第二章 行列式

1. 第二章 行列式 • 学时：18学时。 • 教学手段： • 课堂讲授与学生自学提出问题进行讨论相结合，教师辅导答疑，学生演练习题。 • 基本内容和教学目的： • 基本内容：置换概念，行列式的定义、性质及其计算。 • 教学目的： • 1．准确理解和掌握行列式的定义和性质， • 2．能较为熟练地进行行列式的计算。 • 本章的重点和难点： • 重点 行列式的计算 • 难点 行列式概念,行列式的展开定理及用定义证明行列式性质

2. §2.1 引言

3. §2.1 引言 解方程是代数中一个基本问题，在中学我们学过一元、二元、三元以至四元一次线性方程组。在解线性方程组时，我们曾用代入消元法和加减消元法来解线性方程组。例如，对二元一次方程组 （2.1.1） 利用加减消元法，由 和 得

4. + － 若 ，则有 我们用记号 表示 ，

5. － + ，则 若 是方程组（2.1.1）的公式解。 对三元一次线性方程组 （2.1.2） 若

6. 则 是方程组（2.1.2）的公式解。 代替 中第1 列，第 这里 是分别用 2列，第3列所得的行列式。 由此，我们引入了二阶行列式和三阶行列式的定义，同时给出了二元一次和三元一次线性方程组的公式解。 我们自然要问，对于n元一次线性方程组 （2.1.3）

7. 是否也有类似于（2.1.1)、（2.1.2）的公式解？ 这首先就必须解决：能否把二阶、三阶行列式推广到n阶行列式？要解决这个问题，必须回答以下一系列问题： • 这个n阶行列式如何定义？ • n阶行列式中一共包含有多少项？ • 每一项由哪些元素组成？ • 哪些项前面带正号？ • 哪些项前面带负号？ 有了n阶行列式的定义后，我们才能研究方程组（2.1.3）有没有类似于二元、三元方程组的公式解。

8. §2.2排列

9. 一、排列与对换 由n个数码1，2，…，n组成的一个无重复的有序数组称为这n个数码的一个排列，简称为n元排列。 • 排列的定义： 例如， 312是一个3元排列，2341是一个4元排列，45321是一个5元排列，等等。 3元排列共有多少种不同的排列？ 123 132 213 231 312 321 n元排列共有多少种不同的排列？ 在n元排列中，只有123…n这个排列是按自然顺序排列，其他排列或多或少破坏自然排列。

10. 在一个n元排列中，如果有一个较大的数码排在一个较小的数码前面，则称这两个数码在这个排列中构成一个反序，一个n元排列中所有反序的总和称为这个排列的反序数，记为在一个n元排列中，如果有一个较大的数码排在一个较小的数码前面，则称这两个数码在这个排列中构成一个反序，一个n元排列中所有反序的总和称为这个排列的反序数，记为 • 反序的定义： 或 。 例如： 一般地， 这是计算一个n元排列的反序数的一般方法，特别在证明题中有用。

11. 中，如果交换 在一个n元排列 某两个数码的位置而别的数码不动，则称对这个排列施行了一个对换。 • 对换的定义： 如果交换的两个数码是 ，就把这个对换记为 和 例如 问题1：任意两个n元排列是否可经一系列对换而互变？ 引理1： 任意一个n元排列 可经一系列对换变为自然排列12…n。 证明（用归纳法）： 1、当n=2时，结论显然成立。 2、假设结论对n-1元排列成立， ， （1） 则对任一个n元排列

12. 假如 ，则由归纳假设知 可经 一系列对换变为12…（n-1）。于是经同样一系列的对换， 变为12…(n-1)n； （2）假如 ，设 ，于是经 一次对换 ，得 变为 由（1）知，经一系列对换可把 12…n。因而 可经一系列变换变为 12…n。(证毕) 由于对换是可逆的，因此有 推论1： 自然排列12…n可经一系列的对换变到任意一个n元排列： 。 由引理1和推论1，我们圆满地解决上面提出的 问题1，这就是：

