Unidade 2. Dependência Linear e Base

1. Unidade 2. Dependência Linear e Base • Dependência Linear • Base no Espaço • Vetores no Plano • Vetor definido por dois pontos • Vetor Posição • Soma de vetores da base • Ponto médio • Módulo de um vetor • Distância entre dois pontos • Vetor unitário • Vetores no Espaço

2. Dependência Linear Dados os vetores u, v e w e os coeficientes reais a, b, c, onde au+bv+cw=0. O conjunto dos vetores {u,v,w} é linearmente independente se e somente se a=b=c=0 simultaneamente. Analisando os detalhes. Dado {u,v} onde u=-2v u//v Então{u,v} é linearmente dependente (LD) Caso Particular de au+bv=0 Onde a=1 e b=2 2. Dado {u,0} caso particular de 1 Então{u,0} é linearmente dependente (LD) Caso Particular de au+b0=0 Onde a=0 e b 3. Dado {u,v} la/v=au Então{u,v} é linearmente independente (LI) Portanto se au+bv=0 a=0 e b=0

3. 4. Dado {u,v,w} onde w=u+v u+v-w=0 Então{u,v,w} é linearmente dependente (LD) Caso Particular de au+bv-cw=0 Onde a=1, b=1 e c=-1 Caso Particular de au+bv+c0=0 a=b=0 c 5. Dado {u,v,0} Caso particular de 4 Então{u,v,0} é linearmente dependente (LD) Caso Particular de au+bv+cw=0 Onde a=1, b=-2 e c=0 6. Dado {u,v,w} sendo u=2v então u-2v+0w=0 Então{u,v,w} é linearmente dependente (LD) 7. Dado {u,v,w} no espaço Então{u,v,w} é linearmente independente (LI) au+bv+cw=0 Implica que a=b=c=0

4. Base no Espaço Uma base no espaço é uma terna ordenada (v1,v2,v3), se o conjunto de vetores {v1,v2,v3} é linearmente independente (LI) isto é v1,v2,v3 não são nulos e nem coplanares, então existe uma terna de números reais a, b, c tais que v=av1+bv2+c v3, qualquer que seja v no espaço.

5. Vetores no Plano Sejam e , não paralelos com a mesma origem conforme vemos a seguir: s2 São combinação linear de e s1 Em geral, para cada u no plano há apenas dois números a1 e a2 tal que: u=a1u1+a2u2 Os vetores representados: Nestas condições {u1 ,u2} é chamado de base no plano se os vetores NÃO são paralelos NEM nulos. Consequentemente, todos os vetores do plano são expressos como combinação linear dos vetores da base. a1 e a2 são chamados de coordenadas e u pode ser também representado como u=(a1,a2)

6. Na prática utiliza-se as bases ortonormais se os vetores são perpendiculares entre si. y A base ou é chamada de base canônica no plano. x O vetor u é uma soma de dois vetores: u=ux+uy Onde: Coeficientes ou coordenadas do espaço abscissa Ordenada (afastamento) Desta forma o vetor u na base pode também ser escrito como: Exemplo:

7. Vetor definido por dois pontos y Dados dois pontos no espaço A e B: o vetor pode ser definido através da soma dos vetores que definidos a partir da origem dos sistema de coordenadas A(x1,y1) y1 B(x2,y2) y2 x o x1 x2 Exemplo: Dados os pontos no espaço, A(1,5) e B(3,2), determine o vetor . Este vetor nada mais é do que o vetor representado a partir da origem do sistema de coordenadas . É chamado de vetor posição ou representante natural de .

8. Vetor Posição y A(x1,y1) O vetor v que liga a origem do sistema de coordenadas ao ponto P é o vetor posição ou o representante natural do vetor original . y1 B(x2,y2) y2 x o x1 x2 P(x2-x1,y2-y1)

9. Soma de vetores da base y Dados os vetores na base ortonormal . x A soma dos vetores: y Graficamente Genericamente: x

10. Ponto médio y Observando-se o gráfico pode-se verificar: A(x1,y1) y1 M(x,y) y B(x2,y2) y2 Se Então: x o x1 x x2 Portanto: Exemplo: Dados dois pontos A(3,8) e B(7,4) encontre o ponto médio entre A e B.

11. Módulo de um vetor Dado o vetor u=xi+yj definido na origem do sistema de coordenadas ortonormal. O módulo deste vetor está relacionado com a hipotenusa do triângulo retângulo formado. Portanto: y y y x x Exemplo: Dado o vetor na base ortonormal , determine o seu modulo.

12. Distância entre dois pontos Com base no cálculo do módulo de um vetor é possível definir-se a distância entre dois pontos no espaço conforme demonstrado abaixo. y A(x1,y1) y1 B(x2,y2) y2 x o x1 x2 Exemplo: Dados os pontos A(1,7) e B(-3,-2). Determine a distância entre A e B.

13. Vetor unitário É um vetor de módulo 1: Exemplo: Dado o vetor v=(2,4), na base ortonormal , determine o vetor unitário da direção de v. O vetor unitário é o representante da direção do vetor que o originou.

14. Vetores no Espaço No espaço (tridimensional) todas as equações apresentadas no plano são equivalentes acrescentando-se o termo referente à terceira coordenada. Desta forma, não é necessário uma apresentação detalhada. z yOz É a base canônica no espaço xOz o y xOy x

15. Vetores no Espaço: Dividido em 8 octantes 3 z 2 7 6 o y 4 1 8 5 x

16. Representação de um vetor na base ortonormal canônica no espaço. z y o x

17. Vetor definido por dois pontos e vetor Posição • Soma de vetores da base • Ponto médio

18. Módulo de um vetor • Distância entre dois pontos • Vetor unitário

19. E´o Fim E´o Fim