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第三章

第三章. 扭转. 目 录. §3-1 概述. §3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图. §3-3 薄壁圆筒的扭转. §3-4 等直圆杆的扭转. §3-5 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件. §3-7 圆杆的极限扭矩. 任意两横截面绕轴线转动的相对角位移称为 扭转角 , 用 表示。. §3-1 概述. 受力特点 : 一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆件轴线的外 力偶。. 变形特点： 相邻横截面绕轴线作相对转动。. 工程中，把以扭转为主要变形的直杆称为 轴 。. 扭转实例：. 主动轮. 从动轮. 转向. B. A.

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Presentation Transcript

  1. 第三章 扭转

  2. 目 录 §3-1 概述 §3-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §3-3 薄壁圆筒的扭转 §3-4 等直圆杆的扭转 §3-5 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件 §3-7 圆杆的极限扭矩

  3. 任意两横截面绕轴线转动的相对角位移称为扭转角,用 表示。 §3-1 概述 受力特点:一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆件轴线的外 力偶。 变形特点：相邻横截面绕轴线作相对转动。 工程中，把以扭转为主要变形的直杆称为轴。

  4. 扭转实例：

  5. 主动轮 从动轮 转向 B A B A §3-2 外力偶矩的计算 扭矩及扭矩图 一、功率、转速和力偶矩之间的关系 设某传动轴,其传递的功率为P(kW),转速为n（r／min） 功率在1分钟做功： 外力偶矩Me一分钟做功： 注意： 主动轮上外力偶矩的转向和轴的转向一致 从动轮上外力偶矩的转向和轴的转向相反 则：

  6. Me Me m m Me Me x Me Me 二、扭矩与扭矩图 方法：截面法 取左： T称为m-m截面上的扭矩，它是该截面上切向分布内力的合力偶矩。 取右： 扭矩正负号规定：

  7. Me Me 例如前面例题的扭矩图 T x O 扭矩图：为了清楚地表示各截面上的扭矩沿轴线变化的情况，可依照作轴力图的方法绘制扭矩图。 x轴表示横截面位置，T轴表示对应该位置扭矩的大小。

  8. 转向 A D B C 例3-1已知:传动轴转n=300r/min,主动轮C输入功率PC =360kW,三个从动轮输出功率分别为PA =60kW ，PB =120kW , PD =180kW试绘该轴的扭矩图。 解： 1.计算外力偶矩

  9. 转向 A D B C 例3-1已知:传动轴转n=300r/min,主动轮C输入功率PC =360kW,三个从动轮输出功率分别为PA =60kW ，PB =120kW , PD =180kW试绘该轴的扭矩图。 2.计算扭矩 1-1截面 得： 2-2截面 得： 3-3截面 得：

  10. 转向 A D B C 例3-1已知:传动轴转n=300r/min,主动轮C输入功率PC =360kW,三个从动轮输出功率分别为PA =60kW ，PB =120kW , PD =180kW试绘该轴的扭矩图。 3.绘扭矩图 由扭矩图可知： 在BC和CD段

  11. §3-3 薄壁圆筒的扭转 D δ 一、薄壁圆筒扭转时的应力与变形

  12. 实验情形 ① 各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作相对转动。 ② 各纵向线均倾斜了同一角度γ，所有矩形都变成平行四边形。 因为壁很薄，故可将圆周线绕轴线的转动视为横截面的转动，任意两个横截面相对转动的角度称为相对扭转角。

  13. b a    ds ´ c d dx 由于相邻横截面的距离未变，圆周线长度也未变，故单元体沿x和s方向均无线应变，从而可知杆的横截面和径截面上均无正应力。 单元体左、右两个面发生了相对错动，因错动而倾斜的角度，也就是单元体直角的改变量γ称为切应变单位为弧度（rad） 与切应变相对应，单元体左、右两个面上必有切应力τ。 单元体

  14. T  R  0 O （3-2） 切应力分布规律 （1）因为沿圆周方向所有单元体的切应变γ是相同的，所以圆周各点处的切应力τ应相等，而方向垂直于半径。（因为剪切变形发生在垂直于半径的平面内） （2）又因壁很薄，又可近似 的认为τ沿壁厚方向均匀分布。 结论：切应力τ在横截面均匀分布 微内力对o点的矩： 则 得：

  15. （3-3） 切应变与扭转角的关系 由右图可以得到 式中R为外半径，对于薄壁圆筒可以用平均半径R0代替R

  16. ´ 组成顺时针转向力偶，其矩为   组成逆时针转向力偶，其矩为 a  dy ´ b dz z c d dx （3-4） 二、切应力互等定理 得 （切应力互等定理） 表明：在单元体互相垂直的两个截面上，切应力必然成对存 在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，而指向均 对着或背离两截面的交线。 上述单元体四个侧面上只有切应力而无正应力，这种应力状 态称为纯剪切应力状态。

  17. 由塑性材料制成的薄壁圆筒的扭转实验表明，当外力偶矩在某一范围之内时，扭转角 和外力偶矩Me成线性关系。 Me Me 实验曲线 （3-3） （3-2） 三、塑性材料在纯剪切时的力学性能

  18. 对于各向同性材料，切变模量G、拉（压）模量E及泊松比 三 者之间存在一定的关系 （3-6） （3-5） 与低碳钢拉伸实验类似，当切应力超过 而达到 时，材料也要发生屈服， 称为材料的剪切屈服极限。 引入比例常数G，则 上式称为剪切胡克定律 G称为材料的切变模量，其值随材料而异，由实验测定，常 用单位为GPa。Q235钢：G=80 GPa （3-5）式成立的条件是：

