Линейные модели по переменным и параметрам :

1. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ Линейные модели по переменным и параметрам: Линейные модели и по переменным и по параметрам. Способы сведения нелинейных моделей к линейным.

2. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ Модели линейные по переменным и параметрам: Модели линейные по параметрам и нелинейные по переменным: Модели нелинейные по переменным. Замена переменных приводит к модели линейной и по параметрам и по переменным.

3. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ МОДЕЛЕЙ Модели линейные по переменным и параметрам: Модели линейные по параметрам и нелинейные по переменным: Модели нелинейные по параметрам: Некоторые модели нелинейные по параметрам могут быть линеаризованы.

4. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ МОДЕЛЕЙ бананыдоход (фунт) ($10,000) хозяйствоYX 1 1.71 1 2 6.88 2 3 8.25 3 4 9.52 4 5 9.81 5 6 11.43 6 7 11.09 7 8 10.87 8 9 12.15 9 10 10.94 10 Пример: зависимость потребления бананов от дохода для 10 хозяйств.

5. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ МОДЕЛЕЙ Y X Точечная диаграмма.

6. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ МОДЕЛЕЙ . reg Y X Source | SS df MS Number of obs = 10 ---------+------------------------------ F( 1, 8) = 17.44 Model | 58.8774834 1 58.8774834 Prob > F = 0.0031 Residual | 27.003764 8 3.3754705 R-squared = 0.6856 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.6463 Total | 85.8812475 9 9.54236083 Root MSE = 1.8372 ------------------------------------------------------------------------------ Y | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] ---------+-------------------------------------------------------------------- X | .8447878 .2022741 4.176 0.003 .378343 1.311233 _cons | 4.618667 1.255078 3.680 0.006 1.724453 7.512881 ------------------------------------------------------------------------------ Y=4,6+0,84*X Построение регрессионной модели. Коэффициент при X значим, коэффициент детерминации R2высок. Хорошая ли это модель?

7. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ МОДЕЛЕЙ Y X Поведение отклонений от линии регрессии не похожа на случайную величину, что свидетельствует о некорректности модели.

8. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ МОДЕЛЕЙ Измененная модель: Обратно пропорциональная модель.Yувеличивается вместе сXеслиb2 < 0. Функция имеет верхним пределомb1. Невозможно питаться одними бананами. Модель линеаризуется заменой переменных

9. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ МОДЕЛЕЙ бананы доход (фунтов) ($10,000) хозяйстваYXZ 1 1.71 1 1.00 2 6.88 2 0.50 3 8.25 3 0.33 4 9.52 4 0.25 5 9.81 5 0.20 6 11.43 6 0.17 7 11.09 7 0.14 8 10.87 8 0.13 9 12.15 9 0.11 10 10.94 10 0.10 .

10. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ МОДЕЛЕЙ Y Z ЗависимостьYотZ.

11. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ МОДЕЛЕЙ . g Z=1/X . reg Y Z Source | SS df MS Number of obs = 10 ---------+------------------------------ F( 1, 8) = 286.10 Model | 83.5451508 1 83.5451508 Prob > F = 0.0000 Residual | 2.33609666 8 .292012083 R-squared = 0.9728 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.9694 Total | 85.8812475 9 9.54236083 Root MSE = .54038 ------------------------------------------------------------------------------ Y | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] ---------+-------------------------------------------------------------------- Z | -10.98865 .6496573 -16.915 0.000 -12.48677 -9.490543 _cons | 12.48354 .2557512 48.811 0.000 11.89378 13.07331 ------------------------------------------------------------------------------ Вычисление регрессионных коэффициентов регрессионной модели. Высокая объяснительная способность модели.

12. ЛИНЕАРИЗАЦИЯ МОДЕЛЕЙ Y Z График зависимости Y от Z.

13. НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ Y X График зависимости Y от Z показывает лучшую зависимость и большую случайность отклонений.

14. ЭЛАСТИЧНОСТЬ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ A O X ЭластичностьY поXесть пропорциональное изменение Yотносительно пропорционального изменения X: Y Эластичность в любой точке – это отношение тангенса угла наклона касательной к тангенсу угла наклона радиус вектора. Значение эластичности для данного рисунка < 1.

15. ЭЛАСТИЧНОСТЬ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ A Y X O Пример функции с эластичность > 1.

16. ЭЛАСТИЧНОСТЬ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Y A O x X Эластичность для прямой непостоянна.

17. ЭЛАСТИЧНОСТЬ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Функция с одинаковой эластичностью для всехX. .

