1 / 21

Chương 4

Chương 4. Đồ thị phẳng – Bài toán tô màu đồ thị. Giảng viên: Nguyen Ngoc Trung nguyenngoctrung.dhsp@gmail.com. Đồ thị phẳng. Bài toán mở đầu: Có 3 gia đình, 3 nhà cung cấp điện, nước, gas. Các gia đình đều cần điện, nước, gas và đều muốn đi dây riêng.

keahi
Download Presentation

Chương 4

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Chương 4 Đồ thị phẳng – Bài toán tô màu đồ thị Giảng viên: Nguyen Ngoc Trung nguyenngoctrung.dhsp@gmail.com

  2. Lý thuyết đồ thị

  3. Đồ thị phẳng • Bài toán mở đầu: • Có 3 gia đình, 3 nhà cung cấp điện, nước, gas. • Các gia đình đều cần điện, nước, gas và đều muốn đi dây riêng. • Cần nối dây từ các gia đình đến các nhà cung cấp sao cho không dây nào cắt dây nào. A B ? C Lý thuyết đồ thị

  4. Đồ thị phẳng • Định nghĩa: Đồ thị vô hướng G là đồ thị phẳng nếu ta có thể biểu diễn nó trên một mặt phẳng sao cho không có cạnh nào cắt nhau. VD: Đồ thị phẳng Không là đồ thị phẳng Lý thuyết đồ thị

  5. Đồ thị phẳng (tt) • Các đồ thị không phẳng nổi tiếng Đồ thị K5 – đồ thị đầy đủ Đồ thị K3x3 – đồ thị hai phía đầy đủ Lý thuyết đồ thị

  6. Công thức Euler • Xét đồ thị sau: • Định lý: Cho G là đồ thị phẳng, liên thông với n đỉnh và m cạnh. Gọi r là số miền trong biểu diễn phẳng của G. Khi đó, ta có: r = m - n + 2 1 2 3 4 6 5 Lý thuyết đồ thị

  7. Công thức Euler (tt) • Chứng minh công thức Euler: Lý thuyết đồ thị

  8. Công thức Euler (tt) • Hệ quả.Nếu G là đơn đồ thị phẳng liên thông với e cạnh, v đỉnh, trong đó v  3. Khi đó ta có: e  3v – 6 • Chứng minh: • Gọi r là số miền • Mỗi miền đều tương ứng với ít nhất 3 cạnh • Mỗi cạnh tướng ứng với đúng 2 miền • Gọi bậc của mỗi miền là số cạnh tương ứng với nó • Suy ra, tổng bậc của các miền ít nhất là bằng 2 lần số cạnh • Áp dụng công thức Euler suy ra điều phải chứng minh. Lý thuyết đồ thị

  9. Định lý Kuratowski • Định lý: Đồ thị G là đồ thị phẳng nếu và chỉ nếu G không chứa đồ thị con đẳng cấu với K5 hoặc K3x3 • VD: các đồ thị sau đây không là đồ thị phẳng Lý thuyết đồ thị

  10. Tô màu đồ thị Lý thuyết đồ thị

  11. Tô màu đồ thị (tt) Phải dùng 3 màu để tổ Phải dùng 4 màu để tổ ? Lý thuyết đồ thị

  12. Tô màu đồ thị (tt) Lý thuyết đồ thị

  13. Tô màu đồ thị (tt) 2 1 7 8 7 4 1 2 8 6 3 9 4 5 3 6 9 5 2 6 2 4 5 6 5 1 1 4 3 7 7 3 Lý thuyết đồ thị

  14. Bài toán tô màu đồ thị 2 1 • Định nghĩa. Tô màu một đồ thị vô hướng là một sự gán màu cho các đỉnh sao cho hai đỉnh kề nhau phải khác màu nhau. • Định nghĩa. Số màu (sắc số) của một đồ thị là số màu tối thiểu cần thiết để tô màu đồ thị này. 7 8 4 3 6 9 5 2 6 4 5 1 7 3 Đồ thị có số màu là 4 Đồ thị có số màu là 3 Lý thuyết đồ thị

