DEA 及其经济背景

1. DEA及其经济背景 魏权龄 中国人民大学数学系

2. 审视数据包络分析（DEA)） 从数学和经济学两方面审视数据包络分析． Data Envelopment Analysis （ 简称DEA） 1978年 A. Charens, W. W. Cooper和E.Rhodes等人首先给出的． 第一个DEA模型C2R.

3. 审 视 1978年：对当第一个DEA模型C2R,认为是一种关于效率评价的新方法． 2004年(二十六年之后): DEA已经形成了一个数学、经济学、管理科学交叉研究的新领域．

4. 在DEA领域，在以下几个方面做了一系列奠基性的工作：在DEA领域，在以下几个方面做了一系列奠基性的工作： • （ⅰ）完成大量应用的实例； • （ⅱ）DEA模型的扩充和完善 ．例如, DEA模型BC2，FG和ST；加法模型；Log－型的DEA模型；带偏好的锥比率的DEA模型；具有无穷多个DMU的半无限规划的DEA模型；随机DEA模型；逆DEA模型；等等. • (ⅲ) DEA模型和方法的经济背景和管理背景研究； • (ⅳ) 进行DEA模型的计算研究和DEA软件的研制； • （ⅴ）DEA所依据的数学理论研究，

5. 1. 第一个DEA模型C2R 1 2 …… n … x1 x2…… xn y1 y2…… yn… 评价DMU－j0的DEA模型（C2R）为分式规划（h0为DMU－j0的效率指数）：

6. 分式规划(其中x0 = xj0 ,y0 = yj0 ,1≤j0≤n．

7. 用1962年Charnes和Cooper对于分式规 划的Charnes－Cooper变换（称为 C2－ 变换）:

8. DEA有效的定义: 弱DEA有效: 最优目标值(称为效率指数) h0= 1． DEA有效: 若（PC2R）存在最优解ω0,μ0满足ω0 >0,μ0 >0，h0 = μ0y0 = 1． 利用（PC2R）来判别DMU的DEA有效性并不直接．考虑（PC2R）的对偶规划问题

9. 利用线性规划的对偶定理和紧松定理，可以得 到关于DEA有效的等价定义．

10. DEA有效: 若（DC2R）的任意最优 解θ0 ,λ0j, j = 1,2,  , n, 都满足 2. DEA有效性的判别(计算) 利用（DC2R）判断DMU的DEA有效性时也不直接．对于DEA模型（DC2R），Charnes和Cooper给出了具有非阿基米德无穷小量的DEA模型．

11. 此后，人们又发现用“两步法”判断DMU的弱DEA有效性和DEA有效性（即源于Charnes等人的目标规划形式的“加法模型”．此后，人们又发现用“两步法”判断DMU的弱DEA有效性和DEA有效性（即源于Charnes等人的目标规划形式的“加法模型”． 同时,人们又研究了DEA模型的计算稳定性和灵敏度分析,等等. DEA软件研制. 至此，DEA有效性的判别和计算已经完成．

12. 3.（弱）DEA有效与（弱）Pareto最优的等价性(1985)3.（弱）DEA有效与（弱）Pareto最优的等价性(1985) 设ω0,μ0为（PC2R）的最优解。若DMU－j0为弱DEA有效，则(x0 ,y0)为下面线性加权和问题的最优解 其中

13. 定理DMU－j0为（弱）DEA有效的充分必要条件是：(x0 ,y0)为多目标规划（ＶＰ）的（弱）Pareto解，其中 并且

14. 4. 锥比率的DEA模型C2WH(1987) C2R模型之下的DEA有效概念与多目标规划的Pareto解等价 . DEA模型C2R没能体现决策者的偏好. 早在1974年P .L .Yu就给出了多目标的非支配解(Nondominated Solution）的概念，已将多目标的Pareto解推广到能体现决策者偏好的非支配解.

