應用數學報告

應用數學報告 通訊3A B966C0008 鍾易珩

工程數學的應用實例: • 1.求正交軌線 • 所謂正交軌線( orthogonal trajectories )，就是曲線與曲線任一點的交點之夾角都是90∘，在物理學中的正交軌線，包括地球的經線( meridian )與緯線( parallel )、靜電場中的電力線與等位線......等都是。正交軌線的求法：假設一曲線族 F( x , y , c ) = 0 之微分方程式為：y' = ƒ( x , y )因此正交軌線的微分方程式為：y' = - 1／ƒ( x , y )解此新微分方程式即可得正交軌線。

2.描述「m - c - k 阻尼系統」 • 若機械震動在運動時有黏滯性阻力存在，則稱此系統為阻尼系統( damped system )；一「m - c - k 阻尼系統」可二階微分方程式表示如下： • my'' + ky' + cy = 0 • 直接寫出此ODE的特徵方程式( characteristic equation )如下：mλ2 + cλ + k = 0 → λ = [ - c ± √( c2 - 4mk ) ]／2mcase 1. c2 - 4mk > 0，具兩相異實根：λ = λ1 , λ2表示此系統為 over damping 系統則此系統之解為：y = c1eλ1t + c2eλ2tcase 2. c2 - 4mk = 0，具重根：λ = λo , λo表示此系統為 critical damping 系統則此系統之解為：y = ( c1 + c2t )eλotcase 3. c2 - 4mk < 0，具共軛複根：λ = - p ± λoi表示此系統為 under damping 系統則此系統之解為：y = e-pt[ c1cos( λot ) + c2sin( λot ) ]

3. 電路學的應用 • 工程數學很多技巧可以應用於電路學，包括 ODE、Laplace轉換、Fourier分析等，現在主要介紹 Laplace 轉換。假設一電阻( R )、電容( C )串聯電路，R = 100Ω、C = 0.1F，電壓源之數學式為：υs( t ) = 20( t - 3 )u( t - 3 )，且初始條件為 i( 0 ) = 0、qc( 0 ) = 0，求電路內之電流 i( t )。由克希荷夫電壓定律( KVL )知：iR + ( 1／C )∫idt = υs( t )→ 100i + ( 1／0.1 )∫idt = 20( t - 3 )u( t - 3 )對上式取 Laplace 轉換得：100I( s ) + ( 1／0.1s ) = 20e-3s／s2→ I( s ) = [ ( 2／s ) - 2／( s + 0.1 ) ]e-3s對上式取 Laplace 反轉換得：i( t ) = 2[ 1 - e- 0.1( t - 3 )]u( t - 3 ) A #

4. 熱傳導問題 • 假設有一傳熱棒，棒上的任一點溫度均相同，熱量由棒上較熱一端傳到較冷一端，此為熱傳導，將棒放置於座標軸上，使較熱的一端位於原點 0。令 T( x , t )表示溫度、ρ為密度、A為截面積、k為導熱率、cP為比熱。則單位時間內傳熱棒在 x = a 與 x = a + Δx 間熱的累積量為：( ρA Δx )‧c‧( ∂T／∂t )又單位時間內流經 x = a 與 x = a + Δx 間的熱量為：∂T／∂t = ( k／ρc )( ∂2T／∂t2 )因此，熱傳導方程式為：∂T／∂t = α( ∂2T／∂t2 )其中，α = ( k／ρc ) 為擴散係數。

自然中的數學現象: • 1.魔術正五角星圖形 • 由地球望去，圍著太陽的金星軌道每八年重覆一次。它自成的五個交叉點恰好畫出一個近乎完美的五角星。

2.手電筒的聚光效應 • 手電筒聚光的原理是將光源擺在一可反光拋物面的焦點，根據拋物線的原理，從焦點出發的光線經過拋物面的反射會全部呈現平行光的現象，就是手電筒會聚光的原理。 • 依拋物線定理：若一拋物線方程式可分解成 • (x-h)^2=4c(y-k)^2，則此拋物線之焦點座標為(h,k+c) ，準線方程式為y=k-c；又依拋物線定義，拋物線上任一點與焦點及與準線之距離相等

3.風車轉動 • 其實風車的翼面跟飛機的翼面設計原理很像，想像一下迎面而來的一陣風，將你手掌以前傾迎向風，則會感覺被風帶起，若後傾則有向下的力量。

4.哥德式建築 • 哥德式的建築大體來說有下列4特徵：尖拱、肋拱穹窿、飛扶壁，花飾窗格。 • 尖拱具有不同的曲率，能在不同寬度之情況下保持拱頂在同一高度上，雨傘的肋骨一樣，肋筋支撐全部重量，並通過扶壁過渡傳到地面上外部扶壁上的小尖塔。

哥德建築

5.金字塔黃金比例 • 金字塔的高度與底部邊長成黃金比例，金字塔的任何一邊長度都等於這個五角型對角線的０．６１８。 • 黃金比例是一個定義為 (1+√5)/2 的無理數。所被運用到的層面相當的廣闊黃金比例的獨特性質首先被應用在分割一條直線上。如果有一條直線的總長度為黃金比例的分母加分子的單位長，若我們把他分割為兩半，長的為分子單位長度，短的為母子單位長度則長線長度與短線長度的比值即為黃金比例。

資料來源: • YAHOO 奇摩知識+ • GOOGLE

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