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附 录

附 录. 平面图形的几何性质. 本章重点. 1 、静矩与形心 2 、惯性矩、极惯性矩和惯性积 3 、平行移轴公式、转轴公式. 关键概念. 静矩、惯性矩、极惯性矩、惯性积、主惯性轴、形心主惯性轴　. 目录. §  -1 静矩和形心. § I-2 极惯性矩 · 惯性矩 · 惯性积. §  -3 平行移轴公式. §  -4 惯性矩和惯性积的转轴公式 . 截面的. 主惯性轴和主惯性矩. y. d. A. C. y. —— 微面积对 y 轴的静矩. O. x. —— 微面积对 x 轴的静矩. x.

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  1. 附 录 平面图形的几何性质

  2. 本章重点 1、静矩与形心 2、惯性矩、极惯性矩和惯性积 3、平行移轴公式、转轴公式 关键概念 静矩、惯性矩、极惯性矩、惯性积、主惯性轴、形心主惯性轴　

  3. 目录 § -1 静矩和形心 § I-2极惯性矩 · 惯性矩 · 惯性积 § -3 平行移轴公式 § -4 惯性矩和惯性积的转轴公式.截面的 主惯性轴和主惯性矩

  4. y d A C y ——微面积对y轴的静矩 O x ——微面积对x轴的静矩 x ——整个平面图形对y轴的静矩 ——整个平面图形对x轴的静矩 § -1 静矩和形心 一、基本概念 1. 静矩（或一次矩）

  5. 常用单位：m3或mm3。 数 值：可为正、负或 0 。 2.形心坐标公式 3.静矩与形心坐标的关系 推论：截面对形心轴的静矩恒为0，反之，亦然。

  6. 二、讨论： 1.组合截面的静矩 根据静矩的定义：整个平面图形对某轴的静矩应等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和，即： 2.组合截面的形心坐标公式

  7. 组合截面静矩 组合截面面积 组合截面的形心坐标公式为：

  8. 例I—1：计算由抛物线、y轴和z轴所围成的平面图形对y轴和z轴的静矩，并确定图形的形心坐标。例I—1：计算由抛物线、y轴和z轴所围成的平面图形对y轴和z轴的静矩，并确定图形的形心坐标。 解：

  9. 解： 例I—2：确定图示图形形心C的位置。 完 目录

  10. y d A r y x O x § I－2极惯性矩 ·惯性矩 ·惯性积 1.极惯性矩（或截面二次极矩） 2.惯性矩（或截面二次轴矩） 所以

  11. y d A r y x O x （即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。） 3.惯性积 （其值可为正、为负或为零) 结论：截面对于包含对称轴在内的一对正交轴的惯性积为0。 4.惯性半径 （单位：长度的一次方）

  12. y y d y h x C b 例I—3：试计算矩形截面对于其对称轴（即形心轴）x和y的惯性矩。 解： 取平行于x轴的狭长条 则 dA=b dy 同理 思考题I—1：平行四边形对形心轴x 的惯性矩应怎样计算？

  13. 6.主惯性矩:平面图形对任一主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。6.主惯性矩:平面图形对任一主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。 7.形心主惯性轴:过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。 5.主惯性轴:当平面图形对某一对正交坐标轴y0、z0的惯性积 =0时，则坐标轴 y0、z0称为主惯性轴。 推论：具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是平面图形的 主惯性轴。 可以证明:任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴。 完 8.形心主惯性矩:平面图形对任一形心主惯性轴的惯性矩称为形 心主惯性矩。 目录

  14. yc y x xc dA yc xc C y a x O b §-3 平行移轴公式 1.平行移轴公式推导 左图是一面积为A的任意形状的平面，c为其形心，xcyc为形心坐标轴。与该形心坐标轴分别平行的任意坐标轴为xy ,形心c在oxy坐标系下的坐标为(a , b) 任意微面元dA在两坐标系下的坐标关系为：

  15. 注： 式中的a、b代表坐标值，有时可能取负值。 同理，有：

  16. 解： y y b(y) xc C yc x d 例I—4：求图示直径为d的半圆对其自身形心轴xc的惯性矩。 （1）求形心坐标 （2）求对形心轴xc的惯性矩

  17. 由平行移轴公式得： 例I—5：求图示平面图形对y轴的惯性矩 Iy 解：

  18. y A y a a x b O  x B D a 思考题I—2：O为直角三角形ABD斜边上的中点，x、y轴为过点Ｏ且分别平行于两条直角边的两根轴，关于惯性积和惯性矩有四种答案(已知b>a)： （A）Ixy＞０　　　　 （B） Ixy<０ ( C ) Ixy=０ 　　　　 （D） Ix=Iy （思考题I—2） （思考题I—3） 完 思考题I—3：等腰直角三角形如图所示，x、y轴是过斜边中点的任意一对坐标轴（即图中为任意值），该图形的: (1)惯性积Ixy＝＿＿ (2)惯性矩Ix＝＿＿ 、 Iy＿＿＿。 目录

  19. §-4惯性矩和惯性积的转轴公式.截面的主惯性轴和主惯性矩§-4惯性矩和惯性积的转轴公式.截面的主惯性轴和主惯性矩 1. 转轴公式 新坐标系ox1y1 旧坐标系o x y y y 1 x 1 d A A y a 1 x 将上述关系代入平面图形对x1轴的惯性矩： 1 C y E a D B O x x

  20. 利用三角函数整理上式，得转轴公式 ： 同理得：

  21. 规定：上式中的的符号为：逆时针为正，顺时针为负。规定：上式中的的符号为：逆时针为正，顺时针为负。 讨论： 将上述转轴公式中的前两式相加可得： 即，截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的两惯性矩之和为一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩。

  22. 2.截面的主惯性轴和主惯性矩 从惯性积的转轴公式可推知，随着坐标轴旋转，惯性积将随着角作周期性变化，且有正有负。因此，必有一特定的角度0，使截面对与该角对应的新坐标轴x0、y0的惯性积为零。依此进行如下定义： (1) 主惯性轴:截面对其惯性积等于0的一对坐标轴。 (2) 主惯性矩:截面对于主惯性轴的惯性矩。 • 形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时。 (4) 形心主惯性矩:截面对于形心主惯性轴的惯性矩。

  23. 3.主惯性轴位置的确定 设坐标轴转动角度为0，则由惯性积的转轴公式及主惯性轴的定义，得： 经整理，得 4.主惯性矩的确定 由上面tan20的表达式求出cos20、sin20后，再代入惯性矩的转轴公式 ，化简后可得主惯性矩的计算公式如下：

  24. 结论： 若截面有一根对称轴，则此轴即为形心主惯性轴之一，另一形心主惯性轴为通过形心并与对称轴垂直的轴。 若截面有二根对称轴，则此二轴即为形心主惯性轴。 若截面有三根对称轴，则通过形心的任一轴均为形心主惯性轴，且主惯性矩相等。

  25. y C 120 10 40 b Ⅰ Ⅰ 20 a Ⅰ x C C Ⅱ a 80 b Ⅱ Ⅱ 10 例I—6：计算截面的形心主惯性矩。 解：作形心坐标轴xcyc如 图所示。 （1）求形心坐标： （2）求对自身形心轴的惯性矩。 （3）由平行移轴公式求整个截面的

  26. xc0 y C 120 10 40 b Ⅰ Ⅰ 20 a Ⅰ x C Ⅱ C a 80 ° a =113.8 b yc0 Ⅱ Ⅱ 10 （4）由转轴公式得 完 目录

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