Võrrandite lahendamine .

1. Võrrandite lahendamine. Bruno DELACOTE Collège de MASEVAUX

2. Võrrandid Probleemid Ruudud ja ristkülikud Meetodid Probleemid vanusega Võrrandax = b Diophantos elu Sõnastik Kahe murru võrdus Mõned võrrandid.

3. Kas on võimalik, et ruudu ja ristküliku ümbermõõdud on omavahel võrdsed? x x + 4 x - 2 Katseta mõne xväärtusega. Avalda ruudu ja ristküliku ümbermõõtxkaudu. Mida märkad?

4. Kas on võimalik, et ruudu ja ristküliku ümbermõõdud on omavahel võrdsed? x x + 4 x - 2 Ruudu ümbermõõt avaldatudx kaudu: Pc = 4x Ristküliku ümbermõõt avaldatudx kaudu: Pr = 4x + 4 Need kaks ümbermõõtu ei saa olla võrdsed! Pr > Pc kunaPr = Pc + 4

5. Kas on võimalik, et ruudu ja ristküliku pindalad on omavahel võrdsed? x x + 4 x - 2 Katseta mõne xväärtusega.

6. x x + 4 x - 2 Kas on võimalik, et ruudu ja ristküliku pindalad on omavahel võrdsed? Arvuta ruudu ja ristküliku pindala, kui x väärtusteks on täisarvud vahemikust 2 kuni 10. Selgub, et pindalad on võrdsed, kui x = 4 .

7. x x + 7 x - 3 Muudame andmed ning võrdleme jälle ruudu ja ristküliku ümbermõõte ja pindalasid Sümbolites:Pr > Pc kunaPr = Pc + 8 Kas on võimalik, et ruudu ja ristküliku pindalad on omavahel võrdsed? Arvuta ruudu ja ristküliku pindala, kui x väärtusteks on täisarvud vahemikust3 kuni 11.

8. Paneme tähele, et kuix < 5, ruudu pindala on suurem kui ristküliku oma, kuix > 5, ristkülikupindala on suurem kui ruudu oma.

9. x x + 7 x - 3 Avalda ruudu ja ristküliku pindalaxkaudu Ristküliku pindala: (x + 7)(x - 3) Ruudu pindala: x² Pindalad on võrdsed kuix² = (x + 7)(x - 3)

10. Pindalad on võrdsed kuix² = (x + 7)(x - 3) x² = x² - 3x+ 7x -21 0 = 4x -21 x = 21:4 x = 5,25

11. Kontroll 21/4 + 7 = 5,25 + 7 = 12,25 Kuix = 21/4 21/4 - 3 = 5,25 - 3 = 2,25 5,25 12,25 27,5625 27,5625 2,25 5,25 x 5,25 = 27,5625 12,25 x 2,25 = 27,5625

12. Lahendada proovimise teel ei ole alati otstarbekas... Näiteks Kuix = 1 4x(1)+ 6 = 10 Samal ajal 3x(1) - 5 = - 2 Võrrandi osad 1ei ole selle võrrandilahend kuna, kuix = 1 vasakpool3x + 6 erinebparempoolest4x - 5. ....Liiga kaua aega võtab! Proovime eraldadamuutujax ja saada x = ( lahendus) MIDA TEHA?

13. Võrrandi mõlemale poolele saab liita ühe ja sama arvu.Teeme seda 4x + 6 = 3x - 5 Liites-6 paremale ja vasakule, me ühendame teatud arvud: 4x + 6- 6=3x - 5- 6 Seega4x = 3x - 11

14. Kasutades sama reeglit me võime liita või lahutada ka tundmatuid. 4x = 3x-11 Lahutades3x vasakult ja paremalt me ühendame tundamtud ning viime need vasakule: 4x- 3x=3x - 11- 3x x = -11 seegax = -11

