概率论与数理统计

1. 概率论与数理统计 自考辅导班 第四讲

2. 今日讲课提纲 • 数学预备知识 • 事件的独立性 • 随机变量的概念 • 随机变量的分布 • 离散型随机变量的分布 • 随机变量的分布函数 • 连续型随机变量的分布

3. 数学预备知识 • 几个重要的级数之和 • Newton二项式公式： • 无穷递缩等比数列之和(|q|<1) • ex的级数展开式(-∞<x<+∞)

4. 事件的独立性 • 事件A与B相互独立指： • 如P(A|B)=P(A) (P(B)>0) • 或如P(B|A)=P(B) (P(A)>0) • 或如P(AB)=P(A)P(B) • A与B独立A与B也独立 • A与B独立A与B也独立 • A与B独立A与B也独立

5. 随机变量的概念 • 随机现象的量化(实) • 引入随机变量的意义 • 随机变量的记法：ξ,η • 随机变量的分类： • 离散型随机变量的分布 • 连续型随机变量的分布

6. 随机变量的例子 • 掷两枚骰子得的点数 • 某商店日顾客数 • 收看某电视节目的人数 • 上每十分钟一班的公交车的候车时间 • 某地块的茶叶产量

7. 随机变量的例子 • 掷四枚骰子得点数和 • 某食堂就餐人数 • 某电影票房收入 • 某地一年台风次数 • 某人电脑打字速度 • 某电视机寿命。

8. 离散型随机变量 • 离散型随机变量概念 • 离散型r.v.的分布列 P(ξ=xk)=pk (k=1,2,…) • 概率函数的性质 • 分布列的描述

9. 离散型r.v.的概念 • 离散型随机变量:只取有限个或可列个值的r.v. • 其分布列(概率函数) P(ξ=xk)=pk (k=1,2,…) 要求：⑴pk≥0 ⑵∑pk=1

10. 离散型随机变量分布列的描述法 • 两行表格[p.79(3.1)]； • P(ξ=xk)=pk的表达式如[p.80(3.6)] ； • “钉图” (p.81图3.1)。

11. 重要的离散型r.v. • 两点分布ξ~B(1,p) • 二项分布ξ~B(n,p) • 几何分布ξ~G(p) • 泊松分布ξ~P(λ)

12. 二项分布ξ~B(n,p) 次品率为p的产品中抽n件，其中次品数ξ~B(n,p) q=1-p . P(ξ=k)=

13. 几何分布ξ~G(p) • 射中气球的概率为p，独立重复射击，直到首次命中为止，射击的次数ξ~G(p) q=1-p . P(ξ=k)=pqk-1 (k=1,2,…)

14. 泊松分布ξ~P(λ) • 某品种的鸡，每千只鸡的日下蛋量ξ~P(λ) P(ξ=k)=

15. 重要的离散型r.v.

16. 随机变量的分布函数 定义：F(x)=P(ξ≥x) -∞<x<+∞ 有:(1)有界:0≤F(x)≤1 -∞<x<+∞ (2)单调非减:x1 ≤x2F(x1)≤ F(x2) (3)有极限： (4)处处右连续。

17. 随机变量的分布函数 • 两点分布ξ~B(1,p)的d.f. y y=F(x) 1 q 0 1 x

18. 连续型r.v.的定义 • 如果随机变量ξ的d.f.为 F(x),存在一个在(-∞,+∞)上非负的可积函数p(x)使得： 则称ξ是一个连续型随机变量, p(x) =F’(x)为ξ的概率密度函数。

19. 连续型随机变量 • 公交车每5分钟一班，随机去候车，等车的时间为ξ分钟：ξ∈[0,5)且 • 这种分布叫均匀分布，记作：ξ~U[0，5]

20. 0 x<0 F(x)= x/5 0≤x≤5 1 x>5 1/5 0≤x≤5 p(x)= 0 其它 r.v.的d.f.概率密度函数 • 均匀分布ξ~U[0,5]的d.f. y y=F(x) 1 0 5 x

21. 连续型r.v.的性质 • 离散型随机变量ξ的分布列P(ξ=xk)=pk (k=1,2,…) pk≥0 且∑pk=1 • 连续型随机变量ξ的概率密度函数：p(x) ≥ 0且