کنترل پیش بین مبتنی بر مدل مقاوم

1. کنترل پیش بین مبتنی بر مدل مقاوم ارائه دهنده : فروغ شمسی استاد درس : دکتر توحیدخواه

2. فهرست مطالب • مقدمه • تعریف مسأله MPC مقاوم • انواع توصیفات عدم قطعیت • تحلیل مقاوم بودن • طراحی کنترل مقاوم MPC • شبیه سازی • نکات تکمیلی • جمع بندی

3. تعاریف • MPC یک روش کنترل مبتنی بر مدل است. • یک چالش مهم در MPC میزان مقاوم بودن آن در مقابل عدم قطعیت مدل و نویز است. • مقاوم بودن یک سیستم کنترل به معنای برقراری ویژگی هایی نظیر پایداری و برخی مشخصات عملکرد در محدوده خاصی از تغییرات مدل و نیز کلاس خاصی از سیگنال های نویز است. • مقاوم بودن یک الگوریتم کنترلی باید در یک محدوده مشخص از عدم قطعیت و معیارهای معین پایداری و عملکرد بیان شود.

4. فرمول بندی مسأله MPC • فرض کنیم مدل سیستم به صورت روبرو باشد : • پیاده سازی کنترل پیش بین اغلب بر مبنای حل حلقه باز مسأله بهینه سازی زیر است:

5. الگوریتم کنترل MPC • قانون کنترلی از الگوریتم زیر به دست می آید : • خروجی کنونی را به دست می آوریم. • مسأله بهینه سازی را حل می کنیم. • اولین سیگنال کنترل را اعمال می کنیم. • k+1k و به گام 1 باز می گردیم.

6. چالش ها • مسائلی که در MPC مطرح است : • امکان پذیری • پایداری • محاسبات • فرض بر این است که مدل سیستمی که آن را کنترل می کنیم و نیز مدلی که برای پیش بینی و بهینه سازی از آن استفاده می کنیم، یکسان هستند.

7. تعریف مسأله MPC مقاوم • در بحث مقاوم بودن فرض قبل را کنار گذاشته و فرض می کنیم: • سیستم واقعی است که S یک خانواده از سیستم های LTIاست. • نویز اندازه گیری نشده w(k) به سیستم وارد می شود : که در رابطه بالا و Wیک مجموعه داده شده است. زمانی مفاهیمی مانند پایداری مقاوم، اجرای محدودیت ها به طور مقاوم و عملکرد مقاوم را برای یک قانون کنترل MPC به کار می بریم که هر یک از این ویژگی ها برای همه و های ممکن برقرار باشد.

8. چالش ها در مدل سازی سیستم • به عنوان بخش مهمی از مدل سازی لازم است تعریف مناسبی از عدم قطعیت داشته باشیم (مجموعه های S و W). • این کار دشوار است، زیرا یک پروسه سیستماتیک برای این کار وجود ندارد.  • از یک سو توصیف عدم قطعیت باید مقید باشد، بدین معنا که شامل هیچ گونه پلنت اضافه ای که در شرایط واقعی وجود ندارد، نباشد. • از سوی دیگر، میان واقع گرایی و پیچیدگی محاسبات منتجه برای تحلیل و طراحی کنترل کننده، یک trade off وجود دارد.

9. انواع توصیفات عدم قطعیت • پاسخ ضربه / پله • عدم قطعیت ساختار یافته فیدبک (Feedback Structured Uncertainty) • عدم قطعیت Multi-plant • عدم قطعیت Polytopic • اغتشاشات ورودی محدود (Bounde Input Disturbances)

10. عدم قطعیت پاسخ ضربه/ پله • عدم قطعیت بر روی ضرایب پاسخ ضربه یا پله، یک توصیف عملی از عدم قطعیت را در بسیاری از کاربردها فراهم می کند. • پاسخ پله و ضربه به سادگی از طریق آزمایشات عملی به دست می آیند. • عدم قطعیت به صورت محدودههایی برای ضرایب پاسخ ضربه و/یا پاسخ پله توصیف می شود. • در این توصیف، امکان محاسبه ساده پیش بینی های مقاوم فراهم می شود.

