勾股定理（畢氏定理，商高定理）

1. 勾股定理（畢氏定理，商高定理） 定義︰在直角三角形中，兩直角邊的平方 和等於斜邊的平方。

2. 畢氏定理的外國史 勾股定理是初等幾何中的一個基本定理。這個 定理有十分悠久的歷史，幾乎所有文明古國（希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等）對此定理都有所 研究。 希臘著名數學家畢達哥拉斯（前580至568- 前501至500）曾對本定理有所研究，故西方國家均 稱此定理為畢達哥拉斯定理，據說畢達哥拉斯十分喜愛這個定理，當他在公元前550前年左右發現這 個定理時，宰殺了百頭牛羊以謝神的默示。但畢達哥拉斯對勾股定理的證明方法已經失傳。

3. 著名的希 臘數學家歐幾里得（前330-前275）在巨著《幾何原本》（第Ⅰ卷，命題47）中給出一個很好的證明 （如圖1）：分別以直角三角形的直角邊AB，AC及斜邊BC向外作正方形，ABFH，AGKC及BCED，連FC， BK，作AL⊥DE。則歐幾里得通過△BCF及△BCK為媒介。證明了正方形ABFH與矩形BDLM及正方形ACKG與 矩形MLEC等積，於是推得AB2+AC2=BC2。有興趣的讀者可參以下之網址︰<<http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html >>

4. 分別以直角三角形的直角邊AB， AC及斜邊BC向外作正方形，ABFH ，AGKC及BCED，連FC， BK， 作AL⊥DE。則歐幾里得通過△BCF 及△BCK為媒介。證明了正方形 ABFH與矩形BDLM及正方形ACKG 與 矩形MLEC等積，於是推得 AB2+AC2=BC2。

5. 商高定理的我國史 在我國，這個定理的敘述最早見於《周髀算經 》（大約成書 於公元前一世紀前的西漢時期），書中有一段商高（約前1120） 答周公問中有「勾廣三 ，股修四，經隅五」的話，意即直角三角 形的兩條直角邊是3及4、則斜邊是5。書中還記載了陳子（ 前716） 答榮方問︰「若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘 ，並而開方除之、得邪至 日」，古漢語中邪作斜解，因此這一句 話明確陳述了勾股定理的內容。

6. 至三國的趙爽（約3世紀）， 在他的數學文獻《勾股圓方圖》中（作為《周髀算經》的注文，而被保留於該書之中）。運用弦圖， 巧妙的證明了勾股定理，如圖2。他把三角形塗成紅色，其面積叫「朱實」，中間正方形塗成黃色叫 做「中黃實」，也叫「差實」。他寫道︰「按弦圖，又可勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股 之差相乘為中黃實，加差實，亦稱弦實」。若用現在的符號，分別用a、b、c記勾、股、弦之長，趙 爽所述即 2ab+(a-b)2=c2， 化簡之得a2+b2=c2。

7. 他把三角形塗成紅色，其面積叫「朱實」，中間正方形塗成黃色他把三角形塗成紅色，其面積叫「朱實」，中間正方形塗成黃色 叫做「中黃實」，也叫「差實」。他寫道︰「按弦圖，又可勾股相乘 為朱實二，倍之為朱實四，以勾股 之差相乘為中黃實，加差實，亦 稱弦實」。若用現在的符號，分別用a、b、c記勾、股、弦之長，趙 爽所述即 2ab+(a-b)2=c2， 化簡之得a2+b2=c2。 12世紀印度的婆什迦羅(1114 -1185）的書中 也有一個類似的圖 ，和弦圖不同的是沒有外邊的正方形，也沒有其它說明，只在旁邊寫 著「請看！」 二字。

8. 中外有關畢氏定理的不同 畢達哥拉斯在公元前550年左右發現這個定理，故西方國家均 稱此定理為畢達哥拉斯定理。 在中國，這個定理的敘述最早見於《周髀算經》（大約成書於公元前一世紀前的西漢時期），書中有一段商高（約公元前1120年）答周公問中有「勾廣三 ，股修四，經隅五」的話，意即直角三角形的兩條直角邊是3及4、則斜邊是5。即是勾股定理。

