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函数的单调性

函数的单调性. 南充市第一中学. 何云超 2009.10.27. y. y. x. y. o. y. x. o. x. o. x. o. y=2x. y 随 x 的增大而减小. y 随 x 的增大而减小. y 随 x 的增大而增大. y 随 x 的增大而减小. ×. 在 R 上 y 随 x 的增大而增大. 在定义域上 y 随 x 的增大而减小 ?. 增函数概念. 一般地，设函数 的定义域为 C ： 如果对于属于定义域 C 内 某个区间 D 上的 任意 两个自变量的值 ， 。当 时，都有

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函数的单调性

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  1. 函数的单调性 南充市第一中学 何云超2009.10.27

  2. y y x y o y x o x o x o y=2x y随x的增大而减小 y随x的增大而减小 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 × 在R上y随x的增大而增大 在定义域上y随x的增大而减小?

  3. 增函数概念

  4. 一般地，设函数 的定义域为C： 如果对于属于定义域C内某个区间D上的任意两个自变量的值 ， 。当 时，都有 那么就说 在这个区间上是增函数。 o a b D=[a,b]

  5. 减函数概念

  6. 一般地，设函数 的定义域为C： 如果对于属于定义域C内某个区间上的任意两个自变量的值 ， 。当 时，都有 那么就说 在这个区间上是减函数。 o a b D=[a,b]

  7. 如果函数 在某个区间上是增 函数或减函数，那么就说函数 在这一区间具有（严格的）单调性， 这一区间叫做 的单调区间。 单调区间上函数图象的特点： 在单调区间上增函数的图象是上升的，可以直观表示为 在单调区间上减函数的图象是下降的，可以直观表示为

  8. 注： 2.函数的单调性是对某个区间而言的,它是 定义域内的局部概念.一个函数在定义域的 不同区间可以有不同的单调性.并不是所有 函数都具有单调性 3.若一个函数有两个及两个以上的单调区间 时不能用 连结。 1.函数的单调性也叫函数的增减性

  9. 5. 单调性是函数在某一区间上的整体性质.对于函数单调性定义中的 要深刻理解 ，具有以下性质： 同一性：即 必须属于同一区间； 任意性：即“任意 ” ，求解和证明中 “任意” 二字不能丢掉，证明题中更不能取两个特殊值来验证。 常见书写格式：设任意 ， 则…… 大小性：通常取 。 4.函数在某一点处的单调性无意义，书写函数的单调区间时，区间端点没有严格规定，区间端点有意义时习惯上写成闭区间，区间端点无意义时只能写成开区间。

  10. 对于定义域C内某个区间I上的任意两个自变量 ， 1. 则 在I上是单增函数 则 在I上是单增函数 则 在I上是单增函数 类似地，可以探究单减函数的情况 2. 3. 发散探究 单增同向积商正 单减异向积商负

  11. 5.已知区间［c,d] [a,b],若 在区间[a,b]上单增，则 在区间［c,d]上仍然单增；反之不一定成立。 已知区间［c,d] [a,b],若 在区间[a,b]上单减，则 在区间［c,d]上仍然单减；反之不一定成立。 若 在区间［a,b],(a＜b)上单增，任意 4. × 若 类似地，可以研究单减的情况

  12. 3 2 1 -2 -5 -4 -3 -1 1 2 3 4 5 O -1 -2 例1下图是定义在闭区间[-5,5]上的函 数 的图象,根据图象说出 的单调区间,以及在每一区间上, 是增函数还是减函数.

  13. 解:函数 的单调区间有 [-5,-2], [-2,1], [1,3], [3,5], 3 2 1 -2 -5 -4 -3 -1 1 2 3 4 5 O -1 -2 在区间[-5,-2], [1,3]上是减函数 在区间[-2,1], [3,5]上是增函数. 单调增区间是： [-2,1], [3,5] 或写成 [-2,1]和[3,5] 单调减区间是： [-5,-2], [1,3] 或写成[-5,-2]和[1,3]

  14. 证明：设任意实数x1，x2 R且x1<x2 ,则 f(x1)－f(x2)=(3x1+2)－(3x2+2) =3(x1－x2). 由x1<x2 ,得x1－x2<0,于是f(x1)－f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 所以, f(x)=3x+2在R上是增函数. 取值 作差变形 判断符号 得出结论 一般地：形如 的函数， 时在R上单增 ； 时在R上单减. 例2证明函数 在R上是增函数.

  15. 1.设任意 给定的区间,且 ; 2.计算 至最简 ;(一般化成积或