18. ЭЛАСТИЧНОСТЬ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Y X Пример функции с эластичностью 0.25.

19. ЭЛАСТИЧНОСТЬ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Y X

20. ЭЛАСТИЧНОСТЬ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Y X b2= 1, прямая линия.Линейная модель может быть частным случаем модели с постоянной эластичностью

21. ЭЛАСТИЧНОСТЬ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Y X .

22. ЭЛАСТИЧНОСТЬ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Линеаризация модели.

23. ЭЛАСТИЧНОСТЬ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ FDHO EXP Точечная диаграмма зависимостиFDHO, трат на еду дома, отEXP, общего годового дохода. (в $, 1995г. для 869 хозяйств США).

24. ЭЛАСТИЧНОСТЬ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ . reg FDHO EXP Source | SS df MS Number of obs = 869 ---------+------------------------------ F( 1, 867) = 381.47 Model | 915843574 1 915843574 Prob > F = 0.0000 Residual | 2.0815e+09 867 2400831.16 R-squared = 0.3055 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.3047 Total | 2.9974e+09 868 3453184.55 Root MSE = 1549.5 ------------------------------------------------------------------------------ FDHO | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] ---------+-------------------------------------------------------------------- EXP | .0528427 .0027055 19.531 0.000 .0475325 .0581529 _cons | 1916.143 96.54591 19.847 0.000 1726.652 2105.634 ------------------------------------------------------------------------------ FDHO=1916,1+0,05*EXP Построение регрессииFDHOотEXP. На еду тратится около 5% годового дохода. Константа смысла не имеет.

25. ЭЛАСТИЧНОСТЬ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ FDHO EXP Регрессионная линия.

26. ЭЛАСТИЧНОСТЬ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ LGFDHO LGEXP Подбор логарифмической модели. Точечная диаграмма логарифма FDHOв зависимости от логарифмаEXP.

27. ЭЛАСТИЧНОСТЬ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ . g LGFDHO = ln(FDHO) . g LGEXP = ln(EXP) . reg LGFDHO LGEXP Source | SS df MS Number of obs = 868 ---------+------------------------------ F( 1, 866) = 396.06 Model | 84.4161692 1 84.4161692 Prob > F = 0.0000 Residual | 184.579612 866 .213140429 R-squared = 0.3138 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.3130 Total | 268.995781 867 .310260416 Root MSE = .46167 ------------------------------------------------------------------------------ LGFDHO | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] ---------+-------------------------------------------------------------------- LGEXP | .4800417 .0241212 19.901 0.000 .4326988 .5273846 _cons | 3.166271 .244297 12.961 0.000 2.686787 3.645754 ------------------------------------------------------------------------------ Регресссионная логарифмическая модельLGFDHOотLGEXP.

28. ЭЛАСТИЧНОСТЬ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ . g LGFDHO = ln(FDHO) . g LGEXP = ln(EXP) . reg LGFDHO LGEXP Source | SS df MS Number of obs = 868 ---------+------------------------------ F( 1, 866) = 396.06 Model | 84.4161692 1 84.4161692 Prob > F = 0.0000 Residual | 184.579612 866 .213140429 R-squared = 0.3138 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.3130 Total | 268.995781 867 .310260416 Root MSE = .46167 ------------------------------------------------------------------------------ LGFDHO | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] ---------+-------------------------------------------------------------------- LGEXP | .4800417 .0241212 19.901 0.000 .4326988 .5273846 _cons | 3.166271 .244297 12.961 0.000 2.686787 3.645754 ------------------------------------------------------------------------------ Коэффициент эластичности 0.48.Является ли он правдоподобным? Поскольку еда – предмет первой необходимости, то коэффициент эластичности функции спроса должен быть меньше 1. Расходы на еду растут медленнее, чем рост дохода. (e3.17= 23.8)

29. ЭЛАСТИЧНОСТЬ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ LGFDHO LGEXP Точечная диаграмма и логарифмическая модель.

30. ЭЛАСТИЧНОСТЬ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ FDHO EXP Сравнение линейной и логарифмической модели. В середине близки, а по краям сильное расхождение. В нуле значение равно нулю, что соответствует здравому смыслу. Для больших доходов доля, расходуемая на продовольствие должна падать.

31. ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Относительное изменениеY в расчете на единицу абсолютного измененияXравны b2.

32. ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Оценка зависимости ПЛАТЫ (Earnings) от продолжительности обучения (S).

33. ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Интерпретация b2.. Еслиb2мало (<0,1), то EARNINGS (1 + b2). Это позволяет интерпретироватьb2 как процент повышения платы при увеличении аргумента на 1. Если b2велико, то интерпретация более сложна.

34. ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ b1 - это значение YприX=0

35. ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Линеаризация модели.

36. ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ . reg LGEARN S Source | SS df MS Number of obs = 570 ---------+------------------------------ F( 1, 568) = 93.21 Model | 21.681253 1 21.681253 Prob > F = 0.0000 Residual | 132.12064 568 .23260676 R-squared = 0.1410 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.1395 Total | 153.801893 569 .270302096 Root MSE = .48229 ------------------------------------------------------------------------------ LGEARN | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] ---------+-------------------------------------------------------------------- S | .0792256 .0082061 9.655 0.000 .0631077 .0953435 _cons | 1.358919 .1127785 12.049 0.000 1.137406 1.580433 ------------------------------------------------------------------------------ LNEARN = 1,36+0,079*S EARN = e1,36e0,079*S Регрессионная полулогарифмическая модель.

37. ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Приблизительная оценка. β2= 0.079, то естькаждый год обучения приблизительно ведет к увеличению зарплаты на 7.9%.Более точная оценка дает значение e0,079= 1,082, то есть увеличение на 8.2%.

38. ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ . reg LGEARN S Source | SS df MS Number of obs = 570 ---------+------------------------------ F( 1, 568) = 93.21 Model | 21.681253 1 21.681253 Prob > F = 0.0000 Residual | 132.12064 568 .23260676 R-squared = 0.1410 ---------+------------------------------ Adj R-squared = 0.1395 Total | 153.801893 569 .270302096 Root MSE = .48229 ------------------------------------------------------------------------------ LGEARN | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] ---------+-------------------------------------------------------------------- S | .0792256 .0082061 9.655 0.000 .0631077 .0953435 _cons | 1.358919 .1127785 12.049 0.000 1.137406 1.580433 ------------------------------------------------------------------------------ log b1=1,36. Отсюда b1= e1.36= 3.90. Буквально, человек без образования получает 3,9$ в час. Но такая интерпретация не вполне правомочна, поскольку это значение находится за пределами интервала значений выборки.

39. ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Точечная диаграмма значений и полулогарифмическая модель.

40. ПОЛУЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Сравнение полулогарифмической модели с линейной моделью. Полулогарифмическая модель предпочтительнее, так как более точно предсказывает плату для высоких и низких уровней обучения. Нет отрицательных значений константы.

41. ВОЗМУЩЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЯХ При линеаризации не учитывался случайный член. В ряде нелинейных моделей случайный член аддитивен. То же возмущение будет и для преобразованного уравнения.

42. ВОЗМУЩЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЯХ С логарифмическими моделями дело обстоит сложнее. В них после линеаризации добавляется мультипликативный член v = eu. Положительные значения u приводят к увеличению значения Y, отрицательные – к уменьшению.

43. ВОЗМУЩЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЯХ f(v) v Кроме условий Гаусса-Маркова, необходимо, чтобывеличина uбыла нормально распределена. Иначе невозможно использоватьtиF тесты. Нормальное распределение показывает, что случайное возмущение – это сумма многих малых неучтенных возмущений.

44. ВОЗМУЩЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЯХ f(v) v Нормальное возмущение u будет в том случае, еслиvимеет логнормальное распределение, плотность которого приведена на графике. Его среднее равно v =1, тогда u = 0.

45. ВОЗМУЩЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЯХ f(v) v Такое же мультипликативное распределение характерно и для полулогарифмических моделей.

46. ВОЗМУЩЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЯХ Точечная диаграмма для регрессионной модели зависимости выплат от обучения. Можно видеть несколько точек существенно отклоняющихся от регрессионной прямой.

47. ВОЗМУЩЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЯХ Такая же диаграмма для полулогарифмической модели демонстрирует отсутствие резкого отклонения от модели.

48. ВОЗМУЩЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЯХ Сравнение нормированных гистограмм распределений случайных остатков для линейной и полулогарифмической моделей. Нормировка – приведение стандартных отклонений к 1 для сравнения. Для обеих моделей распределение близко к нормальному, но для полулогарифмической модели оно более симметрично.

49. НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ: ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Y X Численные методы поиска регрессионных коэффициентов для нелинеаризуемых задач на примере модели потребления бананов. Метод нелинейной оптимизации.

50. НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ: ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ Y X Предположим нам известно, что b1= 12. Поиск b2на основе критерия минимизации суммы квадратов остатков. Предположим, что b2= 6.