15. 1989年Charnes，Cooper，Wei和Huang推广了C2R模型，得到体现决策者偏好的、被称为“锥比例的C2WH模型”. 其中 X=( x1 , x2 , …, xn )T , Y=( y1 , y2 , …, ym )T， , , 为闭凸锥.

16. 利用C2变换，化为具有锥结构的DEA模型 （PC2WH） （DC2WH）

17. 定理 在“约束规格”的假设下，DMU—j0为DEA有效（C2WH）的充分必要条件是：（x0 ,y0）为下面多目标规划的相对于V*U*的非支配解 其中生产可能集

18. 5. DEA模型C2R与Shephard输入距离函数之间的关系 • 1970年由R. W. Shephard给出的输入距离函数. • 也可以将它看做1957年由M. T. Farrell对单输入/输出的有效性度量方法推广到多输入/多输出的情况. 令生产可能集T和产出水平y之下的投入集分别为

19. 令生产可能集T和产出水平y之下的投入集分别为令生产可能集T和产出水平y之下的投入集分别为 Shephard在关于生产可能集T某些假设条件之下,定义了输入距离函数 而相应的Farrell的有效性度量为

20. 注意: • Shephard从未用线性规划模型直接估计距离函数． • 同样,Farrell也没有在他1957年的文章中将他的效率指数度量用一个线性规划模型实现． • 由Charnes和Cooper等人给出的DEA模型C2R,是首次用线性规划直接估计1970年由 Shephard给出的输入距离函数.

21. Charnes 对生产可能集T,引入了如下的一些公理： 公理1（平凡公理）: 公理2（凸性公理）:集合T为凸集. 公理3（无效性公理）若 则 公理4 （锥性公理）:集合T为锥. 若生产可能集Ｔ是所有满足公理1 , 2 , 3和4的最小者，则T有如下的唯一表示形式

22. = 于是对偶线性规划（DC2R）可改写为 可见, C2R模型之下的效率指数h0 与Shephard的距离函数互为倒数.

23. 也即（DC2R）模型与Farrell 1957年的效率度量相对应． 对于DEA模型（PC2R），R. Färe等人于2000年曾有一篇文章指出：将Shephard 的输出定价模型，经过一些计算和推导是与（PC2R）的形式类似． 除此之外，在数理经济学关于多输出系统的生产有效性的研究中，也曾从生产可能集的公理体系出发，用Pareto最优定义生产有效性． 然而，DEA模型C2R之下的（弱）DEA有效与（弱）Pareto解等价．

24. 由此可以看出： Charens和Cooper等人首创的DEA是使用线性规划理论和模型研究经济学中多输入（特别是）多输出系统的有效性。这是对经济学的拓展和创新，也是一种对有效性评价的具体实现. DEA的研究开创了经济学与数学交叉研究的一个新领域.

25. 6 ．DEA有效的经济含义 DEA的理论、模型是以微观经济学为其理论基础． 研究DEA有效性的经济含义是以生产函数 y = 为背景的． “技术有效” ： 若生产状态（x, y）满足 y = ，则称生产状态（x, y）是“技术有效”的 （ 也即输出相对输入而言已达到最大）．此时，点（x, y）位于生产函数的曲面上．

26. “规模有效”：当 时，经济学中的“边际报酬递减规律”是指：生产函数的一阶导数表现为先增后减的规律（或函数先为凸，后为凹）．所谓“规模有效”，是指投入量x既不偏大，也不过小，是介于规模收益由递增（递增）到递减（递减）之间的一种状态（即“规模收益不变”的最佳状态）． Y 。DMU -3 。DMU -2 。DMU4 。 。DMU-1 TC2R 0 x 如果用（DC2R）模型来判断DEA有效性，只有DMU-2为DEA有效． DMU-4 DMU-1

