Ⅵ. 도형의 기초

1. Ⅵ. 도형의 기초 1. 기 본 도 형 2. 작도와 합동

2. 점, 선, 면 • 선분: 두 점을 곧게 이은 선 2. 직선: 선분을 양쪽으로 끝없이 늘인 곧은 선 3. 예각 : 0도 보다 크고 90도 보다 작은 각 4. 직각 : 90도인 각 5. 둔각 : 90도 보다 크고 180도 보다 작은 각 6. 수직 : 서로 만나는 두 직선이 90도를 이룰 때 7. 평행 : 한 평면에서 두 직선이 만나지 않을 때

3. 점, 선, 면, 각 1. 점이 움직인 자리는 선이 된다. 2. 선이 움직인 자리는 면이 된다. 3. 평면도형은 선으로, 입체도형은 면으로 둘러싸여 있다. - 교선 : 두 면이 만나서 생긴 선 - 교점 : 두 선 또는 선과 면이 만나서 생긴 점 교선 교점

4. 주사위에서 다음 물음에 답하여라. 교점의 개수는? 2. 교선의 개수는?

5. 서로 다른 두점을 지나는 직선은 몇 개인가? 오직 하나 뿐이다. 2. 직선, 반직선, 선분 A B B A B A 직선AB 반직선AB 선분AB 3.두 점 A, B 사이의 거리: 의 길이

6. A M B 선분 AB의 중점 선분 AB 위의 한가운데 점을 선분 AB의 중점이라 함.

7. < 기 호 > ∠AOB, ∠BOA, ∠O, ∠a 각 이란?  한 점 O에서 그은 두반직선 OA와 OB로이루어지는 도형 B a O A • 점 O를 각의 꼭지점 • 반직선 OA, OB를 각의 변이라 한다.

8. 각의 분류 • 예각 : 0도 보다 크고, 90도 보다 작은 각 • 직각: 90도인 각 (∠R) • 둔각 : 90도 보다 크고 180도 보다 작은 각 • 평각 : 180도인 각

9. 수직 m l  교각 : 두 직선이 만나서 생기는 각 • 직교 : 교각이 직각일 때, 기호 : l⊥m • 수직 : 두 직선l 과 m이 직교할 때, l , m은 서로 • 수직 이라 하며 직선l을 직선 m의 수선이라 • 한다.

10. ∠a = ∠c ∠b = ∠d 맞꼭지각 • 두 직선이 만나서 생기는 네 각 중에서 • 서로마주 보는 각 맞꼭지각의 크기는 서로 같다 d c a b

11. m l l,m l m < 평면에서 두 직선의 위치 관계 > 한 점에서 만난다 만나지 않는다 일치한다

12. l m m l m l l=m 공간에서 두 직선의 위치 관계 1) 만난다. 2) 평행하다. 4) 꼬인 위치 3) 일치한다.

13. 다음 각기둥에서 모서리 AB와 1)꼬인 위치에 있는 모서리의 개수는? 2) 선분BD와 꼬인 위치에 있는 모서리의 개수는? A A D B B C C D E H F E G F

14. l l l P P P l∥ P <공간에서 한 직선과 한 평면과의 위치관계> 1)한 점에서 만난다. 2)평행하다. 3)포함된다.

15. 평면의 결정 조건 1) 한 직선 위에 있지 않은 세 점 2) 한 직선과 그 직선 밖에 있는 한 점 3) 만나는 두 직선 4) 평행한 두 직선

16. 공간에서 두 평면의 위치관계 1) 일치한다. 2) 만난다. 3) 평행하다.

17. 평행 l m • 한 평면 위에서 두 직선l, m 이 만나지 않을 때, • 두 직선 l, m은 평행 (기 호 : l∥m)  평행선 : 평행한 두 직선

18. 동위각 : 같은 위치에 있는 두 각 a d c b h e g f ∠a 와 ∠e ∠b 와 ∠f ∠c 와 ∠g ∠d 와 ∠h n l m

19. b c h e • 엇각 : 서로 엇갈린 위치에 있는 두 각 ∠b 와 ∠h ∠c 와 ∠e n l m

20. 평행선의 성질 서로 다른 두 직선이 평행하고, 다른 한 직선과 만날 때 • 1. 동위각의 크기는 서로 같다. • 2. 엇각의 크기는 서로 같다. l∥ m 이면 ∠a = ∠b l∥m이면 ∠b = ∠c a a l c c b b b m

