變異量數 (measures of variation) 葉玉賢

變異量數(measures of variation) 葉玉賢 本章重點 1. 變異量數的探討（四分位差） 2.變異數與標準差(Standard Deviation, SD或簡稱S) 3.相對差異係數：變異係數

變異量數的探討

　　變異量數的探討 • 變異量數(measures of variability)的意義： • （1)變異量數是用來了解團體分數的分散情形的指標，數值越大，團體分數分散越大，變異越大。 • （2)變異量數是用來表示一群數值散佈的範圍，也可反映出平均數代表性的大小。 • （3)教育學術領域中，通常把變異量數分為：絕對變異量數（有單位的：例如全距、四分位差、平均差、標準差、變異數）／相對變異量數（無單位的：例如變異係數、標準分數） • 　例如：探討全校男同學體重的變異程度。科技與社會

練習： • Example: • Ａ班的數學分數（共10人） • 20, 35, 50, 50, 65, 65, 65, 80, 90, 100 • ∑= 520 X=52 • Ｂ班的數學分數（共10人） • 50, 50, 50, 50, 50, 50, 52, 52, 58, 58 • ∑= 520 X=52 科技與社會

集中量數／變異量數的差異(分散情形不同，集中情形相同)集中量數／變異量數的差異(分散情形不同，集中情形相同) 科技與社會

變異量數的種類 • 全距 • 四分差 • 平均差 • 標準差與變異數變異數 S² 科技與社會

何謂全距？ • 全距（Range）是指群體全部數值的變動範圍，是計算變異量數的最簡單方式、粗造且壟統的指標。（一）定義：全距是指團體中最大值與最小值的差，可用ω（讀做omega）表示。（二）全距是表示分散情形最簡陋的方式，適用於等距變數，而不適用於次序變數。（三）公式 ω = XH - XL 例子：假定XH=75，XL=32，則全距有兩種表達方式： ω = XH - XL = 75－32 = 43 ω = XH - XL = 75.5－31.5 = 44 • 全距特性： 1. 只考慮最大值與最小值，容易忽略其他數值的分散情形； 2.容易受極端分數的影響，故十分不穩定； 3.全距是變異量數中最簡易的方法，計算簡單明瞭。 4.抽樣個數越多，全距越大，反之，全距越小。科技與社會

四分(位)差的概念 • 四分差（Q）指的是團體中最中間的50%的人分數的一半，我們要取的是次數分配中的那一個25%的距離到底是多少？ • Q1=1/4 N的分數，Q2=2/4 N的分數（Md），Q3=3/4 N的分數。 • 四分位差不是一個點，而是一個距離。 • 公式：科技與社會

四分(位)差的概念 （四）在已歸類資料時的公式： L1 = 第一四分位數所在組的真正下限 F1 = L1以下的累積次數 fQ1 = 第一四分位數所在組的次數 h = 組距 N = 總人數科技與社會

例子：55名學生成就測驗表，試求這55學生的：例子：55名學生成就測驗表，試求這55學生的：四分位差的演算科技與社會

變異數與標準差

變異量數的概念-標準差(Standard Deviation, SD) • 所謂標準差，是指用∑(X-)的方式來表示分數分散的情況。 • 在算出標準差之前，需算出離均差平方和（sum of square of deviation from the mean,簡稱SS），代表每一個分數與平均數的距離量數。 • SS= ∑(X-)² =∑x²（離均差平方和） S² =∑x²/n（變異數） SD= √ ∑x²/n 科技與社會

從標準差公式的涵義可知下列幾項事實 • 當團體人數只有一人，S², S=0，因為沒有個別差異存在，所以就沒有變異數或標準差的存在。 • 當團體中的所有人分數都相同的時候， S², S=0，因為此時每個分數＝Ｘ。 • ㄧ個團體中至少要有兩個人存在，並且其中一人的分數與其他分數不相等時， S², S才會存在，且大於０。科技與社會

變異數與標準差 （一）為了解團體裡分散的情形，最好的方法就是計算所有分數到平均數的距離。（二）然而平均數位於所有數值的中間位置，，必須去除掉負號才能了解確切的分散情形。（三）除了使用絕對值觀念的平均差（AD）以外，我們還可以將每一個加以平方並總加成，這就是離均差平方和（sum of square of deviation from the mean, SS）（四）如果我們再把SS除以總次數N，則可得到變異數S2（variance），再將之開根號，便可得到標準差SD（standard deviation）。科技與社會

該班學生的智育成績的變異情形？（未歸類） • 72, 73, 79, 81, 81, 82, 85, 85, 85, 87 • 87, 89, 89, 90, 90, 91, 91, 91, 91, 92 • 92, 92, 92, 93, 93, 93, 93, 94, 94, 94 • 95, 95, 95, 95, 96, 96, 96, 97, 98 請求該班智育成績中的… 1. ω= 2. X= 3. Q= 4. SD= 科技與社會

標準差(SD)的計算舉例.1 科技與社會

變異數與標準差 科技與社會

變異數與標準差 • 計算公式： • 因為： • 所以：科技與社會

變異數與標準差 例一：當X = 14、12、9、17、8時，試求其標準差。（朱經明，2007：46，表4-3）例二：七名學生參加一項測驗，得分為3，4，8，9，11，12，16，試求此測驗的變異數與標準差各為多少？解答：SS = 17.71、SD = 4.21 科技與社會

變異數與標準差 離均差平方和、變異數及標準差的關係（圖4-2） • 離均差平方和（SS）即指這七個正方形面積的總面積，面積愈大代表團體的分數愈參差不齊。 • 變異數可視為七個正方形面積的平均面積。 • 標準差則是平均面積正方形的長度距離。科技與社會

變異數與標準差 科技與社會

變異數與標準差 • 團體各分數加c，所得變異數仍與原來變異數相等（平均數改變、變異數不變）。證明： • 團體各分數乘c，所得變異數為原來變異數之c2倍（平均數變c倍，變異數變c2倍）證明：科技與社會

比較：各種變異量數的適用時機： • 適用變項：適用等距變項：全距、標準差、平均差。 • 適用次序變項：四分差 • 快速與簡易：全距 > 四分差 >　平均差>　標準差 • 穩定性：標準差>　平均差>　四分差>　全距 • 極端值：出現極端值時，使用四分差比較佳科技與社會

相對差異係數：變異係數

相對差異係數（Coefficient of Relative Variation）（或稱為變異係數, Coefficient of variation, CV） • 意義：表示標準差的大小與平均數的大小相比起來佔平均數的多少百分比。 • 我們想要知道甲乙兩個團體中，哪一個團體的個別差異比較大，這時，除了運用平均數以外，我們可以比較他們的標準差。但是，如果若要比較大學生的身高與小學生的身高，此時這樣的比較沒有意義，而需要運用相對差異係數，再來進行比較。 • 變異係數只能用在描述統計，不能用在推論統計 • 公式：科技與社會

相對差異係數的運算 練習： 1. 崑山科大電機系男生學生的體重，M=70, SD=6.5，崑山科大附設幼稚園男性學生體重，M=40, SD= 2，求男大學生與男幼童的相對差異係數？ 2. 某ㄧ個班上成年男子共有150名，身高的平均數為167cm，標準差為5cm，體重的平均數為61kg，標準差為6kg，試求該班成年男子身高體重的相對差，並解釋此結果的意義。科技與社會

變異量數 (measures of variation) 葉玉賢