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要点梳理 1. 等比数列的定义 如果一个数列 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示 . 2. 等比数列的通项公式

§6.3 等比数列及其前 n 项和. 基础知识 自主学习. 要点梳理 1. 等比数列的定义 如果一个数列 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示 . 2. 等比数列的通项公式 设等比数列 { a n } 的首项为 a 1 ，公比为 q ，则它的通项 a n =. 从第二项起，后项与相邻前项的比是. 一个确定的常数（不为零）. 公比. q. a 1 · q n -1. 3. 等比中项 若 ，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项 . 4. 等比数列的常用性质

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要点梳理 1. 等比数列的定义 如果一个数列 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示 . 2. 等比数列的通项公式

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  1. §6.3 等比数列及其前n项和 基础知识 自主学习 要点梳理 1.等比数列的定义 如果一个数列，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，通常用字母表示. 2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an= . 从第二项起，后项与相邻前项的比是 一个确定的常数（不为零） 公比 q a1·qn-1

  2. 3.等比中项 若，那么G叫做a与b的等比中项. 4.等比数列的常用性质 （1）通项公式的推广：an=am·,(n，m∈N*). （2）若{an}为等比数列，且k+l=m+n，（k，l，m，n∈N*），则. （3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{ an}（ ≠0）， ，{ }，{an·bn}， 仍是等比数列. G2=a·b qn-m ak·al=am·an

  3. 5.等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn，当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，Sn= 6.等比数列前n项和的性质 公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍成等比数列，其公比为. qn

  4. 基础自测 1.设a1=2,数列{an+1}是以3为公比的等比数列，则a4的值为 （ ） A.80 B.81 C.54 D.53 解析 由已知得an+1=(a1+1)·qn-1, 即an+1=3·3n-1=3n, ∴an=3n-1，∴a4=34-1=80. A

  5. 2.等比数列{an}中，a4=4,则a2·a4·a6等于（ ） A.4 B.8 C.32 D.64 解析 ∵a4是a2与a6的等比中项， ∴a2·a6= =16.∴a2·a4·a6=64. D

  6. 3.（2009·广东文，5）已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9=2 ,a2=1,则a1=（ ） A.2 B. C. D. 解析 设公比为q,由已知得a1q2·a1q8=2(a1q4)2,即q2=2.因为等比数列{an}的公比为正数,所以q= ,故a1= C

  7. 4.在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若S3=7，S6=63，则公比q的值是 （ ）4.在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若S3=7，S6=63，则公比q的值是 （ ） A.2 B.-2 C.3 D.-3 解析方法一 依题意，q≠1, ∵ =7， ① =63. ② ②÷①得1+q3=9,∴q3=8,∴q=2. 方法二 ∵(a1+a2+a3)·q3=a4+a5+a6, 而a4+a5+a6=S6-S3=56, ∴7·q3=56,q3=8,q=2. A

  8. 5.（2008·浙江理，6）已知{an}是等比数列,a2=2,a5= ,则a1a2+a2a3+…+anan+1等于（ ） A.16(1-4-n) B.16(1-2-n) C. (1-4-n) D. (1-2-n) 解析 ∵ ∴an·an+1=4·（ ）n-1·4·（ ）n=25-2n, 故a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1 =23+21+2-1+2-3+…+25-2n C

  9. 题型分类 深度剖析 题型一 等比数列的基本运算 【例1】已知{an}为等比数列，a3=2，a2+a4= ，求{an}的通项公式. 根据等比数列的定义、通项公式及性质建立首项,公比的方程组. 解 方法一 设等比数列{an}的公比为q，则q≠0， a2= a4=a3q=2q， ∴ +2q= 解得q1= ，q2=3. 思维启迪

  10. ①当q= 时，a1=18， ∴an=18×（ ）n-1= =2×33-n. ②当q=3时，a1= ， ∴an= ×3n-1=2×3n-3. 综上所述，an=2×33-n或an=2×3n-3. 方法二 由a3=2,得a2a4=4，又a2+a4= ， 则a2，a4为方程x2- x+4=0的两根，

  11. a2= a2=6 a4=6 a4= 解得 . 或 ①当a2= 时,q=3,an=a3·qn-3=2×3n-3. ②当a2=6时，q= ,an=2×33-n ∴an=2×3n-3或an=2×33-n. （1）等比数列{an}中，an=a1qn-1, Sn= 中有五个量，可以知三求二；（2）注意分 类讨论的应用. 探究提高

  12. 知能迁移1已知等比数列{an}中，a1=2,a3+2是a2和a4的等差中项.知能迁移1已知等比数列{an}中，a1=2,a3+2是a2和a4的等差中项. （1）求数列{an}的通项公式； （2）记bn=anlog2an,求数列{bn}的前n项和Sn. 解 （1）设数列{an}的公比为q, 由题意知：2(a3+2)=a2+a4, ∴q3-2q2+q-2=0，即(q-2)(q2+1)=0. ∴q=2，即an=2·2n-1=2n.

