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第 4 章 快速傅里叶变换 (FFT)

第 4 章 快速傅里叶变换 (FFT). 4.1 引言 4.2 基 2FFT 算法 4.3 进一步减少运算量的措施. 4.1 引言. DFT 是信号分析与处理中的一种重要变换。因直接计算 DFT 的计算量与变换区间长度 N 的平方成正比，当 N 较大时，计算量太大，所以在快速傅里叶变换 ( 简称 FFT) 出现以前，直接用 DFT 算法进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的。直到 1965 年发现了 DFT 的一种快速算法以后，情况才发生了根本的变化。. 4.2 基 2 FFT 算法.

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第 4 章 快速傅里叶变换 (FFT)

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  1. 第4章 快速傅里叶变换(FFT) • 4.1 引言 • 4.2 基2FFT算法 • 4.3 进一步减少运算量的措施

  2. 4.1 引言 • DFT是信号分析与处理中的一种重要变换。因直接计算DFT的计算量与变换区间长度N的平方成正比，当N较大时，计算量太大，所以在快速傅里叶变换(简称FFT)出现以前，直接用DFT算法进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的。直到1965年发现了DFT的一种快速算法以后，情况才发生了根本的变化。

  3. 4.2 基2 FFT算法 • 4.2.1 直接计算DFT的特点及减少运算量的基本途径 • 复数序列的一般情况，对某一个k值，直接按上式计算X(k)值需要N次复数乘法、(N-1)次复数加法。

  4. N点DFT的复乘次数等于N2。显然，把N点DFT分解为几个较短的DFT，可使乘法次数大大减少。另外，旋转因子 具有明显的周期性和对称性。其周期性表现为 其对称性表现为 或者

  5. 4.2.2 时域抽取法基2FFT基本原理 • FFT算法基本上分为两大类：时域抽取法FFT(Decimation In Time FFT,简称DIT-FFT)和频域抽取法FFT(Decimation In Frequency FFT,简称DIF―FFT)。下面先介绍DIF―FFT算法。 • 设序列x(n)的长度为N，且满足 为自然数 按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列

  6. 则x(n)的DFT为 由于 所以

  7. 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(r)和x2(r)的N/2点DFT，即 由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且 ，所以X(k)又可表示为

  8. 图4.2.1 蝶形运算符号

  9. 图4.2.2 N点DFT的一次时域抽取分解图(N=8)

  10. 与第一次分解相同，将x1(r)按奇偶分解成两个N/4长的子序列x3(l)和x4(l)，即与第一次分解相同，将x1(r)按奇偶分解成两个N/4长的子序列x3(l)和x4(l)，即 那么，X1(k)又可表示为

  11. 式中 同理，由X3(k)和X4(k)的周期性和WmN/2的对称性 Wk+N/4N/2=-WkN/2最后得到：

  12. (4.2.11) • 用同样的方法可计算出 其中

  13. 图4.2.3 N点DFT的第二次时域抽取分解图(N=8)

  14. 图4.2.4 N点DIT―FFT运算流图(N=8)

  15. 4.2.3 DIT―FFT算法与直接计算DFT运算量的比较 • 每一级运算都需要N/2次复数乘和N次复数加(每个蝶形需要两次复数加法)。所以，M级运算总共需要的复数乘次数为 复数加次数为 例如，N=210=1024时

  16. 图4.2.5 FFT算法与直接计算DFT所需乘法次数的比较曲线

  17. 4.2.4 DIT―FFT的运算规律及编程思想 • 1.原位计算 • 由图4.2.4可以看出，DIT―FFT的运算过程很有规律。N=2M点的FFT共进行M级运算，每级由N/2个蝶形运算组成。

  18. 2.旋转因子的变化规律 • N点DIT―FFT运算流图中，每个蝶形都要乘以因子WpN，称其为旋转因子，p称为旋转因子的指数。 • L=1时， WpN=WJ N/4=WJ2L， J=0 • L=2时， WpN =WJ N/2=WJ2L， J=0，1 • L=3时， WpN =WJN=WJ2L， J=0，1，2 • 对N=2M的一般情况，第L级的旋转因子为

