1 / 119

第二章 线性规划及其应用

第二章 线性规划及其应用. 线性规划研究的主要内容. 线性规划内容框架. 线性规划主要解决两个方面的问题： （ 1 ）对于给定的一项任务，如何统筹安排，使以最少的资源消耗去完成？ （ 2 ）在给定的一定数量的资源条件下，如何合理安排，使完成的任务最多？. 第一章 LP 问题的数学模型与求解. 解：. 设 x 1 ,x 2 分别表示在计划期内生产产品 Ⅰ 、 Ⅱ 的产量。由于资源的限制，所以有：. 机器设备的限制条件 :x 1 +2x 2 ≤8 原材料 A 的限制条件： 4x 1 ≤16 （称为资源约束条件） 原材料 B 的限制条件： 4x 2 ≤12

kata
Download Presentation

第二章 线性规划及其应用

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 第二章 线性规划及其应用 • 线性规划研究的主要内容 • 线性规划内容框架 线性规划主要解决两个方面的问题： （1）对于给定的一项任务，如何统筹安排，使以最少的资源消耗去完成？ （2）在给定的一定数量的资源条件下，如何合理安排，使完成的任务最多？

  2. 第一章 LP问题的数学模型与求解

  3. 解： 设x1,x2分别表示在计划期内生产产品Ⅰ、Ⅱ的产量。由于资源的限制，所以有： 机器设备的限制条件:x1+2x2≤8 原材料A的限制条件： 4x1≤16 （称为资源约束条件） 原材料B的限制条件： 4x2≤12 同时，产品Ⅰ、Ⅱ的产量不能是负数，所以有 x1≥0，x2≥0 （称为变量的非负约束） 显然，在满足上述约束条件下的变量取值，均能构成可行方案，且有许许多多。而工厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下，如何确定产量x1，x2以得到最大的利润，即使目标函数 Z=2x1+3x2的值达到最大。

  4. 综上所述，该生产计划安排问题可用以下数学模型表示：综上所述，该生产计划安排问题可用以下数学模型表示： maxz=2x1+3x2 例2. （营养配餐问题） 假定一个成年人每天需要从食物中获取3000卡路里热量，55克蛋白质和800毫克钙。如果市场上只有四种食品可供选择，它们每千克所含热量和营养成份以及市场价格如下表所示。问如何选择才能使在满足营养的前提下使购买食品的总费用最小？

  5. 解:设xj(j =1,2,3,4)为第j种食品每天的购买量，则配餐 问题数学模型为 minz=10x1+6x2+3x3+2x4

  6. 例3 运输问题（课本P6） 某公司经销某种产品，三个产地和四个销地的产量、销量、单位运价如下表所示。问在保证产销平衡的条件下，如何调运可使总运费最少？

  7. 解:（1）确定决策变量：设xij(i=1,2,3;j=1,2,3,4)为从产地i运到销地j的运量解:（1）确定决策变量：设xij(i=1,2,3;j=1,2,3,4)为从产地i运到销地j的运量 （2）确定目标函数：总运费最小minz= （3）确定约束条件： x11+x12+x13+x14=60 产量约束： x21+x22+x23+x24=40 x31+x32+x33+x34=60 x11+x21+x31=30 销量约束： x12+x22+x32=50 x13+x23+x33=40 x14+x24+x34=40

  8. 非负约束 xij≧0 由此模型总结为：

  9. （二）LP问题的模型 上述几例所提出的问题，可归结为在变量满足线性约束条件下，求使线性目标函数值最大或最小的问题。它们具有共同的特征。 （1）每个问题都可用一组决策变量(x1,x2,…xn)表示某一方案，其具体的值就代表一个具体方案。通常可根据决策变量所代表的事物特点，可对变量的取值加以约束，如非负约束。 （2）存在一组线性等式或不等式的约束条件。 （3）都有一个用决策变量的线性函数作为决策目标（即目标函数），按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。

  10. 满足以上三个条件的数学模型称为LP问题的数学模型，其一般形式为：满足以上三个条件的数学模型称为LP问题的数学模型，其一般形式为： max(或min)z=c1x1+c2x2+…+cnxn （1.1) （1.2) （1.3) 或紧缩形式

