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第五章 图论

第五章 图论. 杨圣洪. e1. A. D. e2. e3. e4. e5. C. B. 5.1 图的概念与描述. 由结点和连结两个结点的连线所组成的对象称为“ 图 ”。 至于结点的位置及连线的长度无紧要. 形式定义 ：三元组 (V(G),E(G),M(E,V)) 称为图。其中 V(G) 为点的集合 ( 非空集 ) ， E(G) 是边集， M(E,V)= 边与点连接关系。 常简化为二元组 (V(G),E(G)) 称为图。简记为 G=(V,E) 。. 5.1 图的概念与描述 - 邻接矩阵.

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第五章 图论

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  1. 第五章 图论 杨圣洪

  2. e1 A D e2 e3 e4 e5 C B 5.1图的概念与描述 • 由结点和连结两个结点的连线所组成的对象称为“图”。 • 至于结点的位置及连线的长度无紧要

  3. 形式定义：三元组(V(G),E(G),M(E,V))称为图。其中V(G)为点的集合(非空集)，E(G)是边集，M(E,V)=边与点连接关系。形式定义：三元组(V(G),E(G),M(E,V))称为图。其中V(G)为点的集合(非空集)，E(G)是边集，M(E,V)=边与点连接关系。 常简化为二元组 (V(G),E(G))称为图。简记为G=(V,E)。

  4. 5.1图的概念与描述-邻接矩阵 对于有向图，如果从结点vi到结点vj之间有一条边，则a(i,j)=1，否则为0。 由于结点vi到vj有一条边，反过来vj到vi之间不一定有一条，故不一定对称。 对于无向图，如果结点vi到Vj有一条边，则a(i,j)=1，否则为0。 由于Vi到Vj有一条边时，反过来Vj到Vi肯定也有一条边。故它是对称的。

  5. e1 A D e2 e3 e4 e5 C B 可表示自环，不能表示重边

  6. 5.1图的概念与描述—关联矩阵 Vi ej 关联矩阵表示结点与边之间的关联关系。 对于有向图： 如果Vi是ej的起点，则b(i,j)=1。 如果Vi是ej的终点，则b(i,j)=-1。 如果以上两种情况不存在，则b(i,j)=0。 对于无向图： 如果Vi到ej某个端点，则b(i,j)=1。 否则 b(i,j)=0。 该矩阵的行对应为“点”，列对应“边”， n×m. Vi ej Vi ej Vi ej

  7. e7 e6 e1 A D e2 e3 e4 e5 C B A 重边可表示，自环不可能表示 B C D e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7

  8. e1 e2 e3 e4 e5 e6 a b c d

  9. 有限图无限图 V={a, b, c, d} E={e1,e2,e3,e4,e5,e6} |V|称为结点数，记为n 该值有限，有限图 |E|称为边数，记为m.该值有限。

  10. 有向图无向图 如果每条边都有方向的，则为有向图。 如果每条边都没有方向，则为无向图。 某些边有方向，某些边没有方向，混合图

  11. e1 A D e2 e3 e4 e5 C B 邻接 有向边e1=<A, D>，A与D相邻,e1与A、D相关联。称A为D的直接前趋，D为A的后继。 点与点相邻,点与边关联 无向边e1=(a, b), a与b相邻，e1与a、b相关联。 只与一个结点关联的自环/自旋。某两个点之间有多条边为重边(多重图)。无环无重边简单图

  12. e1 A D e2 e3 e4 e5 C B 度 某结点关联边的条数，称为该点的度数： D(A)=5,d入(A)=1,d出(A)=4, 有向图 d入(A)+d出(A) =d(A)=5 “入”进入某结点的边，也称为“负边”，负度 “出”离开某结点的边，也称为“正边”，正度

  13. 各点度数和=边数的2倍 ∑deg(v)=2|E|=2m (为偶数) 证明： 先去掉所有的边，每个点、整个图的度数为0 增加一条边e=(u,v)，使结点u与v的度数的各增加1 。 每增加一条边使整个图的度数增加2。 ∑deg(v)=2|E| =2m(为偶数) 握手定理

  14. e1 A D e2 e3 e4 e5 C B 左图=3+2+3+2=10,边数=5， 度数和10=边数的2倍(2*5) 右图=3+3+3+3=12 ，边数=6 度数和12=边数2倍(2*6)