9. 從以上一些西方國家和中國對於畢氏定理(勾股定理)發現時間中的分別中，可以清晰知道這個定理的敘述最早是發現在中國的。從以上一些西方國家和中國對於畢氏定理(勾股定理)發現時間中的分別中，可以清晰知道這個定理的敘述最早是發現在中國的。 從以上的資料知道西方國家和中國對於畢氏定理(勾股定理)的證明方法也有不同之處(見下頁)。

10. 外國證明法<<其一>> 分別以直角三角形的直角邊AB，AC及斜邊BC向外作正方形，ABFH，AGKC及BCED，連FC， BK，作AL⊥DE。則歐幾里得通過△BCF及△BCK為媒介。證明了正方形ABFH與矩形BDLM及正方形ACKG與 矩形MLEC等積，於是推得 AB2+AC2=BC2。 < 歐幾里得的證明方法 >

11. 中國證明法<<其一>> 把三角形塗成紅色，其面積叫「朱實」，中間正方形塗成黃色叫做「中黃實」，也叫「差實」。他寫道︰「按弦圖，又可勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股 之差相乘為中黃實，加差實，亦稱弦實」。若用現在的符號，分別用a、b、c記勾、股、弦之長，趙爽所述即 2ab+(a-b)2=c2， 化簡之得a2+b2=c2。 < 趙爽的證明方法 >

12. 畢氏定理-----別名 1. 商高定理 2.勾股定理 3. 百牛定理 4. 新娘圖

13. 商高定理&勾股定理 商高定理這個名稱的來源是由中國從 前的一本數學書<<周X算經>>來的。因為 這本書有和畢氏定理相同的定理 , 而作者 就是商高, 所以畢氏定理亦稱商高定理。 勾股定理這個名稱的來源是由<<周X算 經>>中的圖中看出來的。因為那圖好像一 把弓 , 所以畢氏定理亦稱勾股定理

14. 百牛定理&百牛定理----網址 百牛定理這個名稱的來源是由於畢達哥 拉斯發現畢氏定理時 , 他認爲這個定理太 重要了 , 下令殺一百頭牛祭祀神 , 所以畢氏 定理亦稱百牛定理。 http://www.bud.org.tw/Winnie/Winnie22.htm http://linux.ttjhs.chc.edu.tw/~nwu/233/gsp-4.htm

15. 新娘圖 新娘圖這個名稱的來源是由於畢氏 定理有一個圖是由兩個正方形組合成一個大三角形 , 有兩人結合的意思 , 所以畢氏 定理亦稱新娘圖。

16. 補充知料 到了19世紀70年代，著名的德國數學家外爾斯特拉斯﹝1815-1897﹞、康托爾﹝1845-1918﹞和法國的柯西﹝1789-1857﹞及戴德金﹝1831-1916﹞等都對實數理論進行了研究，獲得了幾種形異而實同的實數理論，其中以戴德金分割法﹝1872﹞；康托爾的有理數「基本序列」法﹝1872﹞為最有代表性。上述兩法與外爾斯特拉斯的實數理論合稱實數理論的三大派。　 由極限理論可知，有極限的有理數列都應該是基本數列，例如若a為有理數，常數數列 a， a…， a，…… 當然是基本數列，它的極限就是a本身。對2進行開平方，可依次得出一列有限小數 1，1.4，1.41，1.414，1.4142，……

17. 也是一個基本數列，如果已經定義了實數的話，那麼它的極限應該是，但是在尚未引進無理數，而只有有理數的情況下，上述基本數列是沒有極限的。這就啟示我們，把每一個「基本數列」當做一種新的「數」來看待，即凡是收斂於有理數a的基本數列，把它看作有理數a，凡不能收斂於有理數的基本數列，就把它看做新的「數」──無理數。從而把基本數列的全體可當做一個「數集」，稱它為實數集。也是一個基本數列，如果已經定義了實數的話，那麼它的極限應該是，但是在尚未引進無理數，而只有有理數的情況下，上述基本數列是沒有極限的。這就啟示我們，把每一個「基本數列」當做一種新的「數」來看待，即凡是收斂於有理數a的基本數列，把它看作有理數a，凡不能收斂於有理數的基本數列，就把它看做新的「數」──無理數。從而把基本數列的全體可當做一個「數集」，稱它為實數集。