27. 可见，DMU－j0在C2R模型之下为DEA有效，DMU－j0对应的生产状态（x0,y0）既为技术有效，也为规模有效．可见，DMU－j0在C2R模型之下为DEA有效，DMU－j0对应的生产状态（x0,y0）既为技术有效，也为规模有效． 7 ． DEA模型的扩充 • DEA模型的扩充：可以源于数学上的考虑．然而，源于经济背景的研究所得出的数学模型似乎更直接． • 1984年R. D. Banker，Charens和Cooper给出了DEA模型BC2．DEA有效是技术有效的 ． • 1985年R. Färe和S. Grosskopf 给出了DEA模型FG.DEA有效是技术有效的，同时，在规模收益上或为规模收益不变或为规模收益递减．

28. 1990年，L. M. Seiford和R. M. Thrall 给出了ST模型．DMU是技术有效，同时，在规模上或为规模收益不变或为规模收益递增． 公理5（压缩性公理）若 则 ． 公理6（扩张性公理）若 则 ．

29. 如果生产可能集定义为：所有满足公理1，公理2和公理3的最小者，则得到DEA模型BC2；如果生产可能集定义为：所有满足公理1，公理2和公理3的最小者，则得到DEA模型BC2； • 如果生产可能集定义为：所有满足公理1，公理2，公理3和公理5的最小者，则得到DEA模型FG； • 如果生产可能集定义为：所有满足公理1，公理2，公理3和公理6的最小者，则得到DEA模型ST。

30. 我们引进三个取值为０或１的参数δ1,δ2,δ3时，生产可能集Ｔ有如下的形式我们引进三个取值为０或１的参数δ1,δ2,δ3时，生产可能集Ｔ有如下的形式 此时DEA模型C2R，BC2，FG 和 ST可以用统一的形式写成也即（称（P）和(D)为综合的DEA模型）

31. 它的对偶规划为 对综合的DEA模型，可以证明：DMU－j0的DEA有效性与多目标规划（ＶＰ）的Pareto解之间是等价性的；可以讨论弱DEA有效与多目标规划（ＶＰ）的弱Pareto解之间的关系．1996年Yu ,G, Wei Q .L . 和 P . Brockett 给出了更为一般地带有偏好的DEA模型GDEA，证明了DEA有效等价于非支配解．

32. 8 ． 使用DEA模型判别DMU的规模收益状况和“拥挤”迹象 规模收益状况（return to scale）是指：当投入增大k倍（k>1），产出是大于k倍、等于k倍、小于k倍时，分别称为生产状态（x, y）是处于规模收益递增、规模收益不变、规模收益递减．例如C-D生产函数 ， ，有

33. 在微观经济学中，还有一种情况，当投入增大k倍时（k>1），产出不仅不会增大，反而会减少（或当投入减少时，产出反而会增大），这种生产函数被称为“俱乐部函数”（club function）．此时，是C-D生产函数中 的情况,称为“拥挤”迹象(Congestion) ． 对于多输出的系统，如何利用DEA模型研究DMU的规模收益状况（Return to Scale）是人们一直关心的问题．自2000年,人们也开始关心的“拥挤”迹象的判定问题． 2003年，Wei和Yan从研究规模收益状况和“拥挤”的统一观点出发给出了判定的充分必要条件．考虑一个新的DEA模型NEW（这里生产可能集是满足公理1，公理2以及投入无效性公理的最小者）：

34. 若DMU-j0在DEA模型NEW之下为弱DEA有效（即（DNEW）的最优值为1）．我们利用输出的DEA模型FG和输出DEA模型ST去判断DMU的规模收益状况和“拥挤”迹象，其中输出FG模型为：若DMU-j0在DEA模型NEW之下为弱DEA有效（即（DNEW）的最优值为1）．我们利用输出的DEA模型FG和输出DEA模型ST去判断DMU的规模收益状况和“拥挤”迹象，其中输出FG模型为：