15. Asendame võrrandisxarvuga -11. Arvutame eraldi vasaku ja parema poole. Mis saame? Mis tähendab « lahendada võrrand » ? Kontrolli, kasx = -11on võrrandi4x + 6 = 3x – 5lahendus kuna x = -11 siis 4 · (-11) + 6 = -38 3· (-11) - 5 = -38

16. Tuleb viia tundamatud (x) vasakule. Millised liikmed tuleb emaldada ? Teine võrrand : 5x - 3 = 2 - 4x Kuidas emaldada -3 ? Liites3võrrandi mõlemale poolele Kuidas emaldada-4x ? Liites4xvõrrandi mõlemale poolele Millise võrduse võid kirjutada ? 5x - 3 = 2 - 4x + 3 + 4x + 3 + 4x 9x = 5

17. 5x - 3 = 2 - 4x5x -3+ 3+ 4x=2 - 4x+ 3+ 4x9x = 5 Esmalt võib kirjutada nii…. 5x - 3 = 2 - 4x Tee seda peast +4x +3 +4x+3 5x+ 4x=2+ 3 9x = 5 Ma ei saanud hästi aru!

18. 9 9 9x = 5 Võrrand, mille jaoks tuleb kasutada teist reeglit. Võrrandi mõlemaid pooli võime korrutada või jagada ühe ja sama arvuga, mis erineb nullist. Jagades 9x 9-gajääb x vasakule poole“=“märgist paremale aga ilmub 5/9 seega

19. Lihtsustamine : avame sulud…. koondame sarnased liidetavad…. Võrrandi lahendamine: tundmatud vasakule, arvud paremale. Võrrandi lahendonarv, mis muudab võrrandi tõeseks võrduseks. Kontroll: asendame tundmatu leitud arvuga, kontrollides, kas see ongi võrrandi lahend. Et tõepoolest saada aru Tahan jälle näha tundi

20. Kaks probleemi Ruudu ja ristküliku ümbermõõdud on omavahel võrdsed.Ristküliku laius on võrdne poole ruudu küljega, aga ristküliku pikkus on 10 cm pikem kui ruudu külg. Arvuta ruudu ja ristküliku mõõtmed. Ruudu pindala on 1400m² võrra väiksem kui teise ruudu pindala, mille külg on 20 m pikem. Arvuta ruutude mõõtmed. Antud olukorras aitab lahendada joonis

21. x/2 x x + 10 Ruudu ja ristküliku ümbermõõdud on omavahel võrdsed.Ristküliku laius on võrdne poole ruudu küljega, aga ristküliku pikkus on 10 cm pikem kui ruudu külg. Arvuta ruudu ja ristküliku mõõtmed. 4x = 2(1,5x + 10) 4x = 3x +20 x = 20

22. Ruudu ja ristküliku ümbermõõdud on omavahel võrdsed.Ristküliku laius on võrdne poole ruudu küljega, aga ristküliku pikkus on 10 cm pikem kui ruudu külg. Arvuta ruudu ja ristküliku mõõtmed. 10m 20m 30m 4x = 2(1,5x + 10) x = 20

23. Ruudu pindala on 1400m² võrra väiksem kui teise ruudu pindala, mille külg on 20 m pikem. Arvuta ruutude mõõtmed. x + 20 20 20x 20 x 20 x x x² 20x (x + 20)( x + 20) - x² = 1400 x² + 20x + 20 x + 400 - x² = 1400 x = 25m

24. Veel kaks probleemi Esimese ristküliku mõõtmed onx ja x + 5. Teise ristküliku mõõtmed on x + 6 ja x + 11, ning selle pindala on100cm² võrra suurem kui esimese oma. Arvuta mõlema ristküliku mõõtmed. Ruudul küljegax on sama pindala kui ristkülikul laiusegax - 8 ja pikkusegax + 4. Arvuta ruudu ja ristküliku mõõtmed. x < 0 … probleemil ei ole lahendust !

