第十三章

第十三章 變異數分析

13.1 平方和的計算 13.2 ANOVA 表及F檢定 13.3 使用EXCEL作變異數分析

我們常常需要做比較： 有四種減肥餐的效果是不是一樣？三種降血壓方式的效果是否差不多？某超市共有五家分店，經營者很注重對顧客的服務，在規定隊伍長度超過某個數字就要新開一個結帳櫃台之後，經營者想要知道各分店在尖峰時段的平均結帳時間 ( 從開始排隊到結完帳 ) 是否相同。以上問題都可以歸類為母體平均數的比較，第九章的頭兩節也是在處理類似問題，但是只比較兩個母體而已，現在我們卻想要同時比較至少三個母體。能不能只做一個檢定，就判斷出各個母體平均數是否都相同呢？可以的，這個方法叫做變異數分析，就是本章的內容。當然變異數分析還可以處理許多其他更複雜類型的問題，但不在本書討論範圍內。

13.1 平方和的計算 在處理變異數分析問題時，需要做不少計算，主要是必須算幾種不同的平方和。需要計算的平方和有三種：

13.1 平方和的計算 例13.1-1

13.1 平方和的計算 例13.1-1 解組內平方和是把樣本裡的數字減掉該組平均，然後平方再加總：檢視 SSW 的前 4 項：

13.1 平方和的計算 例13.1-1 解這幾項的和如果再除以 3，就是第一組樣本的變異數了；組內平方和的大小，其實提供了組內變異大小的資訊。組間平方和的計算方式是把每組平均減去總平均之後平方，乘以該組樣本大小之後再加總：首先，需要算出總平均 (grand mean)：

13.1 平方和的計算 例13.1-1 解因為每一組的樣本大小相同 ( 都是 4)，在這種情況下，總平均有一個更方便的計算法，就是全部樣本平均的平均：請注意分母的 4 是組數，不是樣本大小

13.1 平方和的計算 例13.1-1 解有了總平均，組間平方和的計算方式如下：

13.1 平方和的計算 三個平方和之間其實有一個關係式，就是 SST = SSW + SSB(13.1-1)

13.1 平方和的計算 例13.1-2

13.1 平方和的計算 例13.1-2 解先計算四個樣本平均得到：因此可得

13.1 平方和的計算 例13.1-2 解總平方和而組內平方和 SSW = SST - SSB = 154 - 102 = 52

13.2 ANOVA表及F檢定 假設我們要比較 k 個母體的平均數是否相等，這 k 個母體都至少接近常態分布而且變異數都相等。要檢定的原始假設和對立假設可以表示如下：

13.2 ANOVA表及F檢定

13.2 ANOVA表及F檢定 三種平方和，寫成公式如下：

13.2 ANOVA表及F檢定 每一項平方和都對應一個叫做自由度(degrees of freedom, 簡寫 d.f.)的數字，組間平方和的自由度是 k - 1，組內平方和的自由度是 N - k，而總平方和的自由度則是 N - 1。平方和除以對應的自由度之後就得到均方和，定義如下：

13.2 ANOVA表及F檢定 有了以上兩項均方和，就很容易定義 F 檢定統計量了，通常我們會把以上相關資訊整理在一個表裡面，叫做 ANOVA 表：檢定規則是：F 太大時，否定 H0

13.2 ANOVA表及F檢定

13.2 ANOVA表及F檢定 例13.2-1 假設某減肥中心設計了 4 種減肥餐並同時搭配運動，幫助參加的會員減肥。為了比較 4 種減肥餐的效果是否有差異，從會員中選出身高及體重接近的 16 人，再隨機分到四組，每組 4 人。一段時間之後，測量每人所減體重，得到以下結果 ( 單位：公斤 )：

13.2 ANOVA表及F檢定 例13.2-1 解這題的樣本數據和例 13.1-1 的一模一樣，根據例 13.1-1 的計算結果，各平方和如下：而 k - 1 = 4 - 1 = 3、N - k = 16 - 4 = 12，可得ANOVA 表如下：

13.2 ANOVA表及F檢定 例13.2-1 解

13.2 ANOVA表及F檢定 例13.2-2 成年人許多有高血壓的問題，醫師建議的降血壓方法通常包括藥物、飲食和運動等。某位醫師想要了解只用藥物治療、只用運動治療，以及藥物搭配運動這三種方式的降血壓效果是否差不多，於是將參加實驗的高血壓病人隨機分成三組，A 組只用藥物治療、B 組只用運動治療、C 組則是用藥物搭配運動治療，一段時間之後，記錄每個人血壓降低多少，數據如下：

13.2 ANOVA表及F檢定 例13.2-2 解首先，計算出三組各自的平均以及總平均：

13.2 ANOVA表及F檢定 例13.2-2 解然後計算平方和：組間平方和組內平方和

13.2 ANOVA表及F檢定 例13.2-2 解總平方和驗證一下： 276 + 74 = 350 符合 SST = SSW + SSB 的關係式

13.2 ANOVA表及F檢定 例13.2-2 解因為 k = 3、N = 12，可得 ANOVA 表：

13.2 ANOVA表及F檢定 例13.2-2 解所以結論是 ( 可以很大聲說 )： 3 種降血壓方法的效果不一樣！

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