Тема 2 . Агрегирование индивидуальных предпочтений

1. Тема 2. Агрегирование индивидуальных предпочтений • Правило единогласия и правило большинства. • Равновесие Линдаля. • Правило единогласия и равновесие Линдаля. • Недостатки правила единогласия. • Оптимальное большинство. • Оптимальность простого большинства. • Правило большинства и перераспределение.

2. Тема 2. Агрегирование индивидуальных предпочтений • Общественный выбор по правилу простого большинства. • Теорема Мэя. • Теорема Рэ – Тейлора. • Теорема о присяжных Кондорсе. • Цикличность при голосовании. Парадокс Кондорсе. • Теорема о медианном избирателе: одномерный случай. • Двухмерность выбора и правило простого большинства. • Правило простого большинства: непространственный подход. • Зацикливание и размер решающего большинства. • Логроллинг. • Манипулирование повесткой дня. • Причины стабильности выбора. • Альтернативы правилу простого большинства.

3. Тема 2. Агрегирование индивидуальных предпочтений • Эффективность демократических процедур. • Теорема о невозможности Эрроу. • Теорема о паретовском либерале. • Сравнительная экономическая эффективность демократии. • «Государственное управление имеет значение».

4. Тема 2. Агрегирование индивидуальных предпочтений Каким образом индивиды должны принимать решения о порядке финансирования и объемах производства общественных благ?

5. 2.1.1. Равновесие Линдаля • Общество состоит из двух индивидов A и B. • Доходы их равны, соответственно, YA иYB, а функции полезности выглядят как UA=UA(XA,G) иUB=UB(XB,G), • где Xi– объем композитного частного блага, потребляемого соответствующим индивидом; • G– объем общественного блага, финансирование которого распределяется между индивидами следующим образом: индивид Aфинансирует долю tGобщественного блага (0≤t≤1), а индивид B — (1-t)G.

6. Рисунок 2.1. 2.1.1. Равновесие Линдаля X YA t1 > t2 > t3 A’ A U3 U2 U1 G1 t1 G3 G2 t2 t3 G

7. Рисунок 2.2. 2.1.1. Равновесие Линдаля t A 1 U1 U2 U3 A’ G

8. Рисунок 2.3. 2.1.1. Равновесие Линдаля t A V3 W 1 B’ V2 L U1 t* U2 V1 U3 A’ B G* W’ G

9. 2.1.1. Равновесие Линдаля • Равновесные цены на общественное благо, соответствующие значениям предельной индивидуальной готовности платить за него называются ценами Линдаля. • t*для индивида А; • 1-t* для индивида B. • Равновесие, достигаемое при этих ценах называется равновесием Линдаля.

10. 2.1.1. Равновесие Линдаля • Если цены на частное и общественное благо равны 1, из бюджетных ограничений А и В: (2.1) (2.2) • Функции полезности А и В: (2.3) (2.4)

11. 2.1.1. Равновесие Линдаля • Отсюда (вывод: см. Приложение 2.1.) (2.5) • Уравнение 2.5 – условие Парето-эффективного производства обществен-ных благ по Самуэльсону. • См.: • Samuelson, Paul A. (1954), ‘The Pure Theory of Public Expenditure’, 36(4)Review of Economics and Statistics, 387-389.

12. Рисунок 2.4. 2.1.2. Правило единогласия и равновесие Линдаля G t G A 1 B’ t1 t1 GВ1 GВ2 t2 t2 L t* G* t* t2 GА2 t1 GА1 A’ B GА1 GА2 G* GВ2 GВ1 G 0 100 0

13. 2.1.2. Правило единогласия и равновесие Линдаля • В ситуации равновесия Линдаля кривые безразличия индивидов касаются друг друга в точках максимума, поэтому: (2.6) (2.7) • Вывод: см. Приложение 2.2.

