建筑科技大学附属中学吴惠芸

基本不等式 建筑科技大学附属中学吴惠芸

国际数学大会（ICM2002）的会标 根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的

D b F G a C A E H B a2+b2>2ab 你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？正方形ABCD的面积>4个直角三角形面积之和小提示：从面积上寻找关系 ICM2002会标

D a 当a=b时a2+b2=2ab A C b E(FGH) B 当且仅当a=b时，等号成立。

a>0,b>0 一、重要不等式 a2+b2≥2ab 若a,b∈R，那么（当且仅当a=b时，取“=”号） • 形的角度 • 数的角度 a2+b2－2ab =(a－b)2≥0

若a,b∈R，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时，取“=”号）若a,b∈R，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时，取“=”号） • 以下不等式是否成立？a2+b2≥－2ab， a2+b2≥2|ab| • 换元法 • 如果用去替换a、b,前提是什么？能得到什么结论?

（当且仅当a=b时，取“=”号） 若a>0 b>0 若a∈R,b∈R 那么a2+b2≥2 a b 那么a + b ≥2 （当且仅当a=b时，取“=”号）

二、基本不等式 （当且仅当a=b时，取“=”号）若a>0 b>0 其中我们把叫做a,b的算术平均数，把叫做a,b的几何平均数，因此基本不等式又称为均值不等式。实际运用一实际运用二

三、基本不等式代数及几何意义 （当且仅当a=b时，取“=”号）若a>0 b>0 积和 1、数的角度两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 2、形的角度具有特定的几何意义

令AC=a CB=b • 几何解释：半径不小于半弦

例１设ａ，ｂ均为正数，证明　　　　　　四、基本不等公式的拓展 ≥ • 几何解释：Ｅ

平方平均数 几何平均数例2：算术平均数调和平均数实际应用：设第一、第二次购白糖的价格分别为每斤a元和b元，甲每次购100斤白糖，乙每次购100元白糖，问谁买的白糖单价便宜？几何解释

≥ y＝x＋例4： (x不为0)证明：|y| 2 五、基本不等式在函数中的应用例3：若则（） B

六、本课小结 1、今天这节课学了哪些主要知识？（1）重要不等式和基本不等式的条件及结构特征（2）基本不等式在几何、代数及实际应用三方面的意义（3）重要结论（4）在函数中的应用及了解不等式的推广 2、在解决问题时用了哪些思想方法？其中当且仅当a＝b时取等号. 代换思想、数形结合思想、实际应用思想、分类讨论思想、特殊到一般的思想、比较法等。

七、基本不等式的推广 这个基本不等式可否推广到“n个非负数”的情形，有兴趣的同学可作进一步的研究，也可查阅有关资料。 … …+ n …

八、作业 95页B组第一题构建和谐结构绘制优美图形感受文化内涵体验实际应用

谢谢大家 再见!

应用1： 今有一台天平，两臂长不等，其余均精确. 商贩说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次称量的结果的和的一半就是物体的真实重量，这种说法对吗？并说明你的结论 .

应用2： 甲、乙两商场对单价相同的同类产品进行促销.甲商场采取的促销方式是在原价 p 折的基础上再打 q 折；乙商场的促销方式则是两次都打折.对顾客而言，哪种打折方式更合算？ (0<p<10, 0<q<10, p≠q )

建筑科技大学附属中学 吴惠芸