35. FG输出模型 ST输出模型

36. 定理 设DMU—j0在输出DEA模型NEW之下为弱DEA有效，则 （i）DMU—j0 为规模收益不变的充分必要条件是：DMU—j0 在输出FG模型下为弱DEA有效，在输出ST 模型下也为弱DEA有效 . （ii）DMU—j0 为规模收益递增的充分必要条件是：DMU—j0 在输出ST模型下为弱DEA有效，而在输出FG模型下不为弱DEA有效 . (iii) DMU—j0 为规模收益递减的充分必要条件是：DMU—j0 在输出FG模型下为弱DEA有效，而在输出ST模型下不为弱DEA有效. (iv) DMU—j0呈现“拥挤”迹象的充分必要条件是：DMU—j0 在输出FG模型下不为弱DEA有效，在输出ST模型下也不为弱DEA有效．

37. 9 ．其它与经济背景有关的几个专题研究 • 9.1具有无穷多个DMU的DEA模型 1986年Charnes, Cooper, Wei和Yue 研究了具有无穷多个DMU的半无限规划的DEA模型C2W[7]和C2WY[23]. C2W模型是国际上第一个非线性的DEA模型，它深刻地揭示了DEA在数学上和经济上的含义，被认为“提出了一个精美的研究结构，并且对统计方面的研究给出了一个分析基础”.根据具有无穷多个DMU的DEA模型，可以证明：

38. 由有限多个DMU得到的生产可能集是对生产函数的下图的一种逼近；由有限多个DMU得到的生产可能集是对生产函数的下图的一种逼近； DEA的生产前沿面可看作是用分段（片）的线性函数对生产函数曲面的一种逼近； DEA模型可用来判断DMU的规模收益状态 . 以上述的理论为基础，利用DEA模型评估部门或企业的技术进步速度和及各企业的技术进步相对超前或滞后年限.同时，也可建立非参数的微观经济模型等.

39. 9.2生产可能集的生产前沿面的特性和结构分析 • 直观上看，生产前沿面是由分段（片）的线性函数“拼凑”而成的，找出生产可能集的各个前沿面，由此确定出各段（片）如何由生产前沿面上的DMU的联结，即确定出生产前沿面的结构.不难看出，生产前沿面的结构确定之后，可得到很多的经济特性和管理信息. • 1999年，Wei，Yan和Hao利用求多凸面体全部极点的方法（见Wei和Yan）给出了确定生产可能集的真正（弱）有效前沿面的更为简单的方法，由此可得到生产可能集的（弱）Pareto面的结构 . 求出生产可能集的真正（弱）有效前沿面，可以更深入的对DMU进行分析，甚至不必进行线性规划的单纯形方法求解，得出更多的管理信息 .

40. 8.3 DEA的对策论背景研究 • 自第一个DEA模型出现以来，人们除了进行DEA的应用实例研究和模型拓展之外，也在努力进行DEA的相关领域背景研究，其中也包括了利用对策论模型对DEA有效概念的解释．1995年Roussean和Semple给出了被称为比率效率对策模型（Ratio Effiency Games），并研究了对策模型与DEA模型的等价关系；2000年Hao, Wei和Yan研究了具有锥结构的约束对策与具有锥结构的综合DEA模型的等价性.该模型是一个二人无限零和对策．局中人I是“评估者”，他是从生产可能集中选取生产状态（x, y）；局中人II是“被评者”（即DMU-j0），他是选取对自己最为有利的权系数；赢得函数取为投入、产出效率比．该模型之下的（弱）对策有效与DMU为（弱）DEA有效等价．

41. 10 结束语 在我比较喜欢的一本关于数学与经济的书中，书的作者引用了一则笑话：“有人提出这样一个命题：凡是奇数都是质数． • 数学家见到这个命题后去找了一个反例，回答说：这个命题是没有根据的； • 物理学家见到这个命题后去做实验，回答说：这个命题有时是正确的，有时是不正确的； • 工程师见到这个命题后就去做试用，回答说：这个命题有用； • 经济学家见到这个命题后苦苦思索，回答说：我们假设这一命题成立……”．