  15. 图中度数为奇的结点有偶数个 用Vo表示度数为奇(odd)的结点集合，Ve为偶(even)的结点的集合,则有： ∑edeg(v)+ ∑odeg(v)= ∑deg(v)=2m。 因Ve中每点度数均为偶数 ∑edeg(v)为偶数，不妨记为2k ∑odeg(v)=2m-2k=2(m-k) ，由于Vo中每个结点的度数为奇数，不妨依次记为2n1-1,2n2-1,…,2nt-1，t为个数 其和为 2(n1+n2+…nt)-1-1-…-1=2n'-t  2n‘-t=2(m-k) 个数 t=2(m-k)-2n'=2(m-k-n')

  16. e1 A D e2 e3 e4 e5 C B 左图度数为奇的点有:A(5) B(3)共2个 右图度数为奇的点有:B(3),D(3)共2个

  17. 例题某班有23人，班长说每个人恰好只与其他7个人关系密切，请问班长的话可信吗？例题某班有23人，班长说每个人恰好只与其他7个人关系密切，请问班长的话可信吗？ 解：将以上问题用图表示，23个人则23个点表示，i号同学对应结点i，如果某两位同学关系密切，则对应的结点间用一条边相连。 “说每个人恰好只与其他7个人”，说明与每位同学相连的边数为7，即其度数为7，23位同学的度数和=23*7=161，由握手定理有161=2m， 一个奇数不可能等于一个偶数，显然矛盾，故班长的话不可信。 用图论来解决问题，关键是将问题中的对象表示为结点或边。.

  18. 5.2 图的连通性 定义 一个有向图中，从任意结点出发，若沿着边的箭头所指方向，连续不断向前走，能到达所有的结点，则此图连通。 是 否

  19. 5.2 图的连通性 定义一个无向图中，从任意结点出发，沿着边连续不断向前走，能到达所有的结点，则此图是连通的 是

  20. 5.2 图的连通性 看图判断连通性，仅对结点数比较少的图可行，结点数较多时需要寻求更高效的方法。 前面求传递闭包时，如果某两个结点之间通过传递可达，则在这两点之间加上一条边(称为复合边)。 因此求完传递闭包后，如果某二个点之间有边相连，则表明这二个结点： 要么未求闭包之前是直接相连的， 要么这两个点之前不是直接连接,是通过传递可达。 图与其邻接矩阵，相当于关系图与其关系矩阵， 因此求传递闭包的方法可用来判断图的连通性， 即WarShall算法、邻接矩阵的逻辑幂次方运算。

  21. 例题 判断下图是是否连通 a(1,3)=0从结点1不能走到结点3，看图可知,其他0类似 a(1,5)=1从结点1出发可达结点5，看图可知,其他1类似

  22. 例题 若求跨越1条边、2条边、…、n-1条边的路，究竟有多少条，则直接计算邻接矩阵的幂次方A、A2、A3、…、An-1。

  23. 5.3Euler问题 七桥问题：每桥仅走一次，回到家里

  24. 定义5.3.1如果从某点出发，沿着边不断前行又回到起点，那么称沿途经过的边构成一个回路.定义5.3.1如果从某点出发，沿着边不断前行又回到起点，那么称沿途经过的边构成一个回路. 如下图中，a-b-d是一个回路，a-b-a是一个回路，a-b-d-c-a也是回路。 定义5.3.2 如果从某点出发，沿着边不断前行能走遍所有的边，但不回到起点则称为欧拉路。 定义5.3.3如果从某点出发，沿着边不断前行能走遍所有的边，并且回到起点则称为欧拉回路。存在欧拉回路的图也称为欧拉图。

  25. 定理5.3.1无向图G有欧拉回路所有结点度数为偶数.定理5.3.1无向图G有欧拉回路所有结点度数为偶数. 定理5.3.2无向图G有欧拉路所有结点度数为偶数，或者只有2个结点度数为奇数。 左图中度数为：deg(a)=5、deg(b)=3、deg(c)=3、deg(d)=3，故没有欧拉回路，故七桥问题无解。 中图：deg(a)=deg(d)=3，有欧拉路没无回路 右图：deg(1)=2 deg(2)=4 deg(3)=4 deg (4)=2 deg(5)=2 故有欧拉回路，为欧拉图。

