关于高等代数中几个问题的思考

1. 关于高等代数中几个问题的思考 2008年七月

2. 关于高等代数中几个问题的思考 关于高等代数中几个问题的思考 今天讲一下高等代数中常见的几种思想方法. 反证法应用举例 由特殊到一般 由具体到抽象

3. 引理　设a是一个大于１的自然数，则 一定有素数　　　　 因子. 反证法应用举例 反证法应用举例 反证法是一种证明数学问题常见的思想方法，遇到一个数学问题时，如果从正面无法证明，就应考虑用反证法. 其基本原理是：如果一个问题的结论可能出现A1，A2，A3，…，Am种结果，若能否定其中的m-1种情形，那必然只有一种结果出现，最常见的是m=2的情形． 例1　证明素数有无穷多个. 为了证明这个结论，先证一个引理

4. 引理　设a是一个大于１的自然数，则 一定有素数因子. 证明：若 本身是一个素数，结论成立． 若 是一个合数，则 若 有一个素数，结论成立 若 都是合数，则 于是， 若 有一个素数，结论成立 若 都是合数，重复上面的步骤，因为 是一个有限数，经有限步后 而 都是素数. 例如　100＝2×2×5×5

5. 设共有n个为 令 若 本身是素数， 显然它与 不同, 若 是合数，由引理,则 一定有一个素数因子 ， 可知 与 不同, 因为若 与 中某一个相同，则 而 ,于是 . 即 矛盾． 反证法应用举例 反证法应用举例 例1证明素数有无穷多个. 证明：反证法 若素数有限， 故素数有无穷多个。

6. 例２f 是有限集Ａ到A的一个单射　 f 是A到A的一个满射。 证明 设 反证法　　若f 不是单射，则至少Ａ中某两个元素的像相同，这样 ，于是，f 不是满射,矛盾，故f 是单射。 反证法应用举例 反证法应用举例 • 若f 是Ａ到Ａ的一个单射，要证f 是一个满射． 反证法　若f 是一个满射，Ａ中至少有一个元素没有原像，不妨设an无原像，这样Ａ中的n个元素的像构成的集合只有n-1个元素，所以Ａ中至少有某两个元素它们的像相同，与f 是单射相矛盾，故f 是满射。 • 若f 是一个满射，要证f 是一个单射．

7. 反证法应用举例 反证法应用举例 例３设f(x) 是一个整系数多项式，试证：如果f(0)与f(1)都是奇数，那么f(x)不能有整数根。 证 反证法　若f(x)有一个整数根α，于是　 由综合除法知f1(x)也是整系数多项式，于是 因为- α与(1- α)中有一个为偶数，从而f(0)与f(1)中至少有一个为偶数，与题设矛盾，故f(x)无整数根．

8. 由特殊到一般 由特殊到一般 在考虑某个一般性问题时，如果没有思路，可先考察其特殊情形，然后再去推测、想象一般情形。 下面举例说明这种思想方法： 例４计算n阶行列式。

9. 由特殊到一般 由特殊到一般 解： 先考虑n=5的情形： 从最后一行起，后一行减去前一行，得

10. 由特殊到一般 由特殊到一般 然后把2,3,4列都加到第一列，得

11. 由特殊到一般 由特殊到一般 把2,3,4列都加到第一列，得 再用第一列加到其余各列，得

12. 由特殊到一般 由特殊到一般 所以

13. 由特殊到一般 由特殊到一般 例５设Ａ 是m×n矩阵，其秩小于n，证明存在n阶非零矩阵C，使得AC=0。(见教材P114定理3.1.6） 证明: (1)先看一个特殊情形 秩A=2<3 作乘法AB时,A中的1碰不上B中1，所以AB=0

14. r 行 (分块矩阵) 构造 由特殊到一般 由特殊到一般 （２）再看一个比较一般的情形: 秩A= r < n

15. 由特殊到一般 由特殊到一般 （3）一般情形: 秩A= r < n 受(1),(2)的启发,发现等价标准形起着很重要的作用. 由秩A =r 知,Ａ经初等变换可化为 即存在m阶可逆矩阵Ｐ与n阶可逆矩阵Ｑ，使得

16. 显然 即 由特殊到一般 由特殊到一般 作 令　QB=C 则QB≠0 (为什么？) C便找到了。

17. 图1 由具体到抽象 由具体到抽象 向量空间是一个很抽象的概念，它是怎样产生的呢？ 例６设V3={空间中的所有向量}（如图1） 空间解析几何知识告诉我们 加法遵照平行四边形法则。

18. 还是一个Ｖ3中的一个向量. 由具体到抽象 由具体到抽象 R是实数集，k∈R. 向量的加法与数乘向量还满足以下性质:

19. 由具体到抽象 由具体到抽象 例7F是一个数域, 我们知道矩阵有一个加法运算

20. 由具体到抽象 由具体到抽象 并且这两种运算也满足

21. 由具体到抽象 由具体到抽象 例8V={全体正实数},R是实数域,给V规定一个加法运算. 给V与R之间规定一个数乘运算: 且满足以下性质:

22. 由具体到抽象 由具体到抽象 [注:1类似于例6,例7中的零向量与零矩阵]

23. 由具体到抽象 由具体到抽象 验证 5),6),7),8)

24. V有一个叫做加法的运算.加法用记号“ ”表示,即任意的α,β∈V, F中的数与V的元素有一个叫乘法的运算.乘法用“ ”表示,即任意的k∈Ｆ，任意的α∈Ｖ，k α∈Ｖ 由具体到抽象 由具体到抽象 以上3个例子研究的对象不同,分别是空间中的向量,n阶矩阵,正实数,但是大家已看出它们共有的性质,抛开具体元素的属性,抽象出它们共同的性质便得到向量空间的概念. 定义设V是一个非空集合,F是一个数域,把V中元素用字母α,β,γ…,表示,F中的数用a,b,c, k,…,表示，如果下列条件被满足，就称Ｖ是Ｆ上的向量空间． 1. 2.

25. 由具体到抽象 由具体到抽象 上述两种运算满足下列规则： 3. [称θ为Ｖ的零元素]

26. 谢谢各位, 再见!