25. 23 23 Strateegiad raskemate võrrandite jaoks Võrrandid tuleb lihtsustada nii, et saada vähemalt: ax + b = cx + d Kasutame võrde omadust. 7(5x + 2)=3(4x - 5) 35x + 14=12x - 15 35x + 14 - 12x -14 =12x -15 - 12x-14 Reegel 1 35x - 12x = -15 -14 23x = -29 Reegel 2 Seegax = - 29/23

26. Teisenda võrrand võimalikult lihtsamaks kujuks Soovitusi 4x(x - 6) + 7x= (2x - 5)(2x - 8) - x Alustame sellest, etavame sulud 4x² - 24x + 7x= 4x² - 16x - 10x + 40 - x Koondame sarnased liidetavad 4x² - 17x = 4x² - 27x + 40 Nüüd viime liidetavad vastavale poolele x = 4 4x² - 17x = 4x² - 27x + 40 4x² - 17x - 4x²+ 27x = 4x² - 27x + 40 + 27x - 4x² 10x = 40 x = 4

27. Ohtlikud kohad Tehete järjekord...Jagamine toimub peale lahutamist, sellepärast tuleb lisada sulud. NB ! Teisendame murrud ühenimelisteks: ühenimelised murrud on võrdsed kui võrdsed on nende lugejad. 70x - 42 - ( 147x -21 ) = 48x + 24 - 420 70x - 42 - 147x + 21 = 48x + 24 - 420 -77x - 21 = 48x -396 -77x - 21 - 48x +21 = 48x -396 - 48x +21 -125x = -375 x = 3

28. Teine võimalus Tähelepanu: miinusmärk murru ees! Kahe murru võrdus 7(10x - 6 - 21x + 3) = 12(4x - 33) Tähelepanu: miinusmärk sulgude ees ! 7(-11x - 3) = 48x - 396 -77x - 21 = 48x -396 -77x - 21 - 48x +21 = 48x -396 - 48x +21 -125x = -375 x = 3

29. Ülesanded 3x + 2 = 5 4x - 6 = 5 4x + 3 = 7x - 3 6x - 1 = 3x + 2 2(3x + 4) - 5(x + 3) = 3x - 7 2(2x + 3) - 4(x - 3) = 2x - 7 (2x - 4)(3x - 2) = 6x2 (3x - 2)(2x + 3) = 6x2 x = 1 x = 2,75 x = 2 x = 1 x = 0 x = 12,5 x = 0,5 x = 1,2 x = - 0,7 x = - 4/3 x = - 3,5 x = 7/3 x = - 2,4 x = 1,2

30. Probleemid vanusega Isa on 40-aastane ning poeg on 9-aastane. Mitme aasta pärast on isa kaks korda vanem kui tema poeg? Olgux möödunud aastate arv. Koostame nüüd tabeli. Vanus Isa Poeg Praegu 40 9 x aastat pärast 40 + x 9 + x x = 22 x aastat pärast40 + x = 2 (9 + x) Poeg sündis, kui isa oli 31-aastane. Siiskui isa on 62-aastane, tema poeg on 31-aastane Seega 22 aasta pärast isa on kaks korda vanem kui tema poeg!

31. Isa on 40-aastane ja tema tütar on 23-aastane. Mitme aasta pärast on isa kaks korda vanem kui tema tütar ? Olgux möödunud aastate arv. Koostame nüüd tabeli. vanus isa tütar praegu 40 23 x aastat pärast 40 + x 23 + x x = -6 x aasta pärast40 + x = 2 (23 + x) 6 aastat tagasi oli isa kaks korda vanem kui tema tütar! Väga noor 17-aastane isa !!!

32. Suzanne on 39-aastane; tema lapsed Michel on 17-aastane ja Isabelle 15-aastane. Kui vana on Suzanne kui tema vanus võrdub tema kahe lapse vanuste summaga? Olgux möödunud aastate arv. Koostame nüüd tabeli. Vanus Michel Isabelle Suzanne praegu 39 17 15 x aastat pärast 17 + x 15 + x 39 + x x = 7 x aastat pärast39 + x = 17 + x + 15 + x Seega 7 aasta pärast Suzanne on 46-aastane, Michel on 24-aastane ja Isabelle on 22-aastane.

