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第二讲 (第二章). 数学证明 与 公理化体系. 形式逻辑的 奠基人. 墨子 468-376 BC. 亚里斯多德 384-322BC. 公孙龙 325-250BC. 数理逻辑的 大师. 莱布尼兹 1646-1716. 布尔 1815-1864. 怀特海德 王浩 1861 - 1947 1921 - 1995. 辩证逻辑的 奠基人. 黑格尔 1770 - 1831. 集合论 复习. 集合与元素. 2. 有限集,空集与无限集. 3. 集合的并与交. 4. 等集,子集与真子集. 5. 两个集合的关系.
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第二讲(第二章) 数学证明 与 公理化体系
形式逻辑的奠基人 墨子 468-376 BC 亚里斯多德 384-322BC 公孙龙 325-250BC
数理逻辑的大师 莱布尼兹 1646-1716 布尔 1815-1864 怀特海德 王浩 1861-1947 1921-1995
辩证逻辑的奠基人 黑格尔 1770-1831
集合论复习 • 集合与元素 2.有限集,空集与无限集 3.集合的并与交 4.等集,子集与真子集 5.两个集合的关系 康托尔 1845 – 1918 6.全集与余集
与数有关的常见集合 • 自然数集合N • 整数集合Z • 有理数集合Q • 实数集合R • 复数集合C • 奇数集合;偶数集合; • 素数(也称“质数”)集合
概念―反映事物特有属性的思维形式 • 概念的“内涵”:指概念所反映的事物的特有属性。 • 概念的“外延”:指具有概念所反映特性的所有事物。 • 虚假概念
概念间的关系 • 全同关系 A = B • 从属关系即蕴含关系 • 交叉关系 • 全异关系
定义―揭示概念内涵的逻辑方法 定义的一般形式是: Ds 是 Dp 其中 Ds 代表被定义项, Dp 代表定义项。
公孙龙提出“白马非马”的命题 中国古代逻辑学家公孙龙 指出:“马者,所以命 形也;白者,所以命 色也。命色者非命形 也。故曰: ‘白马非马’。” 325-250BC
东京审判案例之一:战争定义 开庭不久,被告律师清濑一郎 以中日直到1941年12月9日才宣战的事 实,辩称在此之前,不存在战争,自然 谈不上战争罪。 向哲浚:“这是一个关于战争的正确 定义的问题。从1931年9月18日起,日 本就在中国采取了军事行动,杀死了数 以万计的中国人,包括士兵和平民。 1937年7月7日,日本在卢沟桥发动了战争,一晚就杀死了几百人。 随后,日本出兵中国各地,杀死了数以百万计的中国士兵、儿童、 妇和手无寸铁的无助的平民。这些是全世界都知道的事实,如果 这不是战争,我想问,那什么是战争?”
东京审判案例之二:智斗板垣 日本关东军的《奉天特务机关报》,该报 首页盖有土肥原的名章。其中一页载有 “华南人士一闻土肥原和板垣之名,有谈 虎色变之慨” 美籍辩护律师华伦 :这个文件讲的是一只 老虎,与案情无关,法庭应拒绝接纳作为 证据。 倪征燠:这是典型的偷换概念,因为“谈虎色变”中的“虎”已由“凶恶的老虎”引申为“令人害怕憎恶的人或事”。 “谈虎色变”是一句中国成语,意思是中国人一谈起土肥原、板垣两人,有如提到猛虎,足见这两人的凶恶。
判断―对事物有所肯定或否定的思维形式 逻辑的主要作用是判断一个命题是否成 立,非真即假。 数学的重要功能也是证明一个命题是否 成立。 “命题”必须是一个陈述句,而不能是疑 问句或感叹句 。 一个命题有两种可能的取值:“真” (记为T)或“假”(记为F),两者必居其一, 也只居其一。
A、E、I、O 四种直言命题 全称肯定判断(A判断):“所有的S都是P” 全称否定判断(E判断):“所有的S都不是P” 特称肯定判断(I判断):“有的S是P” 特称否定判断(O判断):“有的S不是P”
两个表示量词的全称和特称的逻辑符号 : “所有的”、“一切的” : 有的”、“存在着”
