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Probabilités

Probabilités. Eléments de base. I- D EFINITION I-1. Définition classique Une expérience est dite aléatoire (random experiment-random trial) lorsqu'on ne peut pas en prévoir exactement les résultats du fait que tous les facteurs qui déterminent ce résultat ne sont pas maîtrisés ou contrôlés.

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Presentation Transcript

  1. Probabilités Eléments de base Cours Statistique 2005

  2. I- DEFINITION • I-1.Définition classique • Une expérience est dite aléatoire (random experiment-random trial) lorsqu'on ne peut pas en prévoir exactement les résultats du fait que tous les facteurs qui déterminent ce résultat ne sont pas maîtrisés ou contrôlés. • Un événement aléatoire est un événement qui peut ou ne pas se réaliser au cours d'une expérience aléatoire. • Exemple : expérience aléatoire "traverser la route" - événement aléatoire "se faire écraser". Cours Statistique 2005

  3. Simrésultats peuvent se produire avec des chances égales et sikrésultats correspondent à la réalisation de l'événement,la probabilité de l'événement est le rapport k/m : nombre de cas favorables sur nombre de cas possibles. Par exemple dans un jeu de 52 cartes on a 13 coeurs, si toutes les cartes ont des chances égales d'être tirées, la probabilité d'extraire un Trèfle est 13/52 = 0,25. Cours Statistique 2005

  4. II- APPROCHE AXIOMATIQUE Axiomes élémentaires: • ☻ La probabilité de tout événement associé à une épreuve est compris entre 0 et 1: • 0 < P(A) < 1 • ☻La probabilité de l’événement certain est égale à 1: • P(S) = 1« événement toujours réalisé » • ☻La probabilité de l’événement impossible est nulle: • P(Ø) = 0« événement impossible » Cours Statistique 2005

  5. A E B • Evénements mutuellement exclusifs • Les événements A et B ne peuvent se produire simultanément. Pour tous couples (A,B) l'ensemble A ∩ B est vide. • P(A ou B) = P(A + B) = P(A U B)= P(A) + P(B) Cours Statistique 2005

  6. Exempleprobabilité d'extraire un cœur ou un carreau = P(Cœur ou Carreau) • = 0,25 + 0,25 = 0,5. • Généralisation P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) • Si 2 événements sont mutuellement exclusifs (mort-vivant) • on a P(A)+P(B) = 1 => P(A) = 1-P(B). • La probabilité de survie à un moment donné est égale à 1 moins la probabilité de décéder à ce moment. Cours Statistique 2005

  7. Evénements non nécessairement exclusifs Les événements peuvent se produire simultanément. Exemple « avoir un infarctus du myocarde », « être diabétique ». P(A ou B) = P(B ou A) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) Cours Statistique 2005

  8. En conclusion • P(A ou B) est toujours < P(A) + P(B) • P(M ou S ou T) = P(M) + P(S) + P(T) - P(M et S) - P(S et T) - P(M et T) - P(M et S et T) Cours Statistique 2005

  9. B A E 1 5 6 3 2 4 Définitions & Calculs Ensemble des réalisations et évènement Un évènement E est un ensemble d’évènements élémentaires (A, B, ….). Ex: Jet de Dé; A: Avoir un résultat > 5 La probabilité d’un évènement A est la somme des probabilités des évènements élémentaires inclus dans A. Cours Statistique 2005

  10. Exemple : Familles à 3 enfants A1: Les 2 derniers enfants sont des filles: P(A1) = 1/8 + 1/8 = 2/8 A2: Avoir au moins une fille: P(A2) = 1/8 + 1/8+…+1/8 = 7/8 Cours Statistique 2005

  11. E « Au moins 2 filles » « Moins de 2 filles » Évènement contraire et probabilité complémentaire: P(A) = 4/8 Cours Statistique 2005

  12. E A:« Avoir une fille » : 3/8 Évènement inclus dans un autre: B:« Au moins 1 filles » : 7/8 Si A est inclus dans B, alors P(A) < P(B) Cours Statistique 2005

  13. ♀ ♂ ♀ ♂ ♀ ♂ Évènement A ou évènement B: (A ou B) E A:« Au moins 1 garçon » : 7/8 B:« Au moins 1 filles » : 7/8 P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) P(A ou B) = 7/8 + 7/8 – 6/8 = 8/8 = 1 Cours Statistique 2005

  14. Complémentaire: Définition:Si E et A sont deux ensembles, on appelle Complémentaire de A dans E l'ensemble formé des éléments de E qui ne sont pas dans A. On note CEA cet ensemble. Par exemple Si E = {1;2;3;4;5;6}  et   A = {4;5;6;7;8;9} alors: le complémentaire de A dans E est {1;2;3}. 7 1 4 4 4 2 5 5 5 9 Complémentaire de A dans E (A∩E) 6 6 8 6 3 Cours Statistique 2005

  15. D’une manière générale: Si A et E sont deux ensembles finis, alors l'observation du diagramme suivant montre que l'on a : P(A U E) = P(CEA) + P(CAE) + P(A ∩ E). Complémentaire de A dans E Complémentaire de E dans A (A∩E) Cours Statistique 2005

  16. Complémentaire de A dans E Complémentaire de E dans A (A∩E) Événement [A ou exclusif E ]: A est réalisé, E est réalisé mais (A et E) n’est pas réalisé Si A et E sont deux ensembles finis, alors l'observation du diagramme suivant montre que l'on a : P(A ou exclusif E)= P(CEA) +P(CAE)=P(A) + P(E)-2 P(A ∩ E). Cours Statistique 2005

  17. Complémentaire de A dans E Complémentaire de E dans A (A∩E) Événement différence (A-E) : A se réalise et E ne se réalise pas Si A et E sont deux ensembles finis, alors l'observation du diagramme suivant montre que l'on a : P(A - E) = P(CAE) = P(A) - P(A ∩ E) Cours Statistique 2005

  18. Ex: Avoir au moins un Garçon sans avoir 2 filles: Cours Statistique 2005

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