  13. （2）bn=anlog2an=n·2n, ∴Sn=1·2+2·22+3·23+…+n·2n. ① 2Sn=1·22+2·23+3·24+…+（n-1）·2n+n·2n+1.② ①-②得-Sn=21+22+23+24+…+2n-n·2n+1 =-2-(n-1)·2n+1. ∴Sn=2+（n-1）·2n+1.

  14. 题型二 等比数列的判定与证明 【例2】 （2008·湖北文，21）已知数列{an}和{bn}满足：a1= ,an+1= an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中 为实数，n为正整数. （1）证明：对任意实数 ,数列{an}不是等比数列; （2）证明：当 ≠-18时，数列{bn}是等比数列. （1）可用反证法. （2）根据递推关系推出bn+1=- bn，用 ≠-18说明b1≠0，即bn≠0. 思维启迪

  15. 证明 （1）假设存在一个实数 ,使{an}是等比数列, 则有 =a1a3,即 9=0,矛盾. 所以{an}不是等比数列. （2）bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n+1)+21］ =(-1)n+1( an-2n+14) =- (-1)n·(an-3n+21)=- bn. 又 ≠-18，所以b1=-( +18)≠0.`

  16. 由上式知bn≠0,所以(n∈N*). 故当 ≠-18时，数列{bn}是以-( +18)为首项， 为公比的等比数列. 证明一个数列是等比数列的主要方法有 两种：一是利用等比数列的定义，即证明 (q≠0,n∈N*)，二是利用等比中项法，即证明 =anan+2≠0 (n∈N*).在解题中，要注意根据欲证明 的问题，对给出的条件式进行合理地变形整理，构 造出符合等比数列定义式的形式，从而证明结论. 探究提高

  17. 知能迁移2 （2009·全国Ⅱ理，19）设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1，Sn+1=4an+2. （1）设bn=an+1-2an，证明数列{bn}是等比数列； （2）求数列{an}的通项公式. （1）证明 由已知有a1+a2=4a1+2,解得a2=3a1+2=5,故b1=a2-2a1=3. 又an+2=Sn+2-Sn+1 =4an+1+2-(4an+2)=4an+1-4an, 于是an+2-2an+1=2(an+1-2an)，即bn+1=2bn. 因此数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列.

  18. (2)解 由（1）知等比数列{bn}中b1=3,公比q=2, 所以an+1-2an=3×2n-1,于是 因此数列 是首项为 ,公差为 的等差数列, 所以an=(3n-1)·2n-2.

  19. 题型三 等比数列的性质及应用 【例3】在等比数列{an}中，a1+a2+a3+a4+a5=8且 =2,求a3. （1）由已知条件可得a1与公比q的方程组，解出a1、q，再利用通项公式即可得a3. （2）也可利用性质 =a1·a5=a2·a4直接求得a3. 解 方法一 设公比为q,显然q≠1, ∵{an}是等比数列，∴ 也是等比数列，公比 为 . 思维启迪

  20. 由已知条件得 ∴ =（a1q2）2=4，∴a3=±2. 方法二 由已知得 ∴ =4.∴a3=±2.

  21. 探究提高 在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m+n=p+q,则am·an=ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度. 知能迁移3 （1）已知等比数列{an}中，有a3a11=4a7，数列{bn}是等差数列，且b7=a7,求b5+b9的值; （2）在等比数列{an}中，若a1a2a3a4=1,a13a14a15a16= 8,求a41a42a43a44. 解（1）∵a3a11= =4a7， ∵a7≠0，∴a7=4，∴b7=4， ∵{bn}为等差数列，∴b5+b9=2b7=8.

  22. （2）方法一 a1a2a3a4=a1a1qa1q2a1q3= q6=1.① a13a14a15a16=a1q12·a1q13·a1q14·a1q15 = ·q54=8. ② ②÷①： =q48=8q16=2， 又a41a42a43a44=a1q40a1q41·a1q42·a1q43 = ·q166= ·q6·q160=( ·q6)·(q16)10 =1·210=1 024. 方法二 由性质可知，依次4项的积为等比数列， 设公比为p，设T1=a1·a2·a3·a4=1， T4=a13·a14·a15·a16=8， ∴T4=T1·p3=1·p3=8，∴p=2. ∴T11=a41·a42·a43·a44=T1·p10=210=1 024.