11. فرمول بندی عدم قطعیت • عدم قطعیت برای پاسخ ضربه یک سیستم SISO • عدم قطعیت برای پاسخ پله یک سیستم SISO توصیفات پاسخ پله و ضربه تنها زمانی معادل یکدیگرند که عدم قطعیت وجود نداشته باشد و در صورت وجود عدم قطعیت متفاوت رفتار خواهند کرد!

12. مشکلات توصیف عدم قطعیت به صورت ترم های پاسخ ضربه • توصیف عدم قطعیت به صورت ترم های پاسخ پله

13. راه حل • محدوده های پیشنهاد شده ممکن است منجر به یک پاسخ پله/ ضربه شدیداً نوسانی شود، در حالی که سیستم مورد مطالعه یک سیستم فرامیرا باشد! • در نتیجه این توصیف ممکن است عدم قطعیت های فرکانس بالا را به صورت مصنوعی ایجاد کند و منجر به یک طراحی محافظه کارانه شود. • اگر در رابطه عدم قطعیت بیان شده برای ضرایب پاسخ ضربه، ضرایب متغیر با زمان باشند، با وجود ورودی ثابت، ممکن است خروجی متغیر باشد که این مسأله اغلب برای ما نامطلوب است. • اگر سیستم را به صورت زیر بنویسیم مشکل حل خواهد شد:

14. جمع بندی • در نظر گرفتن عدم قطعیت به صورت ضرایب پاسخ ضربه یا پله که در بازه هایی تغییر می کنند بدون در نظر گرفتن اقدامات احتیاطی، به ندرت مورد استفاده قرار می گیرد. • این توصیف در مقایسه با سایر توصیفات عدم قطعیت، منجر به الگوریتم محاسباتی ساده تر در طراحی MPC مقاوم می شود.

15. تعریف • یکی از مهمترین شیوه های نمایش عدم قطعیت در کنترل مقاوم، در نظر گرفتن عدم قطعیت یا اغتشاشات در حلقه فیدبک یک سیستم LTI است. • ∆i ها فاکتورهایی مانند پارامترهای غیرخطی، دینامیک ها یا پارامترهای ناشناخته، مدل نشده و یا صرف نظر شده را نشان می دهند. و یا

16. مثال

17. تعریف • توصیف Multi-plantرا زمانی به کار می بریم که عدم قطعیت مدل با لیست محدودی از پلنت های ممکن پارامتریزه شود.

18. تعریف • در این نمایش عدم قطعیت، مجموعه مدل های S به صورت زیر تعریف می شوند: • Co به معنی قشر محدب (Convex hull) بوده و بدین معنی است که

19. به دست آوردن مدل های سیستم Polytopic • فرض کنیم برای سیستم مورد نظر، مجموعه ای از اطلاعات ورودی/ خروجی را در نقاط کار مختلف یا زمان های متفاوت داشته باشیم. • از هر مجموعه اطلاعات، تعدادی مدل خطی به دست می آوریم. با استفاده از مدل های به دست آمده، مجموعه Ωرا به دست می آوریم. • به عکس، اگر فرض کنیم ژاکوبین برای سیستم غیرخطی گسسته متغیر با زمان در مجموعه Ωباشد، می توان نشان داد که هر ترجکتوری (x,u)از سیستم اصلی می تواند با یک سیستم خطی شده در Ω(به صورت محافظه کارانه) تقریب زده شود.

20. تعریف • در این حالت فرض می شود که عدم قطعیت محدود به اغتشاش ناشناخته است و پلنت ∑0شناخته شده است. • همچنین فرض می شود که حدود اغتشاش را داریم (Wمعلوم است). • اگرچه فرض دانستن مدل دقیق ∑0فرض سختی است، با این حال توصیف عدم قطعیت توسط یک ترم جمع شونده w(k) که تحت یک نرم محدود باشد، یک انتخاب معقول است.