  11. 或矩阵形式 或向量形式： max(或min)z=cx 其中c=(c1,c2,…,cn)，称为价值系数向量； 称为技术系数矩阵(也称消耗系数矩阵)

  12. 称为资源限制向量, X=(x1,x2,…,xn)T称为决策变量向量 下面我们再来看几个实际例子。 引例3课本P60 例25（投资计划问题）某公司经调研分析知，在今后三年内有四种投资机会。第Ⅰ种方案是在三年内每年年初投资，年底可获利15%，并可将本金收回；第Ⅱ种是在第一年的年初投资，第二年的年底可获利45%，并将本金收回，但该项投资不得超过2万元；第Ⅲ种是在第二年的年初投资，第三年的年底可获利65%，并将本金收回，但该项投资不得超过1.5万元；第Ⅳ种是在第三年的年初投资，年底收回本金，且可获利35%，但该项投资不得超过1万元。现在本公司准备拿出3万元来投资，问如何计划可使到第三年年未本利和最大？

  13. 解：问题分析。该问题的实际投资背景如下表所示：解：问题分析。该问题的实际投资背景如下表所示： （1）确定决策变量：设xij表示第i年对第j个方案的投资额,i=1,2,3; j=1,2,3,4 年份 一 二 三 四 x11 1.15x11 x12 1.45x12 x21 1.15x21 x23 1.65x23 x31 1.15x31 x34 1.35x34

  14. （2）确定目标函数：第三年年未的本利和为 maxz=1.65x23+1.15x31+1.35x34 （3）确定约束条件： 每一年的投资额应等于当年公司拥有的资金数： x11+x12=3 x21+x23=1.15x11 x31+x34=1.45x12+1.15x21 每个方案投资额的限制： x12≤2 x23≤1.5 非负约束：xij≥0,i=1,2,3;j=1,2,3,4 x34≤1

  15. 引例4（合理下料问题）要用一批长度为7.4米的园钢做100套钢架，每套钢架由2.9米、2.1米、1.5米的园钢各一根组成，问：应如何下料才能使所用的原料最省？引例4（合理下料问题）要用一批长度为7.4米的园钢做100套钢架，每套钢架由2.9米、2.1米、1.5米的园钢各一根组成，问：应如何下料才能使所用的原料最省？ 解：问题分析：一根长度为7.4米的园钢，要裁出2.9米、2.1米、1.5米的料有多种裁法，如可裁出一根2.9米、二根2.1米，也可裁出三根2.1米的。这样我们把所有裁法列举出来，如下表所示： 下料 方案 根数 一 二 三 四 五 六 七 八 长度米 2.9 1 1 1 2 0 0 0 0 2.1 2 0 1 0 1 2 3 0 1.5 0 3 1 1 3 2 0 4 合计 7.1 7.4 6.5 7.3 6.6 7.2 6.3 6 料头（米） 0.3 0 0.9 0.1 0.8 0.2 1.1 1.4

  16. （1）确定决策变量：设xj表示按第j种方案所用的园钢的数量（1）确定决策变量：设xj表示按第j种方案所用的园钢的数量 （2）确定目标函数：问题要求所用原料最省，所用原料为： minz=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8 （3）确定约束条件： 2.9米园钢的数量限制 x1+x2+x3+2x4≥100 2.1米园钢的数量限制 2x1+x3+x5+2x6+3x7≥100 1.5米园钢的数量限制 3x2+x3+x4+3x5+2x6+4x3≥100 非负限制 xj≥0，且为整数， j=1,2,…,8 建立线性规划模型的一般步骤： （1）确定决策变量； （2）确定目标函数； （3）确定约束条件。

  17. 引例5．一个木材储运公司有很大的仓库用以储运出售木材。由于木材季度价格的变化，该公司于每季度初购进木材，一部分于本季度内出售，一部分储存起来以后出售。已知该公司仓库的最大储存量为2000万米3，储存费用为（70+100u）千元/万米3，u为存储时间（季度数）。已知每季度的买进卖出价及预计的销售量如下表所示。引例5．一个木材储运公司有很大的仓库用以储运出售木材。由于木材季度价格的变化，该公司于每季度初购进木材，一部分于本季度内出售，一部分储存起来以后出售。已知该公司仓库的最大储存量为2000万米3，储存费用为（70+100u）千元/万米3，u为存储时间（季度数）。已知每季度的买进卖出价及预计的销售量如下表所示。 由于木材不宜久贮，所有库存木材应于每年秋末售完。为使售后利润最大，试建立这个问题的线性规划模型。