  19. §3-4 等直圆杆的扭转 一、横截面上的切应力 要推导出实心圆杆受扭时横截面上的切应力计算公式，关键要确定切应力在横截面上的分布规律。这和薄壁圆筒受扭时相仿，需从研究变形入手，然后利用切应力与切应变之间的关系，最后通过静力学关系，得到切应力的计算公式。下面就从几何、物理和静力学这三方面进行分析。 1.几何方面

  20. （1）表面变形现象：各圆周线的形状、大小及其间距均未改变，只是绕轴线作相对转动；各纵向线均倾斜了同一角度γ，表面上所有矩形均变成平行四边形。（1）表面变形现象：各圆周线的形状、大小及其间距均未改变，只是绕轴线作相对转动；各纵向线均倾斜了同一角度γ，表面上所有矩形均变成平行四边形。 （2）平面假设：圆杆扭转时，各横截面仍保持为平面，其大小、形状及其间距均未改变；半径仍为直线，只是各横截面像刚性平面一样绕轴线作相对转动。

  21. （a） (同一截面处 为常量) —— 扭转角沿杆长的变化率 故 切应变 和 成正比 （3）切应变的变化规律 小变形时

  22. 由（b）式可知，圆杆横截面上的切应力 和 成正比，即切应力沿半径方向按线性规律变化，其方向垂直于半径。 T t t max max （b） 2.物理方面 剪切胡克定律： 将（a）式代入上式得：

  23. dA  O T 令 称为圆截面的极惯性矩 （3-8） （3-9） 3.静力学方面 切向内力对o的的矩为： 则有 或 带入（b）式，得

  24. 称为圆截面的扭转截面系数 令： （3-9） （3-11） 则: 注意：(1)上述公式同样适用空心圆截面杆； (2) 只有圆轴处于弹性范围内时上述切应力公式才成立。

  25. 二、极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp的计算 基本公式: 实心轴 ： 空心轴 ：

  26. （3-17） （3-16） 扭转角 的单位为弧度(rad)，它的正负号与扭矩T的正负号一致。GIp称为圆杆的扭转刚度。 三、扭转角 相距为l的两个横截面的相对扭转角为 （普遍式） 对于长为l、在两端受一对外力偶Me作用的等直杆，此时T、G、IP均为常量，故有

  27. 关于扭转角的一些讨论： （1）若两截面之间T发生变化或IP发生变化，则应分段计算各段 的扭转角，然后再叠加。 （2）T(x)和Ip(x)情况

  28. A B C 例 3-2 已知:传动轴AB转速n=300r/min， 传递的功率P=7.5kW，AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面，D=3cm，d= 2cm。 求：AC段、CB段的最大和最小切应力。 解： （1）计算扭矩 （2）计算切应力

  29. A B C 例 3-2 已知:传动轴AB转速n=300r/min， 传递的功率P=7.5kW，AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面，D=3cm，d= 2cm。 求：AC段、CB段的最大和最小切应力。

  30. 求： C截面相对于A截面的扭转角 例 3-3 已知:传动轴M1=2.5kN.m，M2=4kN.m，M3=1.5kN.m， G=80GPa 解： （1）计算扭矩 （2）计算A、C两截面间的相对扭转角

  31. 练习 无缝钢管制成的汽车传动轴，D＝90mm，δ＝2.5mm。 B A 试求:(1) 两种求法的最大切应力比较；(2)把此轴换成同材料且最大切应力相同的实心圆轴，重量之比为多少? 解： (1)最大切应力 精确值 薄壁 (2)换算

  32. （3-18） （3-20） §3.5 圆杆扭转时的强度条件和刚度条件 一、强度条件 利用它可以进行以下三方面的计算 1、强度校核 2、截面尺寸设计 3、确定许可载荷 二、刚度条件

  33. A B D C 0.5m 0.3m 1.0m T x O 0.7kN.m 1.8kN.m 例3- 4 d1＝40mm， d2＝70mm， G＝80GPa。 试校核该轴的强度和刚度。 解：(1) 作出扭矩图 (2) 强度校核 该轴强度满足要求。

  34. 例3- 4 d1＝40mm， d2＝70mm， G＝80GPa。 试校核该轴的强度和刚度。 A B D C 0.5m 0.3m 1.0m 由单位长度扭转角的表达式 可知，其最大值应该发生在AB段。 T x O 0.7kN.m 1.8kN.m (3) 刚度校核 可见该轴刚度也满足要求。

  35. 例 3-5 试按强度条件和刚度条件分别选择实心圆轴和空心圆轴 的横截面尺寸，并比较其重量。 解： (1) 按强度条件确定实心圆轴的直径d0和空心圆轴的外径D以及内径d 实心圆轴： 空心圆轴：

  36. 例 3-5 试按强度条件和刚度条件分别选择实心圆轴和空心圆轴 的横截面尺寸，并比较其重量。 解： (2) 按刚度条件确定实心圆轴的直径d0和空心圆轴的外径D以及内径d 实心圆轴： 空心圆轴：

  37. 例 3-5 试按强度条件和刚度条件分别选择实心圆轴和空心圆轴 的横截面尺寸，并比较其重量。 实心圆轴： 强度条件 刚度条件 取d0＝59mm 空心圆轴： (3) 比较重量 强度条件 刚度条件 取D＝67mm d＝0.8D＝54mm 空心圆轴比实心圆轴节省材料

  38. §3.7 圆杆的极限扭矩 TS是圆截面边缘屈服时的扭矩，称为屈服扭矩

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