21. 평행선의 성질 서로 다른 두 직선이 한 직선과 만날 때 1. 두 직선이 평행하면 동위각의 크기는 서로 같다. 2. 한 쌍의 동위각의 크기가 같으면 두 직선은 평행하다. 서로 다른 두 직선이 한 직선과 만날 때 1.두 직선이 평행하면 엇각의 크기는 서로 같다. 2.한 쌍의 엇각의 크기가 같으면 두 직선은 평행하다.

22. 다음 그림은 직사각형 모양의 종이를 접은 그림이다. ∠x 의 크기를 구하여라. x

23. 다음 에서 직선 l과 m이 서로 평행일 때, 1)∠x 의 크기를 구하여라. 2) ∠a+ ∠b+ ∠c+ ∠d 의 값을 구하여라. l x l a m b c d m

24. 도형의 작도 • 작도 : 눈금이 없는 자와 컴퍼스 만을 사용하여 • 도형을그리는 것 • 자 : 직선을 긋거나 주어진 선분을 연장할때 • 사용 • 컴퍼스 : 원을 그리거나 주어진 선분의길이를 • 옮길 때 사용

25. 선분의 수직이등분선의 작도 ② ① ① ① 두 점 A, B를 중심으로 반지름의길이가 같은 원을 두 점에서 만나도록 그린다. B A ② ①의 두 교점을 지나는 직선을 긋는다.

26. 각의 이등분선의 작도 ② ③ ① C E ② D ①O를 중심으로 하는 원을 그려서 반직선OA와 OB가 만나는 점을 각각 C, D라 한다. A ② C, D를 각각 중심으로 반지름의길이가 같은 원을 그려서 만나는 점을 E라고 한다. ③ 반직선 OE를 긋는다. O B

27. D ① ③ ⑤ D´ ② ④ 각 의 이 동 B O´ A´ O A C´ C

28. 점 P를 지나면서 직선l에 수직인 직선의 작도 P l ① ② ③

29. 3대 작도 불능 문제 주어진 정육면체의 2배의 부피를 갖는 정육면체의 한 변의 길이를 작도하는 문제 (2) 임의의 각을 삼등분하는문제 (3) 임의의 원과 면적이 같은 정사각형을 작도하는 문제

30. 직각의 3등분 작도

31.  다음 중 작도할 수 없는 각은? ① 10° ② 15° ③ 22.5° ④ 60° ⑤ 135°

32. 선택학습(심화과정) • 정 3, 4, 5 각형은 작도 가능한 정다각형이다. 가장 손쉬운 정다각형 작도방법은 원을 이용하는 것으로 모든 꼭지점이 원 위에 있도록 작도하는 방법이다. 원을 이용하여 정삼각형을 그린 뒤, 원의 중심과 변의 중점을 잇는 직선을 그려 원과 만나는 점을 정삼각형의 꼭지점과 연결하면 정육각형을 작도할 수 있다. 마찬가지로 정육각형의 변의 중점과 원의 중심을 잇는 직선을 그려 원과 만나는 점을 연결하면 정십이각형을 작도할 수 있다. 원을 이용하여 정사각형을 작도한 뒤, 원의 중심과 변의 중점을 잇는 직선을 이용하면 정팔각형을 그릴 수 있고, 한 번 더하면 정십육각형을 작도할 수 있다. 마찬가지의 방법으로 원을 이용하여 그린 정오각형에서 정십각형을 그릴 수 있고, 변의 중점과 원의 중심을 잇는 직선을 그린 뒤, 정이십각형을 작도할 수 있다. 작도에 대해 많은 관심과 연구를 진행했던 고대 그리스의 수학자들은 정 7, 9, 11, 13각형의 작도방법을 알아내기 위해 많은 노력을 기울였지만, 끝내 알아내지 못하였다. 1796년이 되어서야 당시 18세였던 수학자 가우스 의해 정 7, 9, 11, 13각형은 작도 불가능함이 증명되었다. 가우스에 의해 밝혀진 홀수 개의 변을 가진 정다각형에 대한 작도 가능함에 대한 정리는 다음과 같다. • 1.  작도가 가능한 정 n각형 • (1).   의 꼴이면 가능하다. • (2). n이 꼴인 서로 다른 두 소수의 곱이면, 작도 가능하다. • (3). 정 n각형을 작도할 수 있다면, 정 2n각형은 작도가 가능하다. • 2. 의 꼴인 경우 • (1) k=0 이면, 3=2+1이므로 정3각형은 작도가능하다. • (2) k=1 이면, 5=4+1이므로 정5각형은 작도가능하다. • (3) k=2 이면, 17=16+1이므로 정17각형은 작도가능하다. • (4) k=3 이면, 이므로 정257형은 작도가능하다. • 3, 5, 17이 가능하므로 에서 정15각형은 작도가 가능하고, • 에서 정51각형은 작도가 가능하다. 에서 정85각형도 작도가 가능하다

