欢迎兄弟学校老师的到来！

1. 欢迎兄弟学校老师的到来！

2. 2010届高三数学一轮复习 抛物线的标准方程及其几何性质 执教者：安溪蓝溪中学 周瑞明 班 级：高三（12） 时 间：2010.1.19

3. 1．抛物线定义 • 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线． 掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质

4. 2．抛物线的标准方程

6. 3.抛物线的简单几何性质

7. 1．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分1．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分 • 为A1、B1，则∠A1FB1等于() • A．30° B．45° C．60° D．90° • 解析：如图所示，由定义知AA1＝AF，BB1＝BF， • ∴∠BB1F＝∠BFB1，∠AA1F＝∠AFA1， • ∠A1FB1＝180°－(∠B1A1F＋∠A1B1F)， • ∴2∠A1FB1＝180°，∴∠A1FB1＝90°， • 此题可用特殊值法，即以AB垂直x轴时为例(详解略)． • 答案：D

8. 2．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为()2．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为() 答案：B

9. 3．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()3．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是() • A．[－ ， ] B．[－2,2] C．[－1,1] D．[－4,4] • 解析：Q(－2,0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0， • 解得－1≤k≤1. • 答案：C

10. 4．对于抛物线y2＝4x上任意一点Q，点P(a，0)都满足|PQ|≥|a|，4．对于抛物线y2＝4x上任意一点Q，点P(a，0)都满足|PQ|≥|a|， • 则a的取值范围是() • A．(－∞，0) B．(－∞，2] C．[0,2] D．(0,2) • 答案：B

11. 要注意点F不在直线l上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线．利用抛物线定义可推导抛物线的标准方程．应注意抛物线的标准方程有四种不同的形式．要注意点F不在直线l上，否则轨迹不是抛物线，而是一条直线．利用抛物线定义可推导抛物线的标准方程．应注意抛物线的标准方程有四种不同的形式．

12. 【例1】 如图所示，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形， |AM|＝ ，|AN|＝3，且|NB|＝6，建立适当的坐标系， • 求曲线段C的方程．

13. 解答：以直线l1为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，解答：以直线l1为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系， • 由条件可知，曲线C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B • 分别为C的端点．设曲线C的方程为y2＝2px(p＞0)(xA≤x≤xB，y＞0)， • 其中xA、xB分别为A、B的横坐标，p＝|MN|，所以M(－ ，0)、N( ，0)． • 由|AM|＝ ，|AN|＝3，得 2pxA＝17， ① • (xA－ )2＋2pxA＝9， ②

14. 变式1.求与直线l：x＝－1相切，且与圆C：(x－2)2＋y2＝1相外切的动圆圆心变式1.求与直线l：x＝－1相切，且与圆C：(x－2)2＋y2＝1相外切的动圆圆心 • P的轨迹方程． • 解答：设动圆圆心P(x，y)，动圆半径为r. • 由已知条件知 因此P点轨迹为以F(2,0)为焦点，l：x＝－2为准线的抛物线， 又 ＝2.∴动圆圆心P的轨迹方程为y2＝8x.

15. 求抛物线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹法，标准方程有四种形式，在设方程形式之前，首先要确定抛物线的开口方向．求抛物线标准方程常用的方法是待定系数法或轨迹法，标准方程有四种形式，在设方程形式之前，首先要确定抛物线的开口方向． 为避免开口不一定而分成y2＝2px(p＞0)或y2＝－2px(p＞0)两种情况求解的麻烦，可以设成y2＝mx或x2＝ny(m≠0，n≠0)，若m＞0，开口向右，m＜0开口向左，m有两解，则抛物线的标准方程有两个

16. 【例2】已知如图所示直线l过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴 • 上，点A(－1,0)和点B(0,8)关于l的对称点都在C上， • 求直线l和抛物线C的 方程． • 解答：设直线l的方程为y＝kx，抛物线C的方程为y2＝2px， • p＞0设(a，b)关于y＝kx的对称点坐标为(x0，y0)，

17. ∴A(－1,0)，B(0,8)关于l对称点坐标为( )，( )， • 又A、B点在抛物线y2＝2px上， • 则 • ①除以②整理得，k3＝(k2－1)3，即k2－k－1＝0.

18. 变式2.如图，已知抛物线y2＝2px(p＞0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原 • 点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线方程． • 解答：设直线OA的方程为y＝kx，k≠0，则直线OB的方程为y＝－ x， • 由 • 得x＝0或x＝ ∴A点坐标为

19. B点坐标为(2pk2，－2pk)，由|OA|＝1，|OB|＝8 • 可得 • ②÷①解方程组得k6＝64，即k2＝4.则p2＝ • 又p＞0，则p＝ ， • 所求抛物线方程为y2＝ x.

20. 　对于过抛物线焦点的直线问题解决的方法有两种：　对于过抛物线焦点的直线问题解决的方法有两种： • (1)解析法；(2)几何法．

21. 【例3】已知AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，【例3】已知AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，且A(x1，y1)，B(x2，y2)， • 直线AB的倾斜角为α，点F为抛物线的焦点，求证：

23. 变式3.已知过抛物线C：y2＝2px焦点F的直线与抛物线C相交于A、B两点，变式3.已知过抛物线C：y2＝2px焦点F的直线与抛物线C相交于A、B两点， • 试证 |AB|的最小值为2p. • 证明：设|AF|＝m，|BF|＝n，由例1知 • 则m＋n≥2p.当且仅当m＝n时，等号成立， • 因此过抛物线焦点F的弦长的最小值为2p(通径长).

24. 1．求抛物线方程的方法大致有两种： (1)根据抛物线的标准方程(四种形式)利用待定系数法求抛物线方程； (2)可利用求轨迹方程的方法求抛物线方程． 2．对于抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点坐标可设为M(x0，y0)且y＝2px0，或设 为( ，y0)，两种设法各有优劣，要视具体情况而定．如果涉及到抛物线上的 点到焦点的距离问题，可考虑使用定义，使用几何法求解或证明，一般情况 下使用定义比使用方程要简单. 3．除去教材中涉及到的抛物线的简单几何性质外，还要进一步了解例3中过抛物线焦点弦的一些重要结论. • 【方法规律】

25. (2009·湖北)(本小题满分12分)如图，如果过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的(2009·湖北)(本小题满分12分)如图，如果过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的 • 直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线l作垂线，垂足分别为M1，N1. • (1)求证：FM1⊥FN1； • (2)记△FMM1、△FM1N1、△FNN1的面积分别为S1、S2、S3， • 试判断S＝4S1S3是否成立，并证明你的结论.

26. 【答题模板】

28. 【分析点评】 圆锥曲线是高考中考查的热点、重点和难点，值得关注的是在2009年的高考中，对直线与圆以及圆锥曲线的考查包括了对平面几何知识和方法的考查，而利用平面几何的知识和方法，解决圆锥曲线的几何性质，尤其是解决抛物线的几何性质值得大家探讨，而考卷实录中提供的平面几何解题方法值得大家借鉴和推广.

29. 谢谢指导！