  18. 设yi分别表示冬、春、夏、秋四个季度采购的木材数，xij代表第i季度采购的用于第j季度销售的木材数。设yi分别表示冬、春、夏、秋四个季度采购的木材数，xij代表第i季度采购的用于第j季度销售的木材数。

  19. 引例6、有一艘货轮，分前、中、后三个舱位，它们的容积与最大允许载重量如表1所示。现有三种货物待运，已知有关数据列于表2。为了航运安全，要求前、中、后舱在实际载重量上大体保持各舱最大允许载重量的比例关系，具体要求前、后舱分别与中舱之间载重量比例上偏差不超过15%，前、后舱之间不超过10%。问该货轮应装载A，B，C各多少件，运费收入为最大？试建立这个问题的线性规划模型。引例6、有一艘货轮，分前、中、后三个舱位，它们的容积与最大允许载重量如表1所示。现有三种货物待运，已知有关数据列于表2。为了航运安全，要求前、中、后舱在实际载重量上大体保持各舱最大允许载重量的比例关系，具体要求前、后舱分别与中舱之间载重量比例上偏差不超过15%，前、后舱之间不超过10%。问该货轮应装载A，B，C各多少件，运费收入为最大？试建立这个问题的线性规划模型。 表1

  20. 设表示xij装于第j(j=1,2,3)舱位的第i(i=1,2,3)种商品的数量设表示xij装于第j(j=1,2,3)舱位的第i(i=1,2,3)种商品的数量 舱位载重限制 舱位体积限制 商品数量限制 平衡条件

  21. 引例7 . (仓库租用问题)捷运公司拟在下一年度的1-4月的4个月内需租用仓库堆放物资.已知各月份所需仓库面积数列于表1.仓库租借费用随合同期而定,期限越长,折扣越大,具体数字见表2.租借仓库的合同每月初都可办理,每份合同具体规定租用面积数和期限.因此该厂可根据需要,在任何一个月初办理租借合同.每次办理时可签一份,也可签若干份租用面积和租借期限不同的合同,试确定该公司签订租借合同的最优决策,目的是使所付租借费用最小. 表1 表2

  22. 解:1)设决策变量xij表示捷运公司在第i(I=1,2,3,4)个月初签订的租借期为j(j=1,2,3,4)个月的仓库面积的合同(单位为100m2).因5月份起该公司不需要租借仓库,故x24,x33,x34,x42,x43,x44均为零解:1)设决策变量xij表示捷运公司在第i(I=1,2,3,4)个月初签订的租借期为j(j=1,2,3,4)个月的仓库面积的合同(单位为100m2).因5月份起该公司不需要租借仓库,故x24,x33,x34,x42,x43,x44均为零 2)目标函数:使总的租借费用最小 3)约束条件:每个月份所需仓库面积的限制

  23. 引例8 (混合配料问题)某糖果厂用原料A,B,C加工成三种不同牌号的糖果甲,乙,丙.已知各种牌号糖果中A,B,C含量,原料成本,各种原料的每月限制用理,三种牌号糖果的单位加工费及售价如下表所示.问该厂每月生产这三种牌号糖果各多少时,使该厂获利最大.试建立这个问题的线性规划模型.

  24. 解:1)设决策变量xij表示生产第j种糖果(j=1,2,3,表示甲,乙丙三种糖果)耗用的第 i种原料(i =1,2,3表示A,B,C三种原料)的kg数 2)目标函数:该厂的获利为三种牌号糖果的售价减去相应的加工费和原料成本. 原料月供应量限制 3)约束条件: 含量成份的限制

  25. （三）LP问题的标准型 1.为了讨论LP问题解的概念和解的性质以及对LP问题求解方便，必须把LP问题的一般形式化为统一的标准型： 或 maxz=cx 标准型的特点： ①目标函数是最大化类型 ②约束条件均由等式组成 ③决策变量均为非负 ④bi(i=1,2,…,n)>=0