18. ?何謂無理數? 有理數與無理數總稱為實數。 實數理論包括有理與無理數的嚴格定義，及其性質。

19. 從已知的自然數、零、及正分數出發，可以直接定義負整數與負分數，並建立其運算法則，所以整個有理數的理論是比較容易被人們所接受的。 而無理數則不然，從它的發現到它的嚴格定義，是曲折而漫長的。所以研究實數理論主要是研究無理數理論。

20. 影響數學史的大事 畢達哥拉斯將那數學知識運用得純熟之後，覺得這實在是一套了不得的本事，不能只滿足於用數來算題解題，於是他要試著從數學擴大到哲學，用數的觀點去解釋一下世界。經過一番刻苦實踐，他提出"凡物皆數"，數的元素就是萬物的元素，世界是由數組成的，世界上的一切沒有不可以用數來表示的，數本身就是世界的秩序。畢達哥拉斯還在自己的周圍建立了一個青年兄弟會，入會者都要宣誓不把知識洩露給外人，這樣他才肯向他們傳授數學。可見當時才萌芽的數學是多麼神秘。畢達哥拉斯死後大約50年間，他的門徒們把這種理論加以研究發展，形成了一個強大的畢達哥拉斯學派。

21. 這天，學派的成員們剛開完一個學術討論會，正坐著遊船出來領略一下山水風光，以驅散一天的疲勞。這地中海海濱，藍色的海灣環抱著品都斯山；長長的希臘半島伸進海面，就像明亮的鏡子上鑲著一粒珍珠。這天，風和日麗，海風輕輕吹來，蕩起層層波浪，大家心裏好不高興。一個滿臉鬍子的學者看著廣闊的海面興奮地說："畢達哥拉斯先生的理論一點不錯，你們看這海浪一層一層，波峰波谷，就好像奇數、偶數相間一樣，世界就是數字的秩序。""是的，是的。"這時一個正在搖槳的大個子插進來說："就說這小船和大海吧。用小船去量海水，肯定能得出一個精確的數字。一切事物之間都是可以用數字互相表示的。"這天，學派的成員們剛開完一個學術討論會，正坐著遊船出來領略一下山水風光，以驅散一天的疲勞。這地中海海濱，藍色的海灣環抱著品都斯山；長長的希臘半島伸進海面，就像明亮的鏡子上鑲著一粒珍珠。這天，風和日麗，海風輕輕吹來，蕩起層層波浪，大家心裏好不高興。一個滿臉鬍子的學者看著廣闊的海面興奮地說："畢達哥拉斯先生的理論一點不錯，你們看這海浪一層一層，波峰波谷，就好像奇數、偶數相間一樣，世界就是數字的秩序。""是的，是的。"這時一個正在搖槳的大個子插進來說："就說這小船和大海吧。用小船去量海水，肯定能得出一個精確的數字。一切事物之間都是可以用數字互相表示的。"

22. "我看不一定。"這時船尾的一個學者突然發話了，他沉靜地說："要是量到最後，不是整數呢？""我看不一定。"這時船尾的一個學者突然發話了，他沉靜地說："要是量到最後，不是整數呢？" "那就是個小數。" "要是這個小數既除不盡，又不能循環呢？" "不可能，世界上的一切東西，都可以相互用數直接準確地表達。"