  23. 题型四 等差、等比数列的综合应用 【例4】 （12分）已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项. （1）求数列{an}与{bn}的通项公式； （2）设数列{cn}对n∈N*均有 =an+1成立，求c1+c2+c3+…+c2 010. （1）可用基本量法求解；（2）作差an+1-an= 思维启迪

  24. 解 （1）由已知有a2=1+d,a5=1+4d,a14=1+13d, ∴（1+4d）2=(1+d)(1+13d). 解得d=2(∵d＞0). 2分 ∴an=1+(n-1)·2=2n-1. 3分 又b2=a2=3,b3=a5=9, ∴数列{bn}的公比为3, ∴bn=3·3n-2=3n-1. 5分 （2）由 得 当n≥2时, 两式相减得:n≥2时, =an+1-an=2. 8分

  25. ∴cn=2bn=2·3n-1 (n≥2). 又当n=1时， =a2,∴c1=3. 3 (n=1) 2·3n-1 (n≥2). 10分 ∴c1+c2+c3+…+c2 010 =3+ =3+(-3+32 010)=32 010. 12分 在解决等差、等比数列的综合题时，重 点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、 通项公式及前n项和公式.本题第（1）问就是用基本量 公差、公比求解；第（2）问在作差an+1-an时要注意 n≥2. ∴cn= 探究提高

  26. 知能迁移4已知数列{an}中，a1=1,a2=2,且 an+1=(1+q)an-qan-1 (n≥2,q≠0). （1）设bn=an+1-an (n∈N*),证明：{bn}是等比数 列； （2）求数列{an}的通项公式； （3）若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明： 对任意的n∈N*,an是an+3与an+6的等差中项. （1）证明 由题设an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2）， 得an+1-an=q(an-an-1),即bn=qbn-1,n≥2. 由b1=a2-a1=1,q≠0,所以{bn}是首项为1，公比为q 的等比数列.

  27. （2）解 由（1）， a2-a1=1,a3-a2=q,… an-an-1=qn-2 (n≥2). 将以上各式相加，得an-a1=1+q+…+qn-2 (n≥2)， 即an=a1+1+q+…+qn-2 (n≥2). 所以当n≥2时， （3）解 由（2），当q=1时，显然a3不是a6与a9的 等差中项，故q≠1. 由a3-a6=a9-a3可得q5-q2=q2-q8,由q≠0得 q3-1=1-q6, 上式对n=1显然成立. ①

  28. 整理得（q3）2+q3-2=0,解得q3=-2或q3=1（舍去）. 于是q= . 另一方面， an-an+3= an+6-an= 由①可得an-an+3=an+6-an, 即2an=an+3+an+6,n∈N*. 所以对任意的n∈N*,an是an+3与an+6的等差中项.

  29. 方法与技巧 1.等比数列的判定方法有以下几种： (1)定义： =q (q是不为零的常数，n∈N*) {an}是等比数列. (2)通项公式：an=cqn (c、q均是不为零的常数, n∈N*){an}是等比数列. (3)中项公式: =an·an+2(an·an+1·an+2≠0, n∈N*) {an}是等比数列. 思想方法 感悟提高

  30. 2.方程观点以及基本量（首项和公比a1,q）思想仍2.方程观点以及基本量（首项和公比a1,q）思想仍 然是求解等比数列问题的基本方法：在a1,q,n,an,Sn 五个量中，知三求二. 3.分类讨论的思想：当a1＞0,q＞ 1或a1＜0,0＜q ＜1时，{an}为递增数列；当a1＜0,q＞1或a1＞0, 0＜q＜1时，{an}为递减数列；当q＜0时，{an} 为摆动数列；当q=1时，{an}为常数列. 失误与防范 1.特别注意q=1时，Sn=na1这一特殊情况. 2.由an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数 列，还要验证a1≠0. 3.Sn+m=Sn+qnSm.

  31. 定时检测 一、选择题 1.（2009·广东理，4）已知等比数列{an}满足an＞0,n=1,2,…,且a5·a2n-5=22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1+log2a3+…+log2a2n-1= （ ） A.n(2n-1) B.(n+1)2 C.n2 D.(n-1)2 解析 由题意知an=2n,log2a2n-1=2n-1, log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=1+3+…+(2n-1)=n2. C

  32. 2.（2009·辽宁理，6）设等比数列{an}的前n项和为Sn,若 =3,则 = （ ） A.2 B. C. D.3 解析 由题意知 ∴q3=2. B

  33. 3.等比数列{an}中，其公比q＜0，且a2=1-a1,a4=4-a3,则a4+a5等于 （ ）3.等比数列{an}中，其公比q＜0，且a2=1-a1,a4=4-a3,则a4+a5等于 （ ） A.8 B.-8 C.16 D.-16 解析 ∵a1+a2=1，a3+a4=4=（a1+a2）q2， 又q＜0，∴q=-2. ∴a4+a5=（a3+a4）q=4×（-2）=-8. B

  34. 4.在数列{an}中，an+1=can (c为非零常数)，且前n项和为Sn=3n+k，则实数k的值为 （ ） A.0 B.1 C.-1 D.2 解析{an}为等比数列的充要条件是Sn= 由Sn=3n+k知k=-1. C

  35. 5.等比数列{an}的公比为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件a1＞1,a99a100-1＞0， ＜0.给出下列结论：①0＜q＜1；②a99·a101-1＜0；③T100的值是Tn中最大的；④使Tn＞1成立的最大自然数n等于198.其中正确的结论是 （ ） A.①②④ B.②④ C.①② D.①②③④

  36. 解析 ①中， ∴①正确. a99a101=a1002 0＜a100＜1 T100=T99·a100 0＜a100＜1 ②中， a99·a101＜1,∴②正确. ③中， T100＜T99,∴③错误.