四种直言命题的关系 A 真 I 必真; I 假 A 必假 E 真 O 必真; O 假 E 必假 A、E 不同真; A、E 可同假 A、O 不同真也不同假 E、I 不同真也不同假 I、O 可同真;但 I、O 不可同假
东京审判案例之三:南京大屠杀举证 证人罗伯特威尔逊, 金陵医学院医生 证人约翰·马奇, 美国圣公会牧师
数学定理举例 数学定理举例 费马大定理 没有整数解 当
数学定理举例 哥德巴赫猜想猜想1:如果一个偶数大于等于6,那么它一定可以表示为两个奇素数之和。猜想2:如果一个奇数大于等于9,那么它一定可以表示为三个奇素数之和。 陈景润1933-1996
代数基本定理: 数学定理举例 高斯1777-1855 在复数域内有且仅有n个根
定理的四种形式 正定理:如果P,那么Q; 即 逆定理:如果Q,那么P; 即 否定理:如果 ,那么 ;即 逆否定理:如果 ,那么 ;即
必要条件和充分条件 必假,或无 必无 若Q假P , 则称 为 的必要条件 若 ,P真Q也真, 则称P为Q的充分条件 ,则称P为Q的充分必要条件
福尔摩斯的推理 柯南道尔1859-1933 “这一位先生,具有医务工作者的风度,但却是一副军人气概。那么,显见他是个军医。他是刚从热带回来,因为他脸色黝黑,但是,从他手腕的皮肤黑白分明看来,这并不是他原来的肤色。他面容憔悴,这就清楚地说明他是久病初愈而又历尽了艰苦。他左臂受过伤,现在动作品来还有些僵硬不便。试问,一个英国的军医在热带地方历尽艰苦,并且臂部负过伤,这能在什么地方呢?自然只有在阿富汗了。”
三段论的推理形式 • 由三个判断组成。第一个称为“大前提”,第二个称为“小前提”,第三个称为“结论”; • 一共包含也只能包含三个概念,每个概念在两个判断中各出现一次; • 在大小前提中出现而在结论中不出现的概念称为“中项”。
三段论的推理形式 • 大前提: M ── P (A判断) • 小前提: S ──M ( A判断) • ――――――――――――― • 结 论: S ── P ( A判断)
1948年11月12日韦勃庭长宣读最终判决 梅汝璈 韦勃 东条英机
板垣征四郎、广田弘毅、木村兵太郎、武藤章被判死刑板垣征四郎、广田弘毅、木村兵太郎、武藤章被判死刑
归纳推理 门捷列夫 (1824-1907) 的元素周期表 开普勒 (1571-1630) 的天体运动定律
白居易的归纳推理 白居易(772-846) “赠君一法决狐疑,不用钻龟与祝蓍。 试玉要烧三日满, 辨材须待七年期。 周公恐惧流言日, 王莽谦恭未篡时。 向使当初身便死, 一生真伪复谁知?”
逻辑例题 某手机店失窃,赵、钱、孙、李四人涉嫌被调查。4人笔录如下: 赵:“窃贼是孙”; S 钱:“窃贼是李”; L 孙:“如果我作案,那么李是主犯”; S→L 李:“我没有偷。”  ̄ 非L 这四人只有一人说假话,判定以下哪项为真? A. 赵说假话,窃贼是钱; B. 钱说假话,窃贼是孙; C. 孙说假话,窃贼是孙; D. 李说假话。窃贼是孙和李。 钱、李矛盾,必有一假。若钱假,李真,由孙真,非L→非S, 与赵真矛盾,故李假,即D真。
常用逻辑判断的公式 矛盾律: ,A或B必有一假; : ,A或非A必有一真; 排中律: 命题与逆否命题等价: ; ; 德摩根定理: De Morgan (1806-1871) 。
数学常用证明方法之一:三段论推理 大前提:n次代数方程在复数域有且只n个根(代数基本定理); 小前提: 是3次代数方程; 结论: 在复数域有且只3个根
代数基本定理: 数学定理的证明举例 高斯1777-1855 在复数域内有且仅有n个根
求解三次方程的秘密诗 “一块蓝宝石卖了500金币,所得利润是 其成本的立方根,求其利润”。 塔塔利亚: “立方共诸物,和要写右边, 巧设两个数,差值同右和; 此法要牢记,再定两数积: 诸物三之一,还把立方计; 既知差与积,两数算容易, 复求立方根,相减题答毕。”
三次方程的卡尔丹公式 A和B是一元二次方程 的根
四次方程的求根公式 移项 两边加上 , 两边再加 解出y的两个根,就可得到x的四个根