33. Mees on 44-aastane ja tema tütar on 23-aastane. Mitme aasta pärast on isa kaks korda vanem kui tema tütar ? Kasuta eelnevaid näiteid. võrrand : 44 + x = 2( 23 + x) lahendus x = - 2 ja tõepoolest, 2 aastat tagasioli tütar 21-aastane ja tema isa 42-aastane

34. Grégoire on 39 aastane; tal on kakslast: 17 ja 15-aastased. Kui vana on Grégoire,kui tema vanus võrdub tema kahe lapse vanuste summaga Kasuta eelnevaid näiteid Grégoire vanus : Mickael vanus : Anabelle vanus : 39 + x 17 + x 15 +x Saame võrrandi: 39 + x = 17 + x + 15 + x x=7 Seega 7 aastat pärast Grégoire on 46-aastane, Mickael on 24-aastane ja Anabelle on 22-aastane.

35. Diophantos veetis lapsepõlves üks kuuendik oma elust, üks kaheteiskümnendik nooruses; ta elas veel seitsmendik oma elust enne kui abiellus, ja viis aastat hiljem tal sündis poeg, kes juhuslikult suri4 aastat varem kui Diophantos. Kui vanaks elas Diophantos, kui on teada, et ta elas kaks korda rohkem kui tema poeg? Olgu x Diophantose eluaastate arv

36. Olgu x Diophantose eluaastate arvja avaldame iga eluperioodixkaudu Diophantos veetis lapsepõlves üks kuuendik oma elust, üks kaheteiskümnendik nooruses; ta elas veel seitsmendik oma elust enne kui abiellus, ja viis aastat hiljem tal sündis poeg, kes suri4 aastat varem kui Diophantos. Kui vanaks elas Diophantos , kui on teada, et ta elas kaks korda rohkem kui tema poeg x/6 x/12 x x/7 5 Poja elu kestvus ? x/2 4 Ma ei saa aru Kontrollida tulemus

37. Teame, et Diophantos elas kaks korda rohkem kui tema poeg Lapsepõlv x/6 Noorus x/12 5 aastat x/7 x/2 4 aastat abiellumine Diophantose sünd Diophantose surm poja sünd Diophantos on täiskasvanu poja surm Koostame ja lahendame võrrandi

38. x = 84 aastane

39. Diophantos elas 84 aastat Ei usu!

40. Veel probleeme Charles ostis25 vihikut; kui üks vihik maksaks 50 senti vähem, siis ta ostaks 5 vihikut rohkem. Kui palju maksis üks vihik? Olgu xvihiku hind kroonides. Charles ostis25 vihikut ja maksis Kui iga vihik maksaks Siis ta ostaks neid ja maksaks 25x x - 0,5 kr ( 50 senti maha) 30 (5 vihikut rohkem) 30( x - 0,5) 25x = 30( x - 0,5) Üks vihik maksis 3 kr

41. Auto paak on täidetud bensiiniga 1/6 selle ruumalast. Kui lisada 281 siis paak on täidetud 3/4. Arvuta paagi ruumala. Kas leidub sellist klassi, kus kolmandik õpilastest parajasti kirjutavad, seitsmendik loeb ning kolm õpilast joonestab?

42. Auto paak on täidetud bensiiniga 1/6 selle ruumalast. Kui lisada 281 siis paak on täidetud 3/4. Arvuta paagi ruumala.. Olgu xautopaagi ruumala Võimalik võrrand 28 liitrit x Paak sisaldab nüüd 3x/4 oli x/6 336 = 7x x = 48 Autopaagi ruumala on 48 liitrit.

43. Kas leidub sellist klassi, kus kolmandik õpilastest parajasti kirjutavad, seitsmendik loeb ning kolm õpilast joonestab? Võimalik võrrand Olgu klassisxõpilast: x/3 õpilastest kirjutavad (4/7)xõpilastest joonestavad 63 = 2x 3 õpilast joonestavad x = 31,5 Terve klass!