  15. Bài toán tô màu đồ thị (tt) • Định lý. (Định lý 4 màu) Số màu của một đồ thị phẳng là không lớn hơn 4. • Một số thông tin liên quan: • Bài toán được đưa ra năm 1850 • Có rất nhiều chứng minh sai về bài toán này • Chứng minh sai nổi tiếng là của Alfred Kempe vào năm 1879 • Percy Heawood phát hiện ra chứng minh sai ở trên vào năm 1890 • Dựa vào đó, năm 1976 Appel và Haken đã chứng minh bằng cách sử dụng máy tính Lý thuyết đồ thị

  16. Bài toán tô màu đồ thị (tt) • Tìm số màu của các đồ thị sau: Lý thuyết đồ thị

  17. Ứng dụng • Bài toán lập lịch thi: Hãy lập lịch thi trong một trường đại học sao cho không có sinh viên nào thi hai môn cùng một lúc. • Giải pháp: • Biểu diễn bằng đồ thị: • Mỗi môn học là một đỉnh • Nếu 2 môn học nào được dự thi bởi cùng 1 sinh viên thì sẽ nối bằng 1 cạnh. • Cách lập lịch sẽ tương ứng với bài toán tô màu của đồ thị này. Lý thuyết đồ thị

  18. Ứng dụng (tt) • VD: Có 7 môn thi với thông tin như sau: • Môn 1: có các sinh viên A, B, C và D thi • Môn 2: có các sinh viên A, E, F, G và H thi • Môn 3: có các sinh viên B, E, I, J và K thi • Môn 4: có các sinh viên B, F, L và M thi • Môn 5: có các sinh viên G, L, N và O thi • Môn 6: có các sinh viên J, M, N và P thi • Môn 7: có các sinh viên D, H, K, O và P thi Hãy xếp lịch thi thành các đợt sao cho các sinh viên đều có thể dự thi tuần tự các môn mình đăng ký Lý thuyết đồ thị

  19. Ứng dụng (tt) 1 • VD: Có 7 môn thi với thông tin như sau: • Môn 1: có các sinh viên A, B, C và D thi • Môn 2: có các sinh viên A, E, F, G và H thi • Môn 3: có các sinh viên B, E, I, J và K thi • Môn 4: có các sinh viên B, F, L và M thi • Môn 5: có các sinh viên G, L, N và O thi • Môn 6: có các sinh viên J, M, N và P thi • Môn 7: có các sinh viên D, H, K, O và P thi 2 7 3 6 4 5 Lý thuyết đồ thị

  20. Ứng dụng (tt) • Bài toán phân chia tần số. • Các kênh truyền hình từ số 2 đến số 13 được phân chia cho các đài truyền hình sao cho không có 2 đài cách nhau không quá 150 dặm lại dùng chung một kênh • Hãy tìm cách phân sao cho số kênh dùng là ít nhất • Giải pháp: • Biểu diễn bằng đồ thị: • Mỗi đỉnh là một đài phát • Hai đỉnh được nối một cạnh nếu hai đài phát cách nhau ít hơn 150 dặm • Số màu của đồ thị chính là số kênh cần dùng. Lý thuyết đồ thị

  21. Ứng dụng (tt) • Bài toán các thanh ghi chỉ số: • Trong lập trình các thanh ghi thường được dùng để lưu trữ giá trị các biến tạm thời • Tìm số thanh ghi ít nhất cần sử dụng trong một chương trình • Giải pháp: • Biểu diễn bằng đồ thị: • Mỗi biến tương ứng với mỗi đỉnh • Hai đỉnh được nối với nhau nếu hai biến cùng được ghi xuống tại một thời điểm • Số thanh ghi ít nhất cần sử dụng sẽ là số màu của đồ thị trên Lý thuyết đồ thị

More Related