21. تعریف مسأله • تحلیل مقاوم بودن به معنی تحلیل ویژگی های مقاوم برای یک MPC استاندارد است که برای یک مدل نامی و بدون در نظر گرفتن عدم قطعیت طراحی شده باشد. • تحلیل مقاوم بودن یک حلقه کنترلی MPC بسیار دشوارتر از طراحی یک کنترل کننده مقاوم است. • تا کنون روش های اندکی برای تحلیل مقاوم بودن ارائه شده است: • Zafiriou(1990) • Genceli & Nikolaou (1993) • Primbs & Nevistic (1998)

22. Zafiriou(1990) • با استفاده از قضیه نگاشت انقباض (Contraction Mapping Theorem)، مجموعه ای از شروط کافی برای پایداری نامی و مقاوم در MPC و با وجود محدودیت بر روی دامنه و نرخ سیگنال کنترل و نیز سیگنال خروجی ارائه کرد. • عدم قطعیت به صورت محدوده هایی بر روی ضرایب پاسخ ضربه در نظر گرفته شده است. • از آنجایی که چک کردن شروط کافی ارائه شده دشوار است، تعدادی شرط لازم برای این شروط کافی ارائه شده که بررسی پایداری مقاوم را ساده تر کند.

23. Zafiriou(1990) • قضیه1: سیستم زیر را در نظر بگیرید: در این سیستم تعریف می کنیم:

24. Zafiriou(1990) • این سیستم برای همه پلنت ها با ضرایب متعلق به Sپایدار مجانبی است اگر • که در رابطه بالا Jiها همه مجموعه محدودیت های فعال ممکن را نشان می دهد. • نکته : تابع f و در نتیجه Ψ برای هر دسته محدودیت فعال فرم بسته و متمایزی خواهد داشت (ثابت می شود که مشتق پذیر نیز می باشد)

25. Genceli & Nikolaou (1993) • شروط کافی برای پایداری حلقه بسته و عملکرد مقاوم برای سیستم های DMC و با در نظر گرفتن محدودیت بر روی دامنه و نرخ سیگنال کنترل (سخت) و نیز سیگنال خروجی (نرم) ارائه کردند. • شاخص عملکرد، نرم l1در نظر گرفته شده است. • عدم قطعیت به صورت محدوده هایی بر روی ضرایب پاسخ ضربه در نظر گرفته شده است. • آزمایش مقاوم بودن به صورت بررسی چند نامساوی ساده است. • با تعمیم آن برای سیستم های MIMO مسأله بسیار پیچیده خواهد شد.

26. Genceli & Nikolaou (1993) • سیستم را به صورت روبرو در نظر می گیریم: • سیگنال کنترل uرا برای تابع هزینه J و با وجود محدودیت های زیر به دست می آوریم:

27. Genceli & Nikolaou (1993) • قضیه2: سیستم حلقه بسته به دست آمده با کنترل کننده طراحی شده پایدار مجانبی با مقدار آفست صفر است اگر 1- عدم قطعیت مدل و اغتشاش شرایط زیر را ارضا کنند: 2- افق های پیش بینی و کنترل و محدودیت در نامساوی های زیر صدق کنند:

28. Genceli & Nikolaou (1993) 3- ترم ri(i=0,…,Nc-1)از روابط زیر به دست آید: و ترم های q≤ p به گونه ای انتخاب می شوند که:

29. Primbs & Nevistic (1998) • یک آزمایش تحلیل پایداری مقاوم خارج خط برای کنترل افق بازگشتی و با وجود محدودیت ارائه کرده اند که نیازمند حل دسته ای از نامساوی های ماتریسی خطی (LMI) است. • این آزمایش بر مبنای روشی به نام S-procedureاست و یک شرط کافی محافظه کارانه بر روی تابعی به نام V(t)قرار می دهد که باید برای همه و همه کاهشی باشد. • هر دو عدم قطعیت ساختار یافته فیدبک و polytopic مورد بررسی قرار گرفته اند. • نویسندگان این روش را برای یک روش سنتز کنترل مقاوم گسترش داده اند. • Primbs این روش را برای یک تکنیک تحلیلی که کمتر محافظه کارانه است، توسعه داده است

30. Primbs & Nevistic (1998) • سیستم نامی را به صورت روبرو در نظر می گیریم: • سیگنال کنترل uرا با در نظر گرفتن تابع هزینه زیر به دست می آوریم: • ماتریس Hiمتناظر با Jiبرای تبدیل مسأله بهینه سازی بالابه فرم ماتریسی زیر • تعریف می کنیم:

31. Primbs & Nevistic (1998) فرض برای افق کنترل داده شده Ncو مجموعه X ماتریس های وجود دارند به طوری که S-procedure: شرط کافی برای برقرار بودن رابطه این است که اسکالرهای τiموجود باشند به طوری که (1)

32. Primbs & Nevistic (1998) قضیه 3 (عدم قطعیت Polytopic): فرض کنید X مجموعه ای باشد که شرط (1) در آن برقرار باشد. همچنین اگر اسکالرهای وجود داشته باشند که نامساوی ماتریسی خطی زیر را ارضا کنند، کنترل کننده افق بازگشتی که بر اساس سیستم نامی مطرح شده، طراحی شده باشد، همه پلنت های متعلق یه عدم قطعیت را در هر زیر مجموعه ای از x که تحت دینامیک های حلقه بسته عدم قطعیت، فرض همچنان برقرار باشد، پایدار می کند.

33. Primbs & Nevistic (1998) قضیه 4 (عدم قطعیت ساختار یافته فیدبک): فرض کنید X مجموعه ای باشد که شرط (1) در آن برقرار بوده و اگر اسکالرهای و اسکالرهای وجود داشته باشند که نامساوی ماتریسی خطی زیر را ارضا کنند، کنترل کننده افق بازگشتی که بر اساس سیستم نامی مطرح شده، طراحی شده باشد، همه پلنت های متعلق به عدم قطعیت ساختار یافته فیدبک معرفی شده را در هر زیر مجموعه ای از x که تحت دینامیک های حلقه بسته عدم قطعیت، فرض همچنان برقرار باشد، پایدار می کند.

34. تعریف مسأله برای به دست آوردن قانون کنترل MPC مقاوم، گزینه های زیر را در اختیار داریم: • بهینه سازی عملکرد مدل نامی یا عملکرد مقاوم • اجرای محدودیت های حالت بر روی مدل نامی یا به صورت مقاوم • نحوه تضمین پایداری مقاوم • اتخاذ روش پیش بینی حلقه باز یا حلقه بسته

35. عملکرد نامی در مقابل عملکرد مقاوم • شاخص عملکرد زیر بستگی به مدل ویژه ∑ و اغتشاش w(k) دارد. • در چارچوب عدم قطعیت دو استراتژی را می توان در نظر گرفت: • یک مدل نامی و اغتشاش نامی تعریف کرده و عملکرد نامی را بهینه سازی می کنیم. • مسأله min-maxرا برای عملکرد مقاوم بهینه سازی می کنیم:

36. برخی روش های ارائه شده • روش min-max در MPC مقاوم ابتدا توسط Campo & Morari (1987) ارائه شد. • Allwright & Papavasiliou (1992) و Zheng & Morari (1993) این روش را برای پلنت های تک ورودی- تک خروجی FIR گسترش دادند. • Kothare et al (1996) با استفاده از این روش عملکرد مقاوم را برای عدم قطعیت های Polytopic/Multi-model و عدم قطعیت ساختار یافته فیدبک بهینه سازی نمود. • Scokaert & Mayne (1998) از این روش برای کنترل سیستم با وجود اغتشاش ورودی محدود استفاده نمودند. • Lee & Yu (1997) این روش را برای مدل های فضای حالت LTV و LTI که به برداری از پارامترهای بستگی دارد و Θ ممکن است یک بیضی و یا یک چندوجهی باشد، به کار برد.

37. مشکلات • این روش ها ممکن است با دو مشکل مواجه باشند: • مشکل محاسباتی : حل مسأله min-max مطرح شده از نظر محاسباتی بسیار مشکل تر از حل مسأله بهینه سازی اولیه برای مدل نامی است. • محافظه کارانه بودن بیش از حد عمل کنترلی

38. Allwright & Papavasiliou (1992) • عدم قطعیت بر روی پاسخ ضربه در نظر گرفته شده است. • محدودیت های سیستم بر روی دامنه uو سیگنال خروجی اعمال می شود. • مینیمایز کردن بر روی بدترین حالت (نسبت به پارامترهای hk(ضرایب پاسخ ضربه)) نرم ∞برای خطای بین خروجی پیش بینی شده و خروجی مطلوب انجام می شود. • به راحتی می توان مسأله را به حالتی که مینیمایز کردن بر روی نرم 1 صورت می گیرد تبدیل کرد. • این روش را برای سیستم های ناپایدار نمی توان تعمیم داد.