  26. 判断下面图能否可以一笔画出

  27. 5.4 哈密尔顿图 1859年，英国数学家哈密顿：用一个规则的实心十二面体，标出世界著名的20个城市

  28. 5.4 哈密尔顿图 this 定义5.4.1如果图中存在一条，经过所有结点一次也仅一次的路，则称为哈密尔顿路。 如果回到起点称为哈密尔顿回路。 存在哈密尔顿回路的图称为哈密尔顿图。 定义5.4.2如果图中没有一个结点上有自旋，任意二个结点间最多一条边，则称为简单图。 定理5.4.1设G是具有n结点的简单图，如果G中每一对结点度数和≥n-1，则G中存在一条哈密尔顿路。即存在一条经过所有点一次的路。 定理5.4.2设G是具有n结点的简单图，如果G中每一对结点度数和≥n，则G中存在一条哈密尔顿回路。即存在一条经过所有点一次的回路。 充分而不必要！

  29. 5.4 哈密尔顿图 左n=5，任意2点和≥4有H路。 右n=6，任意2点和≥5有H路 下图n=6，任意2点和=4<5，不满足条件但有回路。 充分条件(满足肯定是)，不必要(是不一定满足)

  30. 5.4 哈密尔顿图 定理5.4.3 若图G=<V,E>具有哈密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S，均有W(G-S)≤|S|。 当取S={1,5}时上图变成了下图被分成了3块，即W(G-S)=3，而|S|=2，故不满足W(G-S)≤|S|，故不是H图。

  31. 5.4 哈密尔顿图 去掉1个结点后W(G-S)=1|S|。 去掉2个结点后W(G-S)=1|S|。 去掉3个结点后W(G-S)=1|S|。 去掉4个结点后W(G-S)=1|S|。 去掉5个结点后即W(G-S)=1|S|。 去掉6个结点后W(G-S)4<|S|。 均满足但不是H图，可用AB标记法检测.必要不充分

  32. 5.4 哈密尔顿图 如果有多条哈密尔顿回路，距离都已标在每条边上，哪条路最短呢？称为“旅行商问题TSP(Traveling Salesman Problem)”或货郎担问题。 如：1-2-3-4-5-1，路长为4+16+11+13+10=54 但是1-2-4-3-5-1，路长为4+3+11+4+10=31， 只能一一试探，其计算量相当大，是一个不可能在多项时间内解决的问题，称为NP(Non Polynomial)难问题

  33. 5.5 平面图与染色问题 定义5.5.1如果一个简单图中任意两条边不在中间相交，仅在两个端点相交。 或将某些边拉长或缩短后，也可做到不在中间相交，也称为平面图，或可平面化的图，一律称为“平面图”。

  34. 5.5 平面图与染色问题 定义5.5.2平面图中由边围成的封闭区域称为为面或域。 如下图中，有1-3-4-1围成的面1，1-2-4-1围成的面2，2-4-3-2围成的面3，还有1-3-2-1之外的广阔的外围空间也是一个面，所以该图共有4面。 定理5.5.1平面图中面数=边数-点数+2。 如下图中，面数d=4、边数m=6、点数n=4， 显然有d=m-n+2。

  35. 5.5 平面图与染色问题 定义5.5.3在点数大于3的平面图中，如果在不相邻的两个点之间添上一条边，新添边肯定与其他边相交，即变成非平面图，则该图为极大可平面图。 如果所有点相邻(这种图称为完全图)，不可能再加边了，肯定为极大可平面图，如下图每个面的边数为3。 定理5.5.2极大平面图中，3d=2m，m=3n-6，d=2n-4。

  36. 5.5 平面图与染色问题 证明：极大平面图中任何面的边只有3条(若超过3条如达4条则至少为四边形，还可添加边这与极大平图矛盾). 每条边均是面的边界线,是两个面的边界，故数各个面的边界数时,每边被数了2次，所有面的边界数和=2m。 极大平面图中每个面只有3条边，d个面共有3d条边，所以3d=2m。 将d=m-n+2代入有，3(m-n+2)=2m，故m=3n-6。 将m=3d/2代入d=m-n+2中，d=3d/2-n+2，故d=2n-4

  37. 5.5 平面图与染色问题 定理5.5.3平面图中m3n-6，d2n-4 m=C(5,2)=10,点数n=5,3n-6=9,违反了m3n-6 m=C(6,2)=15,点数n=6,3n-6=12, 违反了m3n-6

  38. 5.5 平面图与染色问题 对偶图 在平面图每个面中取一个代表点，原来相邻的两个面的代表点之间用线相连，得到的图称为对偶图。 对原图面的着色问题转换为对偶图的点的着色 四色猜想变成：对平面图的对偶图的结点进行着色时，最多4种颜色，可保证相邻两个结点的颜色不一样. 如果不是平面图的对偶图可能不止四种颜色