14. 2.1.3. Недостатки правила единогласия • Недостатки: • Издержки коллективного принятия решений: переход из случайно выбранной точки в пространстве «налог – общественное благо» в точку равновесия Линдаля – это многоступенчатый процесс согласования позиций членов общества. • Действительные предпочтения индивидов неизвестны никому, кроме них самих  при единогласном принятии решений индивиды могут вести себя стратегически.

15. Рисунок 2.5. 2.1.4. Оптимальное большинство ИЗДЕРЖКИ ВЗАИМОЗАВИСИМОСТИ (издержки коллективного выбора) Внешние издержки Издержки коллективного принятия решений

16. 2.1.4. Оптимальное большинство • Функция внешних издержек – это отношение издержек, которые ожидает понести один индивид в результате действий других, к числу индивидов, которые должны прийти к согласию для того, чтобы группа приняла окончательное решение по какому-либо совместно решаемому вопросу (вопросу о совместном предоставлении благ). • Внешние издержки будет убывают по мере увеличения числа индивидов, чье согласие необходимо получить. • Если действует правило единогласия, то ожидаемые внешние издержки для индивида равны нулю.

17. 2.1.4. Оптимальное большинство • Издержки коллективного принятия решений возрастают по мере увеличения размеров группы, необходимой для принятия решения. • Чем меньше необходимый уровень согласия, тем слабее у индивидов стимулы к стратегическому поведению. • Если действует правило единогласия у индивидов резко возрастают стимулы к стратегическому поведению. • С ростом доли решающей группы в обществе издержки коллективного принятия решений увеличиваются возрастающим темпом.

18. 2.1.4. Оптимальное большинство EC Рисунок 2.6. E+D E D 0 K N

19. 2.1.5. Оптимальность простого большинства • Если размер решающей группы по какому-либо вопросу меньше N/2, возможно появление в обществе двух и более решающих групп соответствующего размера с прямо противоположными подходами к решению данного вопроса. • Это приводит к резкому увеличению издержек коллективного принятия решений.

20. 2.1.5. Оптимальность простого большинства EC Рисунок 2.7. E+D E+D E D D 0 N/2 N

21. 2.1.6. Правило большинства и перераспределение Ur X Рисунок 2.8. Y Z S E 0 T W Up

22. Функция группового принятия решений: Где n– число индивидов в сообществе. В зависимости от предпочтительности для i-того члена сообщества одной из двух альтернатив xи y, Di принимает значения 1, 0 и -1 (при xPiy, xIiy и yPix, соответственно). 2.2.1. Теорема Мэя

23. Теорема Мэя: Функция группового выбора есть правило простого большинства (и только оно), если выполняются следующие четыре условия: Определенность: Функция группового принятия решений определена и единственным образом оценена для любого набора упорядоченных предпочтений. Анонимность: Параллельное изменение двух любых значений Di с -1 на +1 и с +1 на -1 оставляет сумму неизменной. 2.2.1. Теорема Мэя

24. Нейтральность: Если ранжирование сохраняется для любых двух пар альтернатив, то, то таким же оно будет и при агрегировании предпочтений (если xRiy→zRiw для всех i, zRw). Положительное реагирование: Если D=0, увеличение любого Di до 0 или 1 приводит к D>0. Доказательство, см.: May, Kenneth O. (1952), ‘A Set of Independent, Necessary and Sufficient Conditions for Simple Majority Rule’, 20(4)Econometrica, 680-684; Mueller, Dennis C. (2003), Public Choice III, Cambridge: Cambridge University Press, Ch. 5. 2.2.1. Теорема Мэя

25. Теорема Рэ – Тейлора: Если индивид, находясь в неведении относительно своего будущего положения в обществе, принимает решение о выборе правила агрегирования индивидуальных предпочтений, он выберет правило которое минимизирует вероятность поддержки им непринятого обществом варианта решения (и, соответственно, максимизирует вероятность поддержки принятого). Таким правилом будет правило простого большинства. Доказательство, см.: Rae, Douglas W. (1969), ‘Decision-Rules and Individual Values in Constitutional Choice’, 63(1)American Political Science Review, 40-56. 2.2.2. Теорема Рэ – Тейлора