13. 定理2.2.1：任意两个n元排列可经一系列对换互化。定理2.2.1：任意两个n元排列可经一系列对换互化。 问题2：排列的反序数可以是 ，反序数 • 排列的奇偶性： 究竟有何作用？ 二、排列的奇偶性。 如果一个n元排列的反序数是一个奇数，则称该排列为奇排列，反序数是偶数的排列称为偶排列。 是偶排列。 例如： 是奇排列，而 问题3： 对n元排列施行一次对换，对排列的奇偶性有没有影响？

14. 。 例如， ， 定理2.2.2：每一个对换均改变排列的奇偶性。 证明：（先特殊后一般） 1、先考虑特殊情况，即对换的两个数在n元排列中是相邻的。 经对换(j,k) 设排列（1）： ，在排列（1）中， 化为排列（2）： 若 与其他数构成反序，则在排列（2）中仍然构成反序； 若 与其他数不构成反序的，则在排列（2） 中也不构成反序。不同的是 的顺序发生变化， 若在（1）中 构成一个反序，则在（2）中

15. 不构成一个反序， 不构成反序，或在（1）中 构成一个反序。无论是减少还是增 则在（2）中 加一个反序，排列反序数的奇偶性均发生变化，因此定理成立。 2、再考虑一般情况，设排列为（3）： 经 对换后化为排列（4）： 这样一个对换可以经由一系列相邻数码的对换来实现。从（3）出发，依次把 对换， 与 对换，与 …，与 对换。经过S+1次相邻数码的对换，排列 （3）化为排列（5）： ；再把 依次与 对换，则经S次相邻数码的对换，排列（5） 就化为排列（4）。故经2S+1相邻数码的对换，

16. 就把排列（3）化为排列（4）。 由第一步知每一次相邻位置的对换均改变排列的奇偶性，因此，奇数次的对换的最终结果仍然改变排列的奇偶性。 在全体n元排列中，究竟是奇排列多还是偶排列多？ 问题4： 定理2.2.3：当 时，在n!个n元排列中，奇、偶排列 各占一半，即各有 个。 证明：由于 ，故由定理2.2.2知，在n元排列中总有 奇排列和偶排列，设在n!个n元排列中，有S个奇排列和T个偶排列。 把S个奇排列中的每一个排列的任两个数码对换，

17. 这S个奇排列就都变成偶排列，但总共只有T个偶排列，故这S个奇排列就都变成偶排列，但总共只有T个偶排列，故 。同理对T个偶排列中每一个进行对换， ，又 得 。因此 ，

18. §2.3 n阶行列式的定义

19. 问题：如何定义n阶行列式？ • 、二阶与三阶行列式的构造 特点： （1）二阶行列式是一个含有 项的代数和； （2） 每一项都是两个元素的乘积，这两个元素既位于不同的行，又位于不同的列，并且展开式恰好是由所有这些可能的乘积组成； 任意项中每个元素都带有两个下标，第一个下标表示元素所在行的位置，第二个下标表示该元素所在列的位置。当把 （3）

20. 每一项乘积的元素按行指标排成自然顺序后，每一项乘积的符号由这一项元素的列指标所成的排列的奇偶性决定，奇排列取负号，偶排列取正号。每一项乘积的元素按行指标排成自然顺序后，每一项乘积的符号由这一项元素的列指标所成的排列的奇偶性决定，奇排列取负号，偶排列取正号。 对三阶行列式也有相同的特点

21. 特点：（1）共有3！项的代数和； （2） 每一项是三个元素的乘积，这三个元素既位于不同的行又位于不同的列，展开式恰由所有这些可能的乘积组成； （3） 当把每一项乘积的元素按行下标排成自然顺序后，每一项的符号由这一项元素的列指标所成的排列的奇偶性决定。 二、n阶行列式的定义 1、 为一个n阶行列式，它等于所有