39. Kothare et al (1996) • عدم قطعیت به صورت Polytopic/Multi-model و عدم قطعیت ساختار یافته فیدبک در نظر گرفته شده است. • برای تضمین پایداری نامی در تابع هزینه افق بی نهایت در نظر گرفته شده است. • برای قیود ورودی و خروجی دو حالت در نظر گرفته شده است: • مسأله min-max تبدیل به یک مسأله نامساوی ماتریسی خطی LMI می شود. • مسأله کنترل MPC مقاوم برای هر دو حالت بدون محدودیت و با محدودیت حل شده است.

40. Kothare et al (1996) • تابع درجه دوم V به صورت زیر در نظر گرفته می شود: • فرض کنیم در هر لحظه k، تابع V نامساوی زیر را برای هر و همه سیستم های متعلق به فضای عدم قطعیت ارضا کند. • برای اینکه محدود J∞ باشد، باید داشته باشیم: • با جمع کردن رابطه بالا از i=0 تا i=∞ خواهیم داشت: • یک حد بالا برای عملکرد مقاوم به دست آوردیم!

41. Kothare et al (1996) • هدف الگوریتم کنترل MPC مقاوم ما این است که در هر زمان یک قانون کنترل فیدبک حالت به فرم زیر به ما بدهد که حد بالای V(x(k|k))را مینیمایز کند. • همانند MPC استاندارد،فقط اولین ورودی محاسبه شده ( ) پیاده سازی می شود و در گام بعدی این الگوریتم تکرار خواهد شد. • برای هر دو عدم قطعیت Polytopic و ساختار یافته فیدبک قضایایی بیان می شود که شرط وجود P مناسب برای ارضای رابطه نامساوی به دست آمده را بیان کرده و ماتریس F متناظر با آن را می دهد. • ثابت می شود که با کنترل کننده به دست آمده پایداری مقاوم تضمین می شود. • مسأله برای سیستم های تأخیر دار نیز تعمیم داده می شود.

42. Kothare et al (1996) • قضیه 5 (عدم قطعیت Polytopic): فرض کنید x(k) = x(k|k) حالت سیستم با عدم قطعیت زیر باشد که در لحظه k اندازه گیری شده است. آنگاه ماتریس F در قانون کنترلی که حد بالای V(x(k|k)) را بر روی تابع هزینه عملکرد مقاوم در زمان k مینیمایز می کند و مجموعه ای از محدودیت ها را بر روی ورودی و خروجی سیستم ارضا می کند، از رابطه زیر به دست می آید:

43. Kothare et al (1996) که در آن Q>0 و Y از حل مسأله بهینه سازی خطی زیر به دست می آید:

44. Scokaert & Mayne (1998) • عدم قطعیت به صورت اغتشاش ورودی محدود در نظر گرفته شده است. • مسأله به صورت روبرو تعریف می شود: • برای دو حالت افق ثابت و متغیر مورد بررسی قرار گرفته است. • مجموعه ثابت مقاوم (Robust Invariant Set) به مجموعه ای مانند X گفته می شود که در آن با یک قانون کنترلی معین u = -Kx، محدودیت های سیستم ارضا شده و • بنابراین اگر حالت اولیه سیستم در یک مجموعه ثابت مقاوم قرار داشته باشد و سیگنال کنترل u = -Kxبه آن اعمال شود، حالت سیستم علیرغم وجود اغتشاش درون آن مجموعه باقی می ماند.

45. Scokaert & Mayne (1998) • در حالت افق ثابت الگوریتم به صورت زیر تعریف می شود: 1- x(k) را به دست می آوریم 2- اگر قرار می دهیم u = -Kx(k)و در غیر این صورت مسأله min-maxرا حل کرده و اولین سیگنال کنترل را پیاده سازی می کنیم. • ثابت می شود که قانون کنترلی که از این الگوریتم به دست می آید حالت x(k) را به یک مجموعه ثابت مقاوم می برد. • در حالت افق متغیر، افق کنترل نیز یکی از متغیرهای بهینه سازی در نظر گرفته می شود.