23. 這時，那個學者以一種不想再爭辯的口氣冷靜地說："並不是世界上一切事物都可以用我們現在知道的數來互相表示。就以畢達哥拉斯先生研究最多的直角三角形來說吧，假如是等腰直角三角形，你就無法用一個直角邊準確地量出斜邊來。"這時，那個學者以一種不想再爭辯的口氣冷靜地說："並不是世界上一切事物都可以用我們現在知道的數來互相表示。就以畢達哥拉斯先生研究最多的直角三角形來說吧，假如是等腰直角三角形，你就無法用一個直角邊準確地量出斜邊來。" 這個學者叫希帕索斯，他在畢達哥拉斯學派中是一個聰明、好學、很有獨立思考能力的青年數學家。今天要不是因為爭論，還不想發表自己這個新見解呢。那個搖槳的大個子一聽這話就停下手來大叫著："不可能，不可能，先生的理論置之四海皆準。"希帕索斯眨了眨一雙聰明的大眼，伸出兩手，用兩個虎口比成一個等腰直角三角形說：

24. "如果直邊是3，斜邊是幾？"4""再準確些？""4.2" “再準確些？”“4.24”“再準確些呢？” 大個子臉漲得緋紅，一時答不上來。希帕索斯說："你就再往後數上十位、二十位也不能算是最精確。我演算了很多，任何等腰直角三角形的一邊與斜邊都不通約，都不能用一個精確的數字表示。"這話像一聲晴天的霹靂，這是多麼反常啊！全船立即響起一陣怒吼；"你敢違背畢達哥拉斯先生的遺言，敢破壞我們學派的信條！敢不相信數字就是世界！"希帕索斯這時倒十分冷靜，他說："我這是個新的發現，就是畢達哥拉斯先生在世也會獎賞我的。你們可以隨便去驗証。"可是人們不聽他說，憤怒地喊著："叛逆！叛逆！先生的不肖門徒。"

25. "打死他！打死他！"大鬍子衝上來，當胸給了他一拳。希帕索斯抗議著："你們無視科學，你們竟這樣無理！""捍衛學派的信條永遠有理。"這時大個子也衝過來，猛地將他抱起："我們給你一個最高的獎賞吧！"說著就把希帕索斯拋進了海裏。藍色的海水很快淹沒了他的軀體，吞沒了他的聲音。這時，天空飄過幾朵白雲，海面掠過幾隻水鳥，靜靜的遠山綿延起伏，如一道屏風。一場風波過後，這地中海海濱又顯得那樣寧靜。

26. 畢氏小故事 畢達哥拉斯從小就極聰明，一次他背著柴禾從街上走過，一位長者見他那捆柴禾的捆法與別人不同，便說"這孩子有數學奇才，命該成為一個大學者。他聞聽此言，便摔掉柴捆南渡地中海到泰勒斯門下去求學。真是名師出高徒，畢達哥拉斯本就極聰慧，經泰勒斯一指點，當時許多數學難題在他的手下便迎刃而解。比如，他証明了三角形的內角和等於180度；算出你要用瓷磚鋪地，則只有用正三角、四角、六角三種正多角磚才能剛好將地鋪滿；証明了世界上只有五種正多面體，即：4、6、8、12、20面體。他還發現了奇數、偶數、三角數、四角數、完全數、友數、直到畢達哥拉斯數。但他最偉大的成就要算是發現了後來以他的名字命名的畢達哥拉斯定理(勾股弦定理)。即：以直角三角形兩直角邊為邊長的正方形的面積之和等於以斜邊為邊長的正方形的面積：a2＋b2＝c2。據說，這是當時畢達哥拉斯在寺廟裏見匠人用方磚鋪地，常要計算面積，於是便發明了此法。

27. 傳說中他是一個非常優秀的教師，他認為每一個人都該懂些幾何，有一次他教一位學生幾何 學，起先學生的意願並不高，於是畢氏告訴學生說：「你每學會一個定理，我就給你一塊錢。」學生學習意願立即提高，而且越學越有興趣，但是畢氏卻越教越慢， 直到學生忍耐不住，要求老師教快一點，並且建議：「老師每教會一個定理，我就付一塊錢學費。」 最後，錢又都回到畢氏的口袋了。