  26. 2.化一般形式为标准型 ①目标函数：minzmax(-z)=-cx ②若约束为“”型左边+松驰变量； 若约束为“”型左边－“松驰变量” ③若变量xj0-xj0变量， 若变量xj无限制令xj=xj－xj ④若右边常数bi<0等式两边同乘以(-1)。 例4课本P9 化下述问题为标准型 minz=-x1+2x2-3x3 x1+2x2+3x3≦7 s.t. -x1+x2-x3≦-2 -3x1+x2+2x3=5 x1,x3≥0,x2无约束

  27. 解：首先考察变量：令 ，并加入松驰变量x4,x5化为如下标准型： 练习：课本P64 2.2（3）

  28. 解：令 则 加入松驰变量s,w，得到标准型如下：

  29. 设LP问题 （四）LP问题解的概念 1.从代数的角度看： 可行解（Feasible Solution)： 满足约束条件(1.8)和(1.9)的解X=(x1,x2,…,xn)T称为可行解。所有可行解构成可行解集，即可行域。 最优解(Optimal Solution):而使目标函数达到最大值的可行解称为最优解，对应的目标函数值称为最优值。 求解LP问题就是求其最优解和最优值，但从代数的角度去求是困难的。

  30. 2.从LP角度看： 基(Basis)：设A为mxn矩阵，r(A)=m，B是A中的mxn阶非奇异子矩阵（即|B|0），则称B是LP问题的一个基。 若B是LP问题的一个基，则B由m个线性独立的列向量组成，即B=(Pr1,Pr2,…,Prm)，其中Prj=(a1rj,a2rj,…,amrj)T，(j=1,2,…,m)称为基向量。 基变量(Basic Variables)与非基变量(Non-basic Variable) 与基向量Prj相对应的变量xrj称为基变量，其它变量称为非基变量。显然，对应于每个基总有m个基变量，n－m个非基变量。 基本解(Basic Solution)： 设B是LP问题的一个基，令其n－m个非基变量均为零，所得方程的解称为该LP问题的一个基本解。显然，基B与基本解是一一对应的，基本解的个数≤Cmn。 基可行解: 在基本解中，称满足非负条件的基本解为基可行解，对应的基称为可行基。

  31. 退化解(Degenerate Solution)： 如果基解中非零分量的个数小于m，则称此基本解为退化的，否则是非退化的。 最优基解(Optimal Basic Solution)： 如果对应于基B的基可行解是LP问题的最优解，则称B为LP问题的最优基，相应的解又称基本最优解。 3.LP问题解之间的关系如图所示： 可行解 基解 最优解 基最优解

  32. （五）两个变量LP问题的图解法 B(0,13) 3x1+2x2=26 Q3(0,8) Q2(6,4) 2x1+3x2=24 Q1(26/3,0) A(12,0) 1、LP问题图解法的步骤： （1）画出直角坐标系； （2）依次做每条约束直线，标出可行域的方向，并找出它们共同的可行域； （3）任取一目标函数值作一条目标函数线（称等值线）,根据目标函数（最大或最小）类型，平移该直线即将离开可行域处，则与目标函数线接触的最终点即表示最优解。 例1：用图解法求解如下线性规划问题 最优解为x1=6,x2=4 最优值为maxz=36

  33. max=2x1+3x2 ① ② ③ ④ 例2：用图解法求解下列线性规划： B ② Q3 ③ Q 4 Q2（4，2）为最优解 3 2 Q2（4，2） 1 ① x 1 Q1 0 1 2 3 4

  34. 解的几种情况： （1）此例有唯一解Q2，即x1=4, x2=2, z=14 （2）有无穷多最优解（多重解），若将目标函数改为z=2x1+4x2 则线段Q2，Q3上的点均为最优解。 （3）无界解

  35. (4)无可行解

  36. 结论： （1）LP问题的可行域是凸集（凸多边形，凸多面体，…）。 （2）LP问题最优解若存在，则必可在可行域的顶点上达到。 （3）LP问题的可行域的顶点个数是有限的。 （4）若LP问题若有两个最优解，则其连线上的点都是最优解。因此，求解LP问题可转化为：“如何在可行域的顶点上求出使目标函数值达到最优的点的问题：”。