22. 的代 取自不同行不同列的n个元素乘积 数和，这里 是 的一个排列。 每一 • n阶行列式共由n!项组成； • 要计算n阶行列式，首先作出所有可能的位于不同行不同列元素构成的乘积； • 把构成这些乘积的元素的行下标排成自然顺 项 中把行下标按自然顺序排列后，其符号 由列下标排列 的奇偶性决定。当 是 偶排列时取正号，当 是奇排列时取负号， 即 根据定义可知：

23. 序，其符号由列下标所成排列的奇偶性决定； n阶行列式的定义是二、三阶行列式的推广。 2、例子 例2.3.1：计算行列式

24. 例2.3.2：计算行列式 例2.3.3：用行列式定义计算

25. 例2.3.4：设 问： 是不是四阶行列式 的项？ 如果是，应取何符号？ 是，取符号：-1 是，取符号：-1

26. 例2.3.5：设 问：（1）dhsy与ptaz是否为 的项？应取何符号？ （2） 含有t的项有多少？ （6项） 注： 在一个行列式中，通常所写的元素本身不一定有下标，即使有下标，其下标也不一定与这个元素本身所在的行与列的位置完全一致。因此要确定一项的符号，必须按照各元素在行列式中实际所在的行与列的序数计算。 在一般情况下，把n阶行列式中第i行与第j列交叉位置上的元素记为 在行列式 中，从左上角到右下角这条对角线称为主对角线

27. —(3) 故 + + 与 有相同的奇偶性 中，项 所带的符 定理2.3.1 在n阶行列式 号是 证明：1、交换项 —(1) 中任两个元素 的位置，不改变 与 把（1）中 对换后得 的奇偶性。 与 —(2) 由于对换改变排列的奇偶性,故 与 的奇偶性互化， 与 2、逐次交换（1）中的元素的次序，可以把（1）化为

28. —（4） 而（4）的行下标与列下标所成排列和 的奇偶性与（3）相同，于是 因此项 所带的符号是 注： 本定理说明在确定行列式中某项应取的符号时，可以同时考虑该项行排列与列排列的反序数之和，而不一定要把行下标排成自然顺序。 的符号，写出四阶 例2.3.6：试确定四阶行列式中项 且取正号的所有项。 行列式中包含 解 所带符号是: 取正号的项包括 ，

29. 几种特殊的行列式： 对角形行列式 上三角行列式 下三角行列式

30. §2.4 行列式的基本性质

31. 直接用定义计算行列式是很麻烦的事，本节要导出行列式运算的一些性质，利用这些性质，将使行列式的计算大为简化。直接用定义计算行列式是很麻烦的事，本节要导出行列式运算的一些性质，利用这些性质，将使行列式的计算大为简化。 的第i行 转置行列式：把n阶行列式 变为第i列（i=1，2，…，n） 所得的行列式 表示。 称为D的转置行列式，用

32. 性质1：行列式D与它的转置行列式相等。（转置变换）性质1：行列式D与它的转置行列式相等。（转置变换） 证：考察D的任意项 —（1） 它是取自D的不同行不同列的n个元素的乘积，因而也是取自 的第 行，1，2，…，n列的 n个元素的乘积，因而也是 中的一项: —（2）。 （1）项所带的符号是 , (2)项所带 的符号也是 。因而D中的任一项均为 中的项而且所带的符号也相同。同理可知 中的 任一项也是D中的项且所带的符号相同。因此D= 性质1表明，在行列式中，行与列的地位是相同的。凡是对行成立的性质，对列也同样成立。

33. 性质2 ： 把行列式D中某一行（列）的所有元素同乘以常数k，相当于用数k乘这个行列式，即 （倍法变换） 证明：

34. 推论1： 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因式可以提到行列式的符号外面。 推论2： 如果行列式中某一行（列）所有元素都为零，则这个行列式等于零。 在性质2中，取k=0，即知结论成立。 性质3： 交换行列式D中的某两行（列），行列式变号。（换法变换）