46. سایر روش ها • Cuzzalo et al (2002) : ایده Kothare et al(1996) مورد استفاده قرار گرفته و به جای استفاده از یک تابع لیاپانوف از L تابع لیاپانوف متفاوت که هر یک متناظر با یکی از سیستم های متعلق به فضای عدم قطعیت Polytopic است. این کار باعث کاهش محافظه کاری و افزایش حجم محاسبات می شود. • Wan & Kothare (2003): ایده اصلی این است که مسأله بهینه سازی LMI را که Kothare ارائه داد، برای دسته ای از شرایط اولیه به صورت خارج از خط حل کرده و گین های کنترلی به دست آمده متناظر را در یک جدول نگه داشته و به صورت روی خط در هر لحظه قانون کنترلی مناسب را از این مجموعه به دست آوریم. • Longson et al (2004): روش MPC مقاوم tube-based را ارائه کردند. ایده اصلی در این روش حل مسأله MPC نامی برای محدودیت های سخت، به گونه ای است که خطای بین حالت سیستم نامی و سیستم دارای عدم قطعیت توسط یک مجموعه مقاوم ثابت محدود شود. سیگنال کنترل به فرم در نظر گرفته می شود. • و ...

47. تعریف مسأله • در حضور عدم قطعیت محدودیت ها می توانند به دو صورت اعمال شوند: • بر روی همه پلنت های • فقط بر روی مدل نامی • از آن جایی که فرمان ورودی مستقیماً توسط کنترل کننده ایجاد می شود، در صورت اعمال محدودیت ها بر روی همه پلنت های متعلق به فضای عدم قطعیت، محدودیت ورودی مشکل اضافه تری را ایجاد نمی کند. • برای عدم قطعیت هایی که فقط به صورت (W یک چندوجهی) توصیف می شوند، محدودیت های حالت ها می تواند از طریق تئوری مجموعه های مجاز خروجی ماکزیمال (MOAS) اعمال شوند. • این تئوری ابزاری را فراهم می کند که از طریق محاسبه افق پیش بینی مینیمم (Np) محدودیت های سخت بر روی حالت های سیستم با وجود اغتشاش ورودی به صورت مقاوم تضمین شود.

48. تئوری مجموعه های مجاز خروجی ماکزیمال (MOAS) • فرض کنید سیستم زیر را داشته باشیم: • به همه شرایط اولیه ای که در مجموعه زیر صدق می کنند، مجموعه مجاز خروجی ماکزیمال گفته می شود. • شرایط اولیه ای که به مجموعه O∞تعلق داشته باشند، ارضای محدودیت های خروجی را برای همه اغتشاشات تضمین می کند.

49. روش های ارائه شده • Bemporad & Garulli (1997) : • تأثیر بدترین حالت اغتشاش را بر روی افق پیش بینی در نظر گرفتند و محدودیت را برای همه تحقق های ممکن اغتشاش به اجرا درآوردند. • افق های پیش بینی خروجی از طریق الگوریتم هایی که از تئوری MOASالهام گرفته شده است، محاسبه می شود. • وضعیتی که در آن همه حالت ها در دسترس نباشد نیز مورد بررسی قرار گرفته است. • Kothare et al (1996): • زمانی که توصیف عدم قطعیت بر روی پاسخ ضربه در نظر گرفته شود، محدودیت های خروجی به سادگی می توانند به بازه های عدم قطعیت ضرایب پاسخ ضربه مربوط شوند. • محدودیت های حالت و ورودی می توانند به نامساوی های ماتریسی خطی (LMI) ترجمه شوند.

50. چالش ها • اجرای محدودیت ها به صورت مقاوم می تواند به رفتاری بسیار محافظه کارانه منجر شود. • این تأثیر نامطلوب می تواند از طریق پیش بینی حلقه بسته کاهش یابد. • زمانی که نقض محدودیت ها چندان مضر نباشد، بهتر است که ارضای محدودیت ها را فقط بر روی مدل نامی مدنظر قرار دهیم.