  37. 2.基可行解的几何意义 对例1 LP问题标准化为 maxZ=2x1+3x2 C Q2 Q1 A 可求得它的所有的基本解： x(1)=(0,0,8,16,12)T(0点), x(2)=(4,0,4,0,12)T(Q1点) x(3)=(4,2,0,0,4)T(Q2点), x(4)=(2,3,0,8,0)T(Q3点) x(5)=(0,3,2,16,0)T(Q4点), x(6)=(4,3,-2,0,0)T(C点) x(7)=(8,0,0,-16,12)T(A点), x(8)=(0,4,0,16,-4)T(B点) 但A、B、C三点是非可行域上的点，即非可行解。因此，x(1)，x(2)，x(3)，x(4)，x(5)才是基可行解，它们与可行域的顶点相对应。于是还有

  38. 结论：（5）对于标准型的LP问题，X是基可行解的充要条件是X为可行域的顶点。结论：（5）对于标准型的LP问题，X是基可行解的充要条件是X为可行域的顶点。 （6）LP问题可行域顶点的个数=基可行解的个数≤基的个数≤Cmn 3.图解法只适用于两个变量（最多含三个变量）的LP问题。 4.求解LP问题方法的思考： ①完全枚举法，对m、n较大时，Cmn是一个很大的数，几乎不可能； ②从可行域的一个顶点（基可行解）迭代到另一个顶点（基可行解）。

  39. §2 单纯形法与计算机求解

  40. 2.单纯形法的计算步骤（表格形式） （1）建立初始单纯形表，假定B=I，b≥0 设 maxZ=c1x1+c2x2+…+cnxn 将目标函数改写为：-Z+c1x1+c2x2+…+cnxn=0 把上述方程组和目标函数方程构成n+1个变量，m+1个方程的方程组，并写成增广矩阵的形式：

  41. 上述初始单纯形表可确定初始可行基和初始基可行解：上述初始单纯形表可确定初始可行基和初始基可行解： B=(P1,P2,…,Pm)=I, x=(b1,b2,…,bm, 0……0)T 从初始单纯形表建立的过程可以看到以下事实： （1）凡LP模型中约束条件为“≤”型，在化为标准型后必有B=I，如果b≥0，则模型中约束方程的各数据不改变符号照抄在表中相应的位置。目标函数中非基变量的系数则以相反数填入检验数行各相应位置。 （2）在单纯形表中，凡基变量所在的列向量必是单位列向量，其相应的检验数均为零。

  42. 2按最小比值原则确定出基变量xL： （2）判别最优解 1在T(B)中，若所有的检验数σj≥0 (j=1,2,…,n) 则B为最优基，相应的基可行解为最优解，停止计算。 2在T(B)中，若有σk<0 (1kn)，且xk的系数列向量Pk0，则该问题无界，停止计算。否则转入（3） （3）换基迭代（基变换） 1先确定进基变量Xk: k=min{j| j<0}，即检验数行从左至右选择负数所对应的变量进基。 3以 为主元，进行初等行变换（又称旋转变换） 即将列向量 变换为单位列向量：

  43. 例5 求解下列线性规划问题 解：引进松驰变量x3, x4，化为标准形得： 从标准形中可看出存在可行基B=（P3，P4）=I，基变量为X3，X4；非基变量为X1，X2。建立初始单纯形表得：

  44. 由于X1，X2的检验数均为负，且X1的检验数绝对值最大，选取X1为进基变量；再按最小比值=min（24/2，26/3）=26/3，因此选取X4为出基变量，进行换基迭代。由于X1，X2的检验数均为负，且X1的检验数绝对值最大，选取X1为进基变量；再按最小比值=min（24/2，26/3）=26/3，因此选取X4为出基变量，进行换基迭代。

  45. 表中最后一行的所有检验数均为非负数，表明目标函数已达到最大值，上述表为最优表。从表中可得到最优解为X=（x1,x2,x3,x4）=（6，4，0，0），最优值为Z=36表中最后一行的所有检验数均为非负数，表明目标函数已达到最大值，上述表为最优表。从表中可得到最优解为X=（x1,x2,x3,x4）=（6，4，0，0），最优值为Z=36 例2、求解下列线性规划问题（见课本P17）

More Related