1. 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数 . 2. 根据具体函数的图象，能够用二分法求相

1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与 方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数. 2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.

1.函数零点的定义 (1)对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点. (2)方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与有交点⇔ 函数y＝f(x)有. f(x)＝0 x轴零点

[思考探究1] 　　函数的零点是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点吗？提示：不是.函数的零点是一个实数，是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标.

2.函数零点的判定 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个也就是方程f(x)＝0的根. f(a)·f(b)＜0 (a， b) f(c)＝0 c

[思考探究2] (1)在上面条件下，(a，b)内有几个零点？提示：不一定，可能有一个，也可有多个. (2)若函数f(x)在[a，b]内有零点，一定有f(a)·f(b)＜0吗？提示：不一定.如函数f(x)＝x2－1在[－2,2]内有两个零点，但f(2)·f(－2)＞0.

3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系 (x1 ，0)，(x2 ，0) (x1，0) 无交点两个一个零个

4.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步，确定区间[a，b]，验证，给定精确ε；第二步，求区间(a，b)的中点x1；第三步，计算： ①若，则x1就是函数的零点； ②若＜0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))； ③若，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))；第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步. f(a)·f(b)＜0 f(x1) f(x1)＝0 f(a)·f(x1) f(b)·f(x1)＜0

1.下图的函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交 点横坐标的是 () 解析：因为B选项中，x0两侧的符号相同，所以无法用二分法求交点的横坐标. 答案：B

2.若函数f(x)唯一的零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)， (0,2)内，那么下列命题正确的是 () A.函数f(x)在区间(0,1)内有零点 B.函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点 C.函数f(x)在区间[2,16)上无零点 D.函数f(x)在区间(1,16)内无零点解析：∵函数f(x)唯一零点同时在区间(0,16)，(0,8)， (0,4)，(0,2)内，∴函数f(x)唯一零点必在区间(0,2)内. 答案：C

3.函数f(x)＝πx＋log2x的零点所在的区间为 () A.[0， ]B.[ ， ] C.[ ] D.[ ,1] 解析：因为选项中只有f( )·f( )＜0，所以函数的零点所在的区间为[ ]. 答案：C

4.已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且只有一个零点，则实 数m的值为. 解析：由题知：方程4x＋m·2x＋1＝0只有一个零点. 令2x＝t(t>0)， ∴方程t2＋m·t＋1＝0只有一个正根， ∴由图象可知 ∴m＝－2. 答案：－2

5.下列是函数f(x)在区间[1,2]上一些点的函数值. 由此可判断：方程f(x)＝0的一个近似解为(精确度0.1，且近似解保留两位有效数字).

解析：∵f(1.438)·f(1.4065)＜0，且|1.438－1.4065|＝0.0315＜0.1，∴f(x)＝0的一个近似解为1.4.解析：∵f(1.438)·f(1.4065)＜0，且|1.438－1.4065|＝0.0315＜0.1，∴f(x)＝0的一个近似解为1.4. 答案：1.4

函数零点的存在性问题常用的方法有： (1)解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断. (2)用定理：零点存在性定理.

[特别警示]　如果函数y＝f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的曲线，且x0是函数在这个区间上的一个零点，但f(a)f(b)＜0不一定成立.[特别警示]　如果函数y＝f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的曲线，且x0是函数在这个区间上的一个零点，但f(a)f(b)＜0不一定成立. (3)利用图象的交点：有些题目可先画出某两个函数y＝f(x)，y＝g(x)图象，其交点的横坐标是f(x)－g(x)的零点.

判断下列函数在给定区间是否存在零点. (1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]； (2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]； (3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]； (4)f(x)＝－x，x∈(0,1). [思路点拨]

[课堂笔记](1)∵f(1)＝－20<0，f(8)＝22>0， ∴f(1)·f(8)<0，故f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点. (2)∵f(－1)＝－1<0，f(2)＝5>0， ∴f(－1)·f(2)<0，故f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]存在零点. (3)∵f(1)＝log2(1＋2)－1>log22－1＝0， f(3)＝log2(3＋2)－3<log28－3＝0，∴f(1)·f(3)<0，故f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零点.

(4)画出函数f(x)＝－x的图象如图. 由图象可知，f(x)＝－x在(0,1)内图象与x轴没有交点，故f(x)＝－x在(0,1)内不存在零点.

函数零点个数的判定有下列几种方法： (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点. (2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)＜0.还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点. (3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

判断函数f(x)＝4x＋x2－ x3在区间[－1,1]上零点的个数，并说明理由. [思路点拨]

[课堂笔记]　∵f(－1)＝－4＋1＋＝－ ＜0， f(1)＝4＋1－＝＞0， ∴f(x)在区间[－1,1]上有零点. 又f′(x)＝4＋2x－2x2＝－2(x－ )2，当－1≤x≤1时，0≤f′(x)≤ ， ∴f(x)在[－1,1]上是单调递增函数， ∴f(x)在[－1,1]上有且只有一个零点.

函数零点的求法有两种：代数法和几何法.代数法即求方程f(x)＝0的实数根；但当有些方程无法求实根时，就要用几何法，即将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.

求下列函数的零点： (1)f(x)＝x3－2x2－x＋2； (2)f(x)＝x－ [思路点拨]

[课堂笔记](1)由x3－2x2－x＋2＝0， 得x2(x－2)－(x－2)＝0， ∴(x－2)(x－1)(x＋1)＝0， ∴x＝2或x＝1或x＝－1. 故函数f(x)的零点是2,1，－1.

(2)由x－＝0， 得＝0， ∴ ＝0， ∴(x－2)(x＋2)＝0. ∴x＝2或x＝－2. 故函数f(x)的零点是2或－2.