42. 不同学科领域的人都有自己本能的专业思考习惯和工作方式，特别是有着不同的学术评价标准．从事于交叉领域研究的人常常会遇到来自不同学科领域的人的“挑剔”．不同学科领域的人都有自己本能的专业思考习惯和工作方式，特别是有着不同的学术评价标准．从事于交叉领域研究的人常常会遇到来自不同学科领域的人的“挑剔”．

43. 从数学家的角度来审视DEA： 分式目标形式的C2R模型（投入产出比最大） ； 经过C2－变换转化为线性规划模型； 由对偶理论，使得判别DEA有效性具有可操作性（用线性规划计算） ； （弱）DEA有效的概念与从多目标Pareto最优性等价； 带偏好的锥比例模型C2WH和GDEA模型；

44. 具有无穷多个DMU的DEA模型C2W（半无限的DEA模型） ； 建立对策论的模型，对DEA有效性（包括DEA模型中的权系数）给出对策 方面的背景解释； DEA模型中引进隋机因素，等等． 总之，对DEA而言，数学上的种种努力，至少得到了最优化领域学者们的称赞 ．

45. 对于数学与经济学交叉学科领域，不要以为数学家的审视过于严格和数学化，有时经济学家的审视却极为的“武断”．在国际上，虽然经济学中的某些分支研究“数学化”倾向是明摆的事实，然而在数学与经济学交叉研究的领域，有人却把过多用数学研究经济学的成果误认为是在经济学中所做的“数学练习”．庆幸的是，在DEA领域研究的一开始，就由数学家、经济学家、管理学家Charnes和Cooper主宰了DEA的研究和发展（Charens教授也是1975年诺贝尔经济学奖的最后一轮三人候选者之一）．对于数学与经济学交叉学科领域，不要以为数学家的审视过于严格和数学化，有时经济学家的审视却极为的“武断”．在国际上，虽然经济学中的某些分支研究“数学化”倾向是明摆的事实，然而在数学与经济学交叉研究的领域，有人却把过多用数学研究经济学的成果误认为是在经济学中所做的“数学练习”．庆幸的是，在DEA领域研究的一开始，就由数学家、经济学家、管理学家Charnes和Cooper主宰了DEA的研究和发展（Charens教授也是1975年诺贝尔经济学奖的最后一轮三人候选者之一）．

46. 从经济家的角度来审视： DEA的生产可能集公理体系的建立； DEA模型的扩充； DEA有效的经济含义研究； 生产前沿面的特性及结构分析； 用DEA方法和模型研究技术进步速度评估； 使用DEA模型判断规模收益状况和“拥挤”迹象；

47. 直接使用输入、输出数据建立非参数的经济数学模型，并进行经济特性分析，等等． 这些都是针对经济学中的特定问题进行的DEA研究．自然，DEA领域能得到经济学家的首肯并参与研究．

48. 作为数学、经济学和管理学交叉研究的新领域，理所当然也应受到管理学家的审视．使用DEA方法和模型对DMU进行评价的客观性，以及评价当中可以得到很多具有价值的管理信息，加之DEA软件的成功研制，得以DEA的实际应用．因此，DEA领域同时受到了管理学家的欢迎和参与研究．作为数学、经济学和管理学交叉研究的新领域，理所当然也应受到管理学家的审视．使用DEA方法和模型对DMU进行评价的客观性，以及评价当中可以得到很多具有价值的管理信息，加之DEA软件的成功研制，得以DEA的实际应用．因此，DEA领域同时受到了管理学家的欢迎和参与研究．

49. 本报告关于DEA及其经济背景的浅谈．对DEA有兴趣的读者可参考作者的新近两本专著：本报告关于DEA及其经济背景的浅谈．对DEA有兴趣的读者可参考作者的新近两本专著： [1] 魏权龄,阎洪,广义最优化理论和模型，科学出版社,2003. [2] 魏权龄,数据包络分析,科学出版社，2004. 谢谢！