  19. 3. 蝶形运算规律 • 设序列x(n)经时域抽选(倒序)后，存入数组X中。如果蝶形运算的两个输入数据相距B个点，应用原位计算，则蝶形运算可表示成如下形式： • X (J) XL-1(J)+XL-1(J+B)WpN • XL(J+B) XL-1(J)-XL-1(J+B)WpN • 式中 • p=J·2 M-L；J=0,1,…，2L-1-1；L=1,2,…，M

  20. 4. 编程思想及程序框图 图4.2.6 DIT―FFT运算和程序框图

  21. 5. 序列的倒序 • DIT―FFT算法的输入序列的排序看起来似乎很乱，仔细分析就会发现这种倒序是很有规律的。由于N=2M，顺序数可用M位二进制数(nM-1nM-2…n1n0)表示。 图4.2.7 形成倒序的树状图(N=23)

  22. 表4.2.1 顺序和倒序二进制数对照表

  23. 图4.2.8 倒序规律

  24. 正向进位与反向进位 • 1 0 0 1 0 0 • + 1 0 0 + 1 0 0 • ———— ———— • 1 0 0 0 0 1 0

  25. 位倒序寻址 0 000 000 0 • 原序 原地址 位倒序后地址 位倒序 1 001 100 4 2 010 010 2 3 011 110 6 4 100 001 1 5 101 101 5 6 110 011 3 7 111 111 7

  26. 位倒序寻址 • AR0 = 100 • AR1 = 000 • 按AR1寻址后，将AR0加给AR1，反向进位 • ADD *BR0+，8，A ；执行加法后，将AR0的值加给当前辅助寄存器，但反向进位

  27. 倒序程序框图

  28. 4.2.5 频域抽取法FFT(DIF―FFT) • 在基2快速算法中，频域抽取法FFT也是一种常用的快速算法，简称DIF―FFT。 • 设序列x(n)长度为N=2M，首先将x(n)前后对半分开，得到两个子序列，其DFT可表示为如下形式：

  29. 偶数 奇数 将X(k)分解成偶数组与奇数组，当k取偶数 (k=2r,r=0,1,…,N/2-1)时

  30. 当k取奇数(k=2r+1,r=0,1,…,N/2-1)时 将x1(n)和x2(n)分别代入(4.2.14)和(4.2.15)式，可得

  31. 图4.2.10 DIF―FFT蝶形运算流图符号

  32. 图4.2.11 DIF―FFT一次分解运算流图(N=8)

  33. 图4.2.12 DIF―FFT二次分解运算流图(N=8)

  34. 图4.2.13 DIF―FFT运算流图(N=8)

  35. 图4.2.14 DIT―FFT的一种变形运算流图

  36. 图4.2.15 DIT―FFT的一种变形运算流图

  37. 4.2.6 IDFT的高效算法 • 上述FFT算法流图也可以用于离散傅里叶逆变换(Inverse Discrete Fourier Transform，简称IDFT)。比较DFT和IDFT的运算公式：

  38. 图4.2.16 DIT―IFFT运算流图

  39. 图4.2.17 DIT―IFFT运算流图(防止溢出)

  40. 如果希望直接调用FFT子程序计算IFFT，则可用下面的方法：如果希望直接调用FFT子程序计算IFFT，则可用下面的方法： • 由于 对上式两边同时取共轭，得

  41. 4.3 进一步减少运算量的措施 • 4.3.1 多类蝶形单元运算 • 由DIT―FFT运算流图已得出结论，N=2M点FFT共需要MN/2次复数乘法。 • 由(4.2.12)式，当L=1时，只有一种旋转因子W0N=1，所以，第一级不需要乘法运算。

  42. 综上所述，先除去第一、二两级后，所需复数乘法次数应是综上所述，先除去第一、二两级后，所需复数乘法次数应是 • 从L=3至L=M共减少复数乘法次数为 因此，　DIT―FFT的复乘次数降至

  43. 从实数运算考虑，计算N=2M点DIT―FFT所需实数乘法次数为从实数运算考虑，计算N=2M点DIT―FFT所需实数乘法次数为

  44. 4.3.2 旋转因子的生成 • 在FFT运算中，旋转因子WmN=cos(2πm/N)-jsin(2πm/N)，求正弦和余弦函数值的计算量是很大的。

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