第三章线性方程组

第三章线性方程组 §1 消元法设有线性方程组（1）

称为方程组的常数项； 相应的一些概念：称为方程组的系数；解 → 解集合 → 同解方程组

分析：用消元法解方程组的过程． 引例求解线性方程组

用“回代”的方法求出解

于是解得

（　与　相互替换） （以　　　替换　）（以　　　　替换　）小结： 1．上述解方程组的方法称为消元法． 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换：（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．

3．上述三种变换都是可逆的． 由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．

定义：上述三种变换称为方程组的初等变换。

易知，对方程组（1）进行一系列的初等变换 可得到一个阶梯形方程组，不妨设为

（5）

分两种情况： 其中方程组（5）与方程组（1）同解方程组（5）无解，（1）无解。

其中 1) 阶梯形方程组为（6）方程组（6）和方程组（1）有唯一解。

其中阶梯形方程组为 2）

的值，即为方程组（7）的一个解。 把上述方程组改写为（7）由此可见，任给一组值，就唯一地定出

一般地，由（7）我们可以把 通过表示出来。这样一组表达式称为方程（1）的一般解。称为一组自由未知量。的情形是不可能出现的。

初等变换化为阶梯形方程组，去掉恒等式“0=0”初等变换化为阶梯形方程组，去掉恒等式“0=0” 1）若剩下的方程最后一个等式零等于非零数，方程组无解；否则有解，转 2）或 3)。 2）若阶梯形方程组方程个数等于未知量个数，方程组有唯一解。 3）若阶梯形方程组方程个数小于未知量个数，方程组有无穷多个解。用自由未知量表示消元法解方程组的过程

中，如果 那么它必有非零解。在齐次线性方程组定理1

证明由得知，它的解不是唯一的，因而必有非零解。显然，方程组在化成阶梯形方程组之后，方程的个数不会超过原来方程的个数，即

由 sn 个数排列成的 s 行（横的），n 列 定义1 （纵的）的表称为一个 s×n 矩阵。数 aij，i＝1，2，…，s，称为矩阵的元素。 i 称为元素 aij 的行指标，j 称为列指标。当一矩阵的元素全是某一数域 P 中的数时，它就称为这一数域 P 上的矩阵。

则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵 (称为方程组（1）的增广矩阵）的变换．　因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．若记

所谓数域 P 上的矩阵初等行变换是指下列 定义2 三种变换：（1）以 P 中的一个非零的数乘矩阵的某一行；（2）把矩阵的某一行的 c 被加到另一行，c 是 P 中任意一个数。（3）互换矩阵中两行的位置。当矩阵 A 经过初等行变换变成矩阵 B 时，我们写成

n×n 矩阵也称为 n 级方阵。一个 n 级方阵 定义一个 n 级行列式称为 A 的行列式，记为

我们称形式如 的矩阵为阶梯形矩阵。小结：任意一个矩阵经过一系列行初等变换总能变成阶梯形矩阵。

例1： ①,② ①+③ 换行 ①×(-2) +④ ③+④ ②+③ ②×(-3) +④

若记则上述方程组（1）可写成矩阵形式

n 个数组成的有序数组 称为第 i 分量. §2 n维向量空间数域 P 上一个 n 维向量就是由数域 P 中定义2 分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量.

时，维向量没有直观的几何形象． 可以把上述有关三维向量的讨论推广到n维向量. 定义: 1、两个向量的相等 2、两个向量的和 3、向量与数的数量乘积

4、零向量，负向量 易证：向量关于上述“和”、“ 数量乘积”满足交换律、结合律、分配律等. （P115: (2) (3) (6) (7) (8) ）定义8以数域 P 中的数作为分量的n维向量的全体，同时考虑到在它们上面定义的加法和数量乘法，称为数域 P 上的n维向量空间.

维向量写成一行，称为行向量， 通常用　　　　　　等表示，如：维向量写成一列，称为列向量，通常用　　　　等表示，如：维向量的表示方法

向　　量 解析几何线性代数坐标系既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组几何形象：　可随意平行移动的有向线段代数形象：　向量的坐　标　表　示　式向量空间

空间 解析几何线性代数坐标系点空间：点的集合向量空间：向量的集合几何形象：　空间直线、曲线、空间平面或曲面代数形象：　向量空间　中　的　平　面一　一　对　应

向量称为向量组的一个线性组合，如果有数域中的数使 §3 线性相关性定义 9

例令是向量组的一个线性组合，因为

任一个 维向量都是向量组 ↘ 维单位向量的一个线性组合: 且

小结一： 零向量是任一向量组的线性组合。当向量是向量组的一个线性组合时，也说可以经线性表出。

如果向量组 中每个向量定义10 都可以经向量组线性表出，那么向量组就称为可以经向量组线性表出。如果两个向量互相可以线性表出，它们就称为等价。

若向量组 可以经向量组线性表出，向量组可以经向量组线性表出，那么向量组小结二：每一个向量组都可以经它自身线性表出。可以经向量组线性表出。

1）反身性： 每一个向量组都与它自身等价。向量组等价的性质： 2）对称性：如果向量组与等价，那么向量组与等价。 3）传递性：如果向量组与等价，向量组与等价，那么向量组与等价。

定义11 如果向量组定义11′ 向量组使如果有数域中不全为零的数有一向量可以经其它的向量线性表出，那么向量组称为线性相关的。称为线性相关，例任意一个包含零向量的向量组必线性相关。

定义12 一向量组可以推出不线性相关，使即没有不全为零的数就称为线性无关；或者说，一向量组称为线性无关，如果由

由定义可知 • 如果一个向量组的一部分线性相关，那么这个 • 向量组就线性相关。 • 如果一个向量组线性无关，那么它的任何一个 • 非空的部分组也线性无关。

维单位向量 组成的向量组线性无关. 事实上，由

1 0 1 = ¹ 1 1 0 2 0 0 1 1 由于此方程组的系数行列式

定理 2 与是两个向量组，如果 1）向量组可以经线性表出， 2）那么向量组必线性相关。

为了证明 线性相关，只要证可以找证明由 1）有到不全为零的数使

如果我们找到不全为零的数 使做线性组合的系数全为零，那就证明了的线性相关性。这一点是能够做到的，由 2），即

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