§2 ． 5 　球一、素质教育目标（一）知识教学点 1 ．球的概念和性质． 2 ．球的直观图的画法． 3 ．球的表面积公式．（二）能力训练点

§2．5　球 一、素质教育目标（一）知识教学点 1．球的概念和性质． 2．球的直观图的画法． 3．球的表面积公式．（二）能力训练点 1．理解球的概念，掌握球的性质，利用球和圆的关系，把球的问题化归为圆的问题来解决，进一步增强学生的化归意识，不断提高学生探究问题的能力． 2．通过球的直观图的画法教学，使学生进一步熟练正等测法作图，提高学生作图、识图能力． 3．掌握球的表面积公式，理解球的表面积公式的推导，初步认识“极限”的思想，拓展学生的视野，发展学生的思维．

（三）德育渗透点 1．球的表面积公式的推导是采用无限逼近的方法，实际上就是极限思想的应用．教学过程要使学生理解，当分点无限多时，内接图台的侧面积之和就是半球的表面积，从而使学生初步认识到量的积累会产生质的变化的辩证唯物主义观点． 2．球的定义有两种不同的表述，一种是利用半圆绕其直径旋转得到，另一种则是利用球面上点到球心的距离等于定长半径来表达，同一个概念有两种不同形式的表达，即同一个内容有两种不同的形式，通过教学使学生明白内容与存在形式的辩证关系．二、教学重点、难点、疑点及解决办法 1．教学重点：球的概念、性质及表面积公式． 2．教学难点：球的直观图的画法． 3．教学疑点：球面上两点间的球面距离，要通过直线距离与球面距离的比较让学生掌握．三、课时安排 2课时．

四、教与学过程设计 第一课时　球的概念、性质和直观图的画法（一）球的定义及有关概念师：我们知道矩形、直角三角形、直角梯形绕一定的直线旋转便得到圆柱、圆锥和圆台，今天我们学习球，那么球是如何形成的呢？生：半圆绕着它的直径所在直线旋转一周．师：但是，半圆绕着它的直径旋转所得到的图形不叫球，叫球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球．大家要注意球面和球体是不同的两个概念．请同学们想一想，举出日常生活中的物体来说明它们之间的区别．生：乒乓球壳是球面，而铅球是球体．（师结合图形向学生介绍）球心、球的半径、球的直径．

思考题1：平面内到定点的距离等于定长的点组成的集合是圆，那么空间内到定点的距离等于定长的点组成的集合表示的图形是什么？思考题1：平面内到定点的距离等于定长的点组成的集合是圆，那么空间内到定点的距离等于定长的点组成的集合表示的图形是什么？生：球面．师：由此我们得到球面第二定义，即球面是空间内到定点（球心）的距离等于定长（球的半径）的所有点组成的集合．球可以用表示球心的字母来表示，如图2-35的球可表示为：球O．

（二）球的性质 师：如图2-36，用一个平面去截球，截面是一个什么图形？生：圆及其内部．思考题2：球心与截面圆心的联线与截面有什么关系？为什么？（引导学生考虑线线垂直．）师：球心和截面圆心的连线垂直于截面．我们在截面圆内任作两条相交直径AB、CD，连结OC；OD．则△OCD是等腰三角形且CO′=O′D，故OO′⊥CD，同理可得OO′⊥AB，所以OO′垂直于截面圆．（以上是教师对学生讨论的总结．）

（三）球面距离的概念 师：球面被过球心的平面所截得的圆，叫做球的大圆；被不经过球心的平面所截得的圆，叫做球的小圆．请同学们看课本P．86中图2-43．想一想，赤道、南回归线、北回归线、南极圈、北极圈中哪些是地球的大圆，哪些是地球的小圆．生：赤道是大圆，其余都是小圆．师：所有的经线都是半个大圆．思考题4：过球面上任意两点的大圆有几个？（引导学生从过球心及两已知点的平面个数去思考．）生：当这两个点的连线过球心时有无数多个；当这两点的连线不过球心时只有一个．师：在球面上，两点之间的最短距离，就是经过这两点的大圆夹在这两点之间的一段劣孤的长度，我们把这段弧长叫做两点的球面距离．

如图2-37，PQ的长度就是P、Q两点的球面距离，若球的半径为R＜POQ=α弧度，那么P、Q的球面距离为αR．轮船在海中，飞机在空中的航线都是地球的大圆．如图2-37，PQ的长度就是P、Q两点的球面距离，若球的半径为R＜POQ=α弧度，那么P、Q的球面距离为αR．轮船在海中，飞机在空中的航线都是地球的大圆．（三）应用举例例1　我国首都北京靠近北纬40°，求北纬40°纬线的长度．（R地球≈6370km）分析：北纬40°的纬线长，即地球的一个小圆的周长，所以问题的关键是求出小圆的半径．

如图2-38：⊙O表示地球的大圆，B点在赤道上，A点在北纬40°线上，AK是小圆的半径；依题意知∠AOB=40°，而∠KAO=∠AOB（？）=40°，在Rt△AKO中OA=R，所以可求得AK即小圆的半径．（请同学们阅读课本中的解题过程．）如图2-38：⊙O表示地球的大圆，B点在赤道上，A点在北纬40°线上，AK是小圆的半径；依题意知∠AOB=40°，而∠KAO=∠AOB（？）=40°，在Rt△AKO中OA=R，所以可求得AK即小圆的半径．（请同学们阅读课本中的解题过程．）补充例题：设地球的半径为R，在北纬45°圈上有A、B两地，

分析：设∠AOB=α，那么A、B两地的球面距离就是αR，所以分析：设∠AOB=α，那么A、B两地的球面距离就是αR，所以过程．）（五）球的直观图的画法师：接下来，我们学习怎样画球的直观图．由于球的对称性，我们不论从哪个角度去看，得到的轮廓都是一个圆，所以可以肯定球的直观图的轮廓线是圆．

例2　画半径为R的球的直观图． （教师边说画法边画，要求学生也跟着画．）画法：（1）画轴经过O点画x轴，y轴、z轴，轴之间夹角为120°．（2）画大圆以O为中心分别按x轴、y轴，y轴、z轴，z轴、y轴画半径为R的圆的直观图．（3）成图以O为圆心画一个与三个椭圆都相切的圆，去掉辅助线，改遮挡线为虚线

（六）练习 课本P．91中练习1．（七）总结半圆绕其直径旋转形成球面，球面所围成的几何体是球，大家要注意区别球面和球这两个概念．球的性质有两条都是关于球的截面问题，求球面距离的问题，一般可分为三步，即，i）计算两点间的直线距离，ii）求两点对球心所张的角，iii）计算大圆介在两点之间劣弧的长．球的直观图的画法，实际上是在三个平面内画出圆的直观图，然后再画轮廓线圆．五、作业课本P．95中习题十一1-5；预习球的表面积．

§2 ． 5 球 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1 ．球的概念和性质． 2 ．球的直观图的画法． 3 ．球的表面积公式． （二）能力训练点