張　紹良 名古屋大学　大学院工学研究科　計算理工学専攻. Outline. 近似逆行列前処理 Wavelet 近似逆行列前処理 Finger pattern のブロック化 [提案法] 数値実験 ・ 結果 まとめ ・ 今後の課題. 近似逆行列前処理. 最小二乗問題. ： M の j 番目の列ベクトル. 完全独立・並列化が容易. ： I の j 番目の列ベクトル. 近似逆行列前処理. 偏微分方程式を離散化した際の線形方程式

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Finger pattern のブロック化による 陰的 wavelet 近似逆行列前処理の 高速化

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Presentation Transcript

  1. Finger patternのブロック化による陰的wavelet近似逆行列前処理の高速化 今倉　暁　　曽我部　知広　　張　紹良 名古屋大学　大学院工学研究科　計算理工学専攻

  2. Outline • 近似逆行列前処理 • Wavelet近似逆行列前処理 • Finger patternのブロック化 [提案法] • 数値実験 ・ 結果 • まとめ ・ 今後の課題

  3. 近似逆行列前処理

  4. 最小二乗問題 ：Mの j番目の列ベクトル 完全独立・並列化が容易 ： I の j番目の列ベクトル 近似逆行列前処理 • 偏微分方程式を離散化した際の線形方程式 　を前処理付きKrylov部分空間法で解くことを考える. • 本研究では, 前処理として以下の近似逆行列前処理を扱う. • Mの計算.

  5. 近似逆行列前処理 0 0 0 0 • 実際に解く上で,M に要求される性質 疎行列である. 　　　　　 　が小さい. ・・・計算コスト ・・・近似逆行列の精度 Mの非零構造を考える.→A-1の構造を参考にする. 疎性と精度を両立させたい フィルタリングを行う 閾値　：　小 閾値　：　大 値 値 大 小 大 小 疎性　：　× 精度　：　○ 疎性　：　○ 精度　：　×

  6. Wavelet近似逆行列前処理

  7. Wavelet近似逆行列前処理 ～離散wavelet変換（DWT）～ L = 1 L = 2 4 L = 3 L : 任意パラメータ Wの非零構造

  8. Wavelet近似逆行列前処理 0 0 0 0 0 W 0 Finger pattern Finger pattern (S. C. Hawkins and K. Chen, 2006) (T. F. Chan et al., 1997) 疎性と精度の両立が可能 同値

  9. Wavelet近似逆行列前処理 Finger pattern Finger pattern 近似逆行列前処理 陰的wavelet近似逆行列前処理

  10. Wavelet近似逆行列前処理 ～wavelet依存性～ Watt 1 (n=1856) 前処理行列 の構築時間 反復法にかかる 時間 影響が少ない 本研究では WaveletをHaarに限定する 116 128 1.2 • DWTの精度に影響 Time[s] Sherman 4 (n=1104) • 近似逆行列の疎性に影響 0.4 • Daubechies 4 • 精度が高い • 疎性が低い • 計算コストが高い • Haar • 精度が低い • 疎性が高い • 計算コストが低い 反復回数 85 87 Daubechies4 Haar

  11. Finger patternのブロック化

  12. Finger patternのブロック化 ～従来法の問題点～ 最小二乗問題 近似逆行列の計算 問題点 近似逆行列の非零構造が 　　列ごとに異なる為, 異なる 　　部分行列に対して, QR分解 　　を合計n回行う必要がある. 陰的法を例に・・・ QR分解の結果を再利用する為に, Finger patternのブロック化を提案する. 本研究では, 陰的法に対してブロック化を行った. • QR分解 • 後退代入

  13. Finger patternのブロック化 従来法 提案法 A(:,Sj) mj(Sj) A(:,Sj) mj(Sj)

  14. Finger patternのブロック化 ～精度比較～ の非零構造 Theorem 1. Proof. 従来法　　提案法

  15. 数値実験・結果

  16. 数値実験 Test行列 • Poisson3Da (electromagnetics problem) • dw8192 (computational fluid dynamics problem) n = 13514, Nnz = 352726 n = 8192, Nnz = 41746 T b = (1,…,1) 前処理 • 陰的wavelet近似逆行列前処理[従来法] • 提案法 • ILU(0) 解法 • GMRES • 初期近似解 • 停止条件 T x = (0,…,0) |r |/|r | < 10 0 -8 n 0 計算環境 • CPU : PowerPC G5 2.5GHz • メモリ : 4.0GB • コード : Fortran77 • コンパイラ: g77　–O5

  17. 結果 QR分解 後退代入 ILU(0)の分解 GMRES 2.2倍 3.0倍 3.5倍 1.5倍 1.8倍 1.7倍 poisson3Da 反復回数 12 158　 158 159　 159 160　 160 57 Time[s] L= 5 3 4 従来法　提案法 従来法　提案法 従来法　提案法 ILU(0)

  18. 結果 dw8192 相 対 残 差 ―前処理なし ― 従来法　L=8 ― 提案法　L=6 ― 提案法　L=7 ―提案法　L=8 ― ILU(0) ０ 反復回数 ５００

  19. 結果 QR分解 後退代入 ILU(0)の分解 GMRES 指数関数的に 計算時間が増大 指数関数的に 計算時間が増大 計算時間は減少 449 230 316 dw8192 25 Time[s] 449 316 230 484 反復回数 ０ L= ６ ７ ８ 提案法　 　　　　 ILU(0)

  20. まとめ・今後の課題

  21. まとめ ・ 今後の課題 • 陰的wavelet近似逆行列前処理に対して, finger pattern　のブロック化を行った. • 最小二乗問題でのQR分解の結果を再利用すること　により, 全体で約1.5倍高速化された. • また, 従来法では収束しない問題に対しても収束す　る場合もみられた. • 提案法は従来法に代わる有効な解法になり得る. • 今後の課題 • 前処理行列の構築の更なる高速化 • アルゴリズムの並列化及び実装

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