26. Теорема о присяжных Кондорсе: Пусть nизбирателей делают выбор между двумя альтернативами. При этом для каждой из этих альтернатив a priori существует положительная вероятность того, что именно она окажется правильным выбором. Каждый из избирателей принимает решение независимо от других и каждый оценивает вероятность правильной альтернативы (1/2<p<1). Тогда вероятность того, что группа, следуя правилу простого большинства выберет в итоге верную альтернативу составит (при нечетном n): 2.2.3. Теорема о присяжных Кондорсе

27. Pn→1при n→∞. При n=3и p=0,6, Pn=0,648. Предпосылки теоремы: Равная вероятность правильного выбора для всех индивидов; Каждый голосует честно, руководствуясь своими представлениями о правильном выборе (никто не ведет себя стратегически); Все индивиды принимают решение независимо друг от друга. 2.2.3. Теорема о присяжных Кондорсе

28. Имеются 40 избирателей и 3 кандидата. Избиратели ранжируют кандидатов по степени предпочтения. Таблица 2.1. Правило простого большинства: A – 16 голосов; B– 13 голосов; C – 11голосов. 2.2.4. Цикличность при голосовании. Парадокс Кондорсе

29. При попарном соперничестве: A—B: 22:18; B—C: 29:11; C—A: 21:19. Таблица 2.2. 2.2.4. Цикличность при голосовании. Парадокс Кондорсе

30. 2.2.4. Цикличность при голосовании. Парадокс Кондорсе U Рисунок 2.9. V2 V3 V1 0 X Y Z Q

31. Предпосылки: x*i– точка идеального выбора i-того избирателя в пространстве «полезность – общественное благо», если, и только если Ui(x*i)>Ui(x) для всех x≠x*i. Пусть y и z – две точки на оси х, расположенные с одной стороны от точки x*i, y,z≥ x*iили y,z≤ x*i, тогда предпочтения избирателя имеют только одну точку максимума, если, и только если[Ui(y)> Ui(z)]↔[|y-x*i|<|z-x*i|]. Чем ближе точка на оси xк точке идеального выбора i-того избирателя, тем она предпочтительнее для него. Пусть {x*1, x*2, …, x*n}– точки идеального выбора сообщества, состоящего из n индивидов. NR– это число x*i≥xm, аNL– это число x*i≤xm, xm – оптимальный выбор медианного избирателя если, и только если NR≥n/2, NL≥n/2. 2.2.5. Теорема о медианном избирателе: одномерный случай

32. Теорема о медианном избирателе: Если в одномерном пространстве выбора предпочтения всех избирателей имеют только одну точку максимума, медианный избиратель (чья точка оптимального выбора – xm) никогда не окажется в проигрыше, если коллективные решения принимаются по правилу простого большинства. 2.2.5. Теорема о медианном избирателе: одномерный случай

33. 2.2.5. Теорема о медианном избирателе: одномерный случай U V1 V2 V3 V4 V5 Рисунок 2.10. 0 m Q

34. Доказательство: Возьмем некую точку z≠xm, например, пусть z<xm. Пусть Rm – число точек идеального выбора, расположенных справа от xm. По определению одновершинности предпочтений, для всех избирателей, чьи точки идеального выбора принадлежат множеству Rm, xm предпочтительнее z. 2.2.5. Теорема о медианном избирателе: одномерный случай

35. По определению позиции медианного избирателя, Rm≥n/2. Поэтому, число избирателей, для которых xm предпочтительнее z по крайней мере Rm≥n/2. Поэтому медианный избиратель не может проиграть. Аналогично доказывается, что позиция медианного избирателя не может уступить любой позицииz>xm. 2.2.5. Теорема о медианном избирателе: одномерный случай

36. 2.2.6. Двухмерность выбора и правило простого большинства x2 Рисунок 2.11. UB UA B A 0 x1

37. 2.2.6. Двухмерность выбора и правило простого большинства x2 UA Рисунок 2.12. UB D A C Z B 0 x1

