1 / 40

第九章　系综理论

第九章　系综理论. § ９ .1 相空间 刘维尔定理. 一、相空间　 　　系统由 N 个全同粒子组成，每个粒子的自由度为 r ，则系统的自由度为 　 　　一个经典系统在任意时刻的微观运动状态由 f 个广义坐标　　　　　　　和与之共轭的广义动量　　　　　　　 来描述。；这 2f 个变量为坐标构成一个 2f 维空间，称为 “ 相空间 ”。. 二 、刘维尔定理 当系统运动状态随时间发生改变时，其代表点就在相空间随时间变化而划出一条轨道 . 运动遵从的哈密顿正则方程系统的 系统的哈密顿是守恒量

kat
Download Presentation

第九章　系综理论

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 第九章　系综理论

  2. §９.1相空间 刘维尔定理 • 一、相空间　 　　系统由N个全同粒子组成，每个粒子的自由度为r，则系统的自由度为 　 　　一个经典系统在任意时刻的微观运动状态由f个广义坐标　　　　　　　和与之共轭的广义动量　　　　　　　 来描述。；这2f个变量为坐标构成一个2f维空间，称为 “相空间”。

  3. 二 、刘维尔定理 当系统运动状态随时间发生改变时，其代表点就在相空间随时间变化而划出一条轨道. 运动遵从的哈密顿正则方程系统的 系统的哈密顿是守恒量 E为系统总能量。这个方程在相空间中确定一个(2f-1)维的曲面。称能量曲面。如果能量守恒，运动状态的代表点或称相轨道将始终于能量曲面上。

  4. 以 表示点(q,p)附近的相体积元， 相空间中的体积元内的代表点数为 系统的总代表点数为 当时间由 ，在 处的代表点将运动到（ ）处，在后一处的密度是

  5. 其中 下面我们证明 dΩ 是下述 2f对平面为边界构成的 经 dt时间后， dΩ内代表点数的增加为

  6. dΩ 在平面qi上的边界面积为 在dt时间内通过进入dΩ的代表点必须在以 dA为底， 以 为高的柱体内，柱体内的代表点数是 同样，在dt时间内通过平面qi+dqi走出 dΩ 的代表点数 则通过一对平面 qi和 qi+dqi净进入dΩ 的代表点数为

  7. 同样可得dt时间内通过一对平面 pi和 pi+dpi净进入dΩ 的代表点数 所以 消dt dΩ 由正则方程，有

  8. 因此得 代入 (9.1.5)即得 上面两式都称为刘维尔定理。 将正则方程代入(9.1.9)式可得 这是刘维尔定理的另一数学表达式。

  9. §9.2 微正则分布 如果研究的是一个孤立系统，给定的宏观条件是具有确定的粒子数N，体积V和能量E。 一、在经典理论中，可能的微观状态在相空间构成一连续分布，时刻t系统的微观状态处在内dΩ的概率为ρ dΩ, ρ为分布函数，满足归一化条件 　　　当微观状态处在dΩ内时，微观量B在一切可能的微观状态上的平均值为

  10. (1) 我们也可以设想有大量结构完全相同的系统，处在相同的给定的宏观条件下，我们把这大量系统的集合称为统计系综 。 • （9.2.3）可以理解为微观量在统计系综上的平均值，称为系综平均值。 二、在量子理论中，

  11. 三、在孤立系统中 处在平衡状态的孤立系统，宏观性质(N、E、V)不随时间改变，这样的分布称为微正则分布。 一切可能的微观状态出现的概率都相等，这称为等概率原理。它是平衡态统计物理的基本假设。 等概率原理的经典表达式为

  12. 等概率原理的量子表达式为： 量子统计的经典极限，全同粒子系统在E到 E+ ΔE 能量范围内的微观状态数为 如果含有多种粒子，第i种粒子的自由度为 ,粒子数为

  13. §9.3微正则分布的热力学公式 一、由两个微弱作用的系统组成的一个孤立系统 Isolated system A(0) 复合系统的微观状态数为 A2 N2, E2, V2 A1 N1, E1, V1

  14. 的极大应满足条件 由 , 得 令

  15. 得 热力学中平衡条件为 且 比较可得 最终我们得到

  16. 二、 根据分析我们得到平衡条件为

  17. 定义 则平衡条件为 比较 可得

  18. 式 (9.3.16) 与热力学得到的热动平衡条件相当 对于经典理想气体 与理想气体物态方程 pV=nRT比较, 可得 这就是玻耳兹曼常数

  19. 对于微正则分布求热力学函数的程序： 首先求出微观状态数，由此得到系统的熵 由上式可解得E=E(S,V,N) 。从而确定热力学函数

  20. 以单原子经典理想气体为例 为了求Ω(E)，首先计算能量小于某数值的微观状态数

  21. 作变数变换 ，得 其中 可以证明

  22. 因此 ΔE 内的微观状态数为

  23. 可的理想气体的熵为 由上式可解得

  24. 将上面这写式子带入 (9.3.26)可得

  25. §9.4 正则分布 • 具有确定的N、V、T值的系统的分布函数，称为正则分布 孤立系统 A(0) 系统处于 s态的概率 N, E, V 热 源 Q

  26. 因为 , 可以展开为 因为 所以可将 (9.4.3)式表为 归一化后有

  27. Z称为配分函数 如果 表示系统的各个能级, Ωl表示能级的简并度 ，则系统处于某能级的概率为 则配分函数 正则分布的量子表达式

  28. §9.5 正则分布的热力学公式 • 内能 (2) 广义力 特例

  29. (3) 熵 Z是β和y的函数 Β是dU-Ydy的积分因子，与热力学公式比较可得

  30. (4) 能量涨落 定容热容量CV恒正是系统的一个平衡稳定条件。

  31. 能量的相对涨落

  32. §9.6 实际气体的物态方程 一、实际气体的方程 我们讨论单原子分子的经典气体，气体的能量 为 动能 势能 任一对分子在求和中只出现一次，所以互作用能量共有

  33. 配分函数可表示为 被积函数有 定义函数 当 rij大于分子的互作用力程( )时 因此fij =0

  34. 如果上式只保留第一项，即得 , 相当于理想气体近似

  35. r是相对坐标。 取对数，有

  36. 根据式 (9.5.3)，气体的压强为 (9.6.10) 就是实际气体物态方程的近似表达式。B为第二位力系数

  37. 二、范得瓦尔斯方程 (1) 互作用势 1924年，列纳德—琼斯用下述半经验公式表示两分子的互作用势

  38. 为了简化计算，我们采用更为简化的势模型

  39. (2)计算第二位力系数B，用球坐标计算 将(9.6.13)式代入得 因 ，所以

  40. (3)范得瓦尔斯方程 这里 代入(9.6.10)式，得 这就是范得瓦尔斯方程 因为 , 所以

More Related