35. 即设 则有： 证：取D中任一项： —（1） 它所带的符号是： ， 显然 也是 中的一项，

36. 它所带符号为： 。由于对换改变排列的奇 中对应项刚好相差一个符号， 偶性，故D中的任一项与 故 推论3： 如果行列式中有两行（列）的元素对应相同，则这个行列式等于零。 （交换这两行（列）即知 ） 推论4： 如果行列式中有两行（列）的元素对应成比例，则这个行列式等于零。 （利用性质2和推论3） 如果行列式中某一行（列）中的所有元素都可表成两项之和，则该行列式可拆成两个行列式之和，即（拆法变换） 性质4：

37. 证明：

38. 性质5： 把行列式中某一行（列）的所有元素同乘上一个数k再加到另一行（列）的对应元素上，所得行列式与原行列式相等。（消法变换） 即

39. 利用性质4和推论4即知。 例2.4.1 计算行列式

40. 例2.4.2 计算行列式

41. 定理2.4.1： 任一个n阶行列式都可以利用性质5中的行或列变换化为一个与其相等的上（下）三角行列式。 证明：设 1、先设D中第一列元素不全为零，若 则把第i行所有元素同乘1加到第一行上，则 故不妨设 把第一行依次乘以 后分别加到第2行，…，第n行，则 —（1）

42. 若D中第一列元素全为零，则D已经是（1）的形式。若D中第一列元素全为零，则D已经是（1）的形式。 现对（1）中第二列的 进行考虑，同上类似， 先设它们不全为零，不妨设 ， 则利用上面相似的方法，可得 仿此不断进行下去，就可把D化为上三角行列式。 例2.4.3 计算n阶行列式

43. 解 法一：

44. 法二：

45. 在一个n阶行列式 中，若有 ， 则称 为n阶对称行列式；若有 则称 为反对称行列式。 例2.4.4 奇数阶的反对称行列式等于0。 证明：设 为奇数阶的反对称行列式。 由于 得 于是

46. 例2.4.5(思考题) 计算n阶行列式

47. §2.5 行列式依行（列）展开

48. 上一节我们利用行列式的性质把一个行列式化为上三角或下三角行列式，然后根据定义算出行列式的值，或者把一个行列式化成其中含有尽量多个零的行列式，然后算出行列式的值。本节我们沿着另一条思路来计算行列式的值，即通过把高阶行列式转化为低阶行列式来计算行列式的值。上一节我们利用行列式的性质把一个行列式化为上三角或下三角行列式，然后根据定义算出行列式的值，或者把一个行列式化成其中含有尽量多个零的行列式，然后算出行列式的值。本节我们沿着另一条思路来计算行列式的值，即通过把高阶行列式转化为低阶行列式来计算行列式的值。 例如

49. 如果我们能把n阶行列式转化为n-1阶行列式，把n-1阶行列式转化为n-2阶，…，而行列式的阶数越小越容易计算，我们就可以化繁为简，化难为易，从而尽快算出行列式的值。如果我们能把n阶行列式转化为n-1阶行列式，把n-1阶行列式转化为n-2阶，…，而行列式的阶数越小越容易计算，我们就可以化繁为简，化难为易，从而尽快算出行列式的值。 为了这个目的，我们需引进如下概念： 一、余子式和代数行列式 定义1（余子式）： 在一个n阶行列式 中，划去元素 所在的 行和列，余下的元素构成一个n-1阶子式，称为元素 的余子式，记为

50. 定义2（代数余子式）： 的余子式 附以符号 后， 称为元素 的代数余子式，记为 。 例2.5.1. 在行列式 中，求元素p和s的余子式 和代数余子式。 二、行列式依行（列）展开 先考虑比较特殊的情况，即一个n阶行列式中某一行（列）除一个元素外，其余元素都为零的情况，这时有以下引理。