38. Теоремао медианном избирателе: Е – доминирующая точка в ситуации коллективного выбора по правилу простого большинства при двухмерности предпочтений, если и только если NR≥n/2, NL≥n/2 для всех линий, которые можно провести в пространстве x1x2, через эту точку. 2.2.6. Двухмерность выбора и правило простого большинства

39. NR и NL – количество точек идеального выбора, расположенных справа (снизу) и слева (сверху) любой линии, проходящей через точку Е (см. рис. 2.13). Доказательство, см.: Davis, Otto A., DeGroot, M.H., and Hinich, Melvin J (1972), ‘Social Preference Orderings and Majority Rule’, 40(1)Econometrica, 147-157; Mueller, Dennis C. (2003), Public Choice III, Cambridge: Cambridge University Press, Ch. 5. 2.2.6. Двухмерность выбора и правило простого большинства

40. 2.2.6. Двухмерность выбора и правило простого большинства x1 Рисунок 2.13. A G E F B 0 x2

41. xPiy– означает строгое предпочтениеальтернативы x альтернативе y i-тым индивидом, xRiy – нестрогое предпочтение («не менее хорошо, чем»), xIiy – безразличие альтернатив. Аксиомы упорядоченности предпочтений: Рефлексивность: Для каждой альтернативы x из множества S, xRx. Полнота: Для каждой пары альтернатив x и y из множества S, x≠y, выполняется или xRy, или yRx, или и то, и другое. Транзитивность: Для любых трех альтернатив x, y и z из множества S (xRy и yRz)→xRz. 2.2.7. Правило большинства: непространственный подход

42. Экстремальное ограничение: если для какого-либо набора альтернатив (x, y, z) существуетиндивид i, для которого xPiy и yPiz, для каждого индивида j, для которого выполняется zPjx, должно также выполняться zPjy и yPjx. Теорема: Правило простого большинства определяет порядок любых трех альтернатив (x, y, z) если, и только если, все возможные наборы индивидуальных предпочтений удовлетворяют экстремальному ограничению. Доказательство, см.: Mueller, Dennis C. (2003), Public Choice III, Cambridge: Cambridge University Press, Ch. 5. 2.2.7. Правило большинства: непространственный подход

43. Вероятность зацикливания снижается с увеличением размеров решающего большинства. В ситуации n-мерного выбора, если предпочтения членов сообщества относительно гомогенны (то есть, если суммирование предпочтений в ситуации трехмерного выбора дает «холм» с одной вершиной), минимальный размер оптимального большинства m* для которого будет существовать по крайней мере одна точка равновесия должен удовлетворять условию: (2.8) 2.2.8. Зацикливание и размер решающего большинства

44. При (2.9) Для того, чтобы быть уверенным в существовании по крайней мере одной точки в n-мерном пространстве выбора, которая не может быть «побеждена» никакой другой точкой в этом пространстве, необходимо большинство в 64% голосов. Доказательство, см.: Caplin, Andrew and Nalebuff, Barry (1988), ‘On 64%-Majority Rule’, 56(4)Econometrica, 787-814. 2.2.8. Зацикливание и размер решающего большинства

45. 2.2.8. Зацикливание и размер решающего большинства EC Рисунок 2.14. E+D D E 0 N/2 m* N

46. Таблица 2.3. 2.2.9. Логроллинг

47. Таблица 2.4. 2.2.9. Логроллинг

48. 2.2.10. Манипулирование повесткой дня x2 A UB Рисунок 2.15. • McKelvey, Richard D. (1976), ‘Intransitivities in Multidimensional Voting Models and Some Implications for Agenda Control’, 12(3)Journal of Economic Theory, 472-482. Z’’ UA UA S UС Z’ B C Z UB UС x1 0

49. 2.2.11. Причины стабильности выбора x2 A Рисунок 2.16. a b с x02 xm2 E B C 0 xm1 x1

50. Таблица 2.5. 2.2.11. Причины стабильности выбора