  37. ④中，T198=a1a2…a198=(a1·a198) … (a2·a197) … (a99·a100)=(a99·a100)99＞1, T199=a1a2…a198·a199=（a1a199）…(a99·a101) ·a100=a100199＜1,∴④正确. 答案A

  38. 6.在正项等比数列{an}中，an+1＜an，a2·a8=6，a4+a6=5,则 等于 （ ） A. B. C. D. 解析 设公比为q,则由an+1＜an知0＜q＜1, 由a2·a8=6，得 =6. ∴a5= ，a4+a6= 解得q= D

  39. 二、填空题 7.（2009·浙江，11）设等比数列{an}的公比q= 前n项和为Sn，则 = . 解析 ∵S4= a4=a1q3, 15

  40. 8.（2009·海南文，15）等比数列{an}的公比q＞0. 已知a2=1，an+2+an+1=6an，则{an}的前4项和S4= . 解析 ∵{an}是等比数列，∴an+2+an+1=6an可化 为a1qn+1+a1qn=6a1qn-1,∴q2+q-6=0 ∵q＞0,∴q=2,∴S4=

  41. 9.（2009·江苏，14）设{an}是公比为q的等比数列，9.（2009·江苏，14）设{an}是公比为q的等比数列， |q|＞1,令bn=an+1(n=1,2,…)，若数列{bn}有连续 四项在集合{-53,-23，19，37，82}中，则6q= . 解析 由题意知，数列{bn}有连续四项在集合{-53, -23,19,37,82}中，说明{an}有连续四项在集合{-54, -24,18,36,81}中，由于{an}中连续四项至少有一项 为负，∴q＜0, 又∵|q|＞1,∴{an}的连续四项为一24,36,-54,81. ∴q= ∴6q=-9. -9

  42. 三、解答题 10.等比数列{an}满足:a1+a6=11, a3·a4= ，且公 比q∈(0,1). （1）求数列{an}的通项公式； （2）若该数列前n项和Sn=21，求n的值. 解（1）∵a3·a4=a1·a6= ， 由条件知a1,a6是方程x2-11x+ =0的两根， 解得x= 或x=

  43. 又0＜q＜1,∴a1= ,a6= . ∴q5= 即q= ∴an=a6·qn-6= ·( )n-6. （2）令 =21，得 ,∴n=6.

  44. 11.数列{an}中，a1=2,a2=3,且{anan+1}是以3为公比的等比数列，记bn=a2n-1+a2n (n∈N*). （1）求a3,a4,a5,a6的值； （2）求证：{bn}是等比数列. （1）解 ∵{anan+1}是公比为3的等比数列， ∴anan+1=a1a2·3n-1=2·3n， ∴a3= =6，a4= =9， a5= =18，a6= =27.

  45. （2）证明 ∵{anan+1}是公比为3的等比数列， ∴anan+1=3an-1an，即an+1=3an-1， ∴a1，a3，a5,…，a2n-1，…与a2,a4,a6，…，a2n，… 都是公比为3的等比数列. ∴a2n-1=2·3n-1,a2n=3·3n-1，∴bn=a2n-1+a2n=5·3n-1. 故{bn}是以5为首项，3为公比的等比数列.

  46. 12.设函数f(x)满足f(0)=1,且对任意x,y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2.12.设函数f(x)满足f(0)=1,且对任意x,y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2. （1）求f(x)的解析式； （2）若数列{an}满足:an+1=3f(an)-1 (n∈N*),且a1= 1,求数列{an}的通项公式； （3）求数列{an}的前n项和Sn. 解 （1）∵f（0）=1，令x=y=0, 得f(1)=f(0)f(0)-f(0)-0+2=2. 再令y=0得f(1)=2=f(x)f(0)-f(0)-x+2, ∴f（x）=x+1,x∈R.

  47. （2）∵f（x）=x+1, ∴an+1=3f(an)-1=3an+2. ∴an+1+1=3(an+1). 又a1+1=2,∴数列{an+1}是公比为3的等比数列. ∴an+1=2×3n-1，即an=2×3n-1-1. （3）Sn=a1+a2+…+an =2×（30+31+32+…+3n-1）-n =3n-n-1. 返回

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