33. 삼각형에 대한 용어 A c b C B a • 세 선분 AB, BC, CA로 둘러싸인 삼각형 ABC를 • 기호로 △ABC와 같이 나타낸다. •  ∠A, ∠B, ∠C를 △ABC의 내각이라고 한다. • ∠A와 마주 보는 변 BC를 ∠A의 대변, • ∠A를 변 BC의 대각이라고 한다.

34. 삼각형의 변의 길이 • 삼각형의 두 변의 길이의 합은 • 나머지 다른 한 변의 길이보다 크다. • 세 변 중 길이가 최대인 변의 길이가 나머지 두 변의 길이의 합보다 크거나 같으면 삼각형이 될 수 없다.

35. 삼각형의 결정조건 1. 세 변의 길이가 주어질 때 2. 두변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어질 때 3. 한변의 길이와 그 양끝각의 크기가 주어질 때 위의 세 가지 조건 중에 어느 한 가지만 주어지면 삼각형의 모양과 크기가 한 가지로 결정된다.

36. 다음 조건을 만족하는 △ABC를 그릴 때, • 삼각형이 하나로 결정되는 것을 모두 고르면? • ① • ② • ③ • ④ • ⑤ • ⑥

37. 합동의 뜻 A A ´ B C C´ B ´ 한 평면도형 P를 그 모양이나크기를 바꾸지 않고 다른평면도형Q와 포갤 수 있을 때, P와 Q를 서로 합동이라고 한다. < 기 호 > △ABC≡△A’B’C’ 합동인 두 도형에서 포개어지는 꼭지점, 변, 각은 서로 대응한다고 한다.

38. 합동인 도형의 성질 • 합동인 두 도형은 • 대응하는 변의 길이는 서로 같다. • 대응하는 각의크기는 서로 같다.

40. ≡ ≡ ≡ 삼각형의 합동조건 1. 대응하는 세 변의 길이가 각각 같을 때 (SSS합동) 2. 대응하는 두 변의 길이가 각각 같고,그 끼인각의 크기가 같을 때 (SAS합동) 3. 대응하는 한 변의 길이가 같고, 그 양 끝각의 크기가 같을 때 (ASA합동)

41. 다음 각 그림에서 합동인 삼각형을 찾아서 기호로 나타내고, 합동조건을 말하여라. A D A D (2) (1) O O B C B C A (3) B D D C

42. 두 쌍의 변의 길이가 같고 한 쌍의 각의 같의 크기가 같은 두 삼각형은 서로 합동이라고 할 수 있나?

43. 한 쌍의 변의 길이가 같고 두 쌍의 같의 크기가 같은 두 삼각형은 서로 합동이라고 말 할 수 있나?

44. 그림에서 △EAB, △DBC는 정삼각형일 때, ∠x의 크기는? D E b P a x 60 C 120 A B b a

45. ② ③ ① C E ② D 각의 이등분선의 작도는 삼각형의 합동조건 중 어떤 합동조건을 이용한 것인지 말하여라. A O B

46. D ① ③ ⑤ D´ ② ④ 크기가 같은 각의 작도는 삼각형의 합동조건 중 어떤 합동조건을 이용한 것인지 말하여라. B C´ C O´ A´ O A