判断函数零点的存在性以及函数零点的个数是高考对本节内容的常规考法.09年广东高考将函数的零点与二次函数、导数等内容相结合考查了函数零点的应用，是一个新的考查方向.

[考题印证] (2009·广东高考)(12分)已知二次函数y＝g(x)的导函数的图象与直线y＝2x平行，且y＝g(x)在x＝－1处取得极小值m－1(m≠0).设f(x)＝， (1)若曲线y＝f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2，求m的值； (2)k(k∈R)如何取值时，函数y＝f(x)－kx存在零点，并求出零点.

【解】　∵y＝g′(x)＝2ax＋b的图象与直线y＝2x平行，【解】　∵y＝g′(x)＝2ax＋b的图象与直线y＝2x平行， ∴a＝1. 又∵y＝g(x)在x＝－1处取得极小值m－1， ∴－＝－1，g(－1)＝a(－1)2＋b(－1)＋c＝m－1，所以b＝2，c＝m.从而f(x)＝＋x＋2.┄(2分)

(1)已知m≠0，设曲线y＝f(x)上点P的坐标为 P(x，y)，则点P到点Q(0,2)的距离为 |PQ|＝＝＝当且仅当2x2＝ ⇒x＝± 时等号成立.┄┄(4分) ∵|PQ|的最小值为， ∴ ＋m＝1.

①当m＞0时，解得m＝＝－1. ②当m＜0时，解得m＝＝－－1. 故m＝－1或m＝－－1.┄┄┄┄┄┄┄┄(6分)

(2)y＝f(x)－kx的零点， 即方程＋(1－k)x＋2＝0的解， ∵x≠0，∴ ＋(1－k)x＋2＝0与(k－1)x2－2x－m＝0有相同的解. ①若k＝1，(k－1)x2－2x－m＝0⇒x＝－ ≠0，所以函数y＝f(x)－kx有零点x＝－ .┄┄┄┄(8分) ②若k≠1，(k－1)x2－2x－m＝0的判别式 Δ＝4[1＋m(k－1)]. 若Δ＝0⇒k＝1－，此时函数y＝f(x)－kx有一个零点x＝－m.

若Δ＞0⇒1＋m(k－1)＞0， ∴当m＞0，k＞1－，或m＜0，k＜1－时，方程(k－1)x2－2x－m＝0有两个解. X1＝和x2＝ . 此时函数y＝f(x)－kx有两个零点x1和x2. 若Δ＜0⇒1＋m(k－1)＜0， ∴当m＞0，k＜1－，或m＜0，k＞1－时，方程(k－1)x2－2x－m＝0无实数解，此时函数y＝f(x)－kx没有零点.┄┄┄┄┄┄(12分)

[自主体验] 已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ (x＞0). (1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围. (2)确定m的取值范围，使得函数F(x)＝g(x)－f(x)有两个不同的零点.

解：(1)法一：∵g(x)＝x＋＝2e， 等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有零点.

法二：作出g(x)＝x＋的图象如图： 可知若使g(x)＝m有零点，则只需m≥2e. (2)函数F(x)＝g(x)－f(x)有两个不同的零点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，

即g(x)＝f(x)中g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，即g(x)＝f(x)中g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)＝x＋ (x＞0)的图象. ∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2，故当m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1时， g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根. ∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞).

1.函数f(x)＝的零点有 () A.0个　　　　　　　　　　B.1个 C.2个D.3个解析：由f(x)＝＝0得：x＝1， ∴f(x)＝只有一个零点. 答案：B

2.(2009·天津高考)设函数f(x)＝ x－lnx(x>0)，则y＝f(x)() A.在区间( ,1)，(1，e)内均有零点 B.在区间( ,1)，(1，e)内均无零点 C.在区间( ,1)内有零点，在区间(1，e)内无零点 D.在区间( ,1)内无零点，在区间(1，e)内有零点

解析：f( )＝＋1>0，f(1)＝－0>0， f(e)＝－1<0，∵f′(x)＝－＝， ∴当f(x)在(0,3)上是减函数.根据闭区间上根的存在性定理与函数的单调性. 答案：D

3.设函数y＝x3与y＝( )x－2的图象的交点为(x0，y0)，则 x0所在的区间是 () A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

解析：令g(x)＝x3－22－x，可求得：g(0)<0，g(1)<0，g(2)>0，g(3)>0，g(4)>0，g′(x)＝3x2＋4( )xln2＞0，易知函数g(x)的零点所在区间为(1,2). 答案：B

4.若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，求实数a的取 值是. 解析：若a＝0，则f(x)＝－x－1为一次函数，易知函数仅有一个零点；若a≠0，则函数f(x)为二次函数，若其中有一个零点，则方程ax2－x－1＝0仅有一个实数根，故判别式Δ＝1＋4a＝0，得a＝－ .综上可知a＝0 或a＝－ . 答案：0或－

5.(2010·福建四地六校联考)若函数f(x)＝ax＋b有一5.(2010·福建四地六校联考)若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是1，则g(x)＝bx2－ax的零点是. 解析：∵f(x)＝ax＋b的零点是1， ∴a＋b＝0， ∴g(x)＝bx2＋bx＝bx(x＋1)， ∴g(x)的零点是0，－1. 答案：0，－1

6.m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4 (1)有且仅有一个零点；(2)有两个零点且均比－1大. 解：(1)若函数f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点，则等价于Δ＝4m2－4(3m＋4)＝0，即4m2－12m－16＝0，即m2－3m－4＝0，解得m＝4或m＝－1. (2)若f(x)有两个零点且均比－1大，设两零点分别为x1，x2，

则x1＋x2＝－2m，x1·x2＝3m＋4， 故只需故m的取值范围是{m|－5＜m＜－1}.

1. 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数 . 2. 根据具体函数的图象，能够用二分法求相