  39. 5.5 平面图与染色问题 Powell着色算法： (1) 结点按度数的递减顺序排阶列； (2)用第1种颜色对第1个结点着色，并且按排列次序，对与前面已着色点不相邻的每个点着相同的颜色。 (3)用第二种颜色对尚未着色的点重复(2)步，用第三种颜色对尚未着色的点继续这种过程，直到所有点着色。

  40. 5.5 平面图与染色问题 有6货物需要堆放，两种货物之间若不能放在同一个仓库，则用一条线相连，其相互关系如下图所示，请问共需要几个仓库。 (1)排序：B(4)、D(4)、A(3)、C(3)、E(3)、F(3) (2)用红色着B，与B不相邻的点是A，故A着成红色。 (3)用兰色着D，与D不相邻的点是F，故F也着成兰色 用黑色着C，与C不相邻的点是E，故E着成黑色。

  41. 5.6 树 定义5.6.1没有回路的连通图，则称为一棵树。 右图是一棵树， 它将左图中很多边去掉了，回路都不见了， 但是各个点仍是连通的 。

  42. 5.6 树 定义5.6.2如果一个棵树包含某个图的所有结点，则称为该图的生成树或支撑树。不唯一 如右图包括左图的所有结点，故是左图生成树 定理5.6.1树所包含的边数等于点数减1。

  43. 5.6 树 定义5.6.3在赋权图的所有生成树中，边权和最小的生成树称为最小生成树 。 如图5.20(a)的生成树可为5.20(b),5.20(c)谁最小

  44. 5.6 树-Kruskal最小生成树 (1)选取权最小的边e1，置边数i=1 (2)i=n-1时结束，否则转(3) (3)设已选取边为 e1,e2,...,ei，在G中选取不同e1,e2,...,ei的边ei+1，使{e1,e2,...,ei，ei+1}中无回路，且ei+1是满足此条件的最小边。 (4)i=i+1 例题对于图5.20(a)中， (1)选长为2的(2,5)、(3,4)，此时i=2； (2)选长为3的(2,4)，(4,5)不能再选了，因与(2,5),(2,4) 成回路，i=3 (3)选择长为4的(1,2)，这时i=4；

  45. 5.6 树-Prim最小生成树 (1)任选一结点V0构成集合U； (2)从U中选到V-U(余点)最短边(v,r)入树T,vU,r V-U. (3)U=U+{r}； (4)如果|U|<|V|回到(2)。如： 1)U={1}，T={} 2)T={(1,2)}；U={1,2} 3) T={(1,2),(2,5)}, U={1,2,5} 4) T={(1,2),(2,5),(2,4)} U={1,2,5,4} 5) T={(1,2),(2,5),(2,4),(3,4)} U={1,2,5,4,3}

  46. 5.6 树-根树 有向图的生成树中,如图5.21(a)，从结点A出发，沿着各边箭头所指方向前行，分多路可走遍图中所有的点，如图(b)，其中A-C-B-E-F、A-D，这种生成树称为根树。 起点A称为树根，入度为0， 对于入度为1出度为0的点为叶子结点。 入度为1且出度至少为1的结点称为内点 内点与根结点一块统称为分支点。 从根结点到各点所包含的边之条数，称为根结点到该点的距离. A到D、C的为1，A到B为2，A到E为3，A到F离为4，距离中最大值称为树高或层数

  47. 5.6 树-根树 如果结点至多有2个后代，称为2叉树，如果正好都只有2个后代，则称为完全二叉树。 画根树时，如图5.21(b)，习惯将根结点画在最高处 所有边都指向远离根结点方向，即整体朝下， 对根树的画法适当简化，即去掉所有边的箭头，如图5.21(b)所示的根树可简化为图5.22所示

  48. 5.6 树-根树 定义5.6.4 设根树T有t片树叶v1,v2,…,vt，给每片树叶赋一个权值w1,w2,…,wt，则称为T的赋权二叉树，其中l(vi)为叶子结点vi的长度。 如果存在一种赋权方式，使得值w(i)l(vi)达到最小，则称为棵树为最优二叉树，或称Huffman树。 Huffman树的构造算法： (1)对所有权值从低到高排队； (2)找出两个最小的权值，记为W1和W2。 (3)用W1+W2代替W1与W2，产生新的队列。 (4)若队列中的点数大于1，则回到(1)，否则转(5)。 (5)逆序将以上组合过程画出来便得到Huffman树。

  49. 5.6 树-根树 例题 汉字“一地在要工上是中国同和的有”出现频率依次为“2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41”，对汉字编译。 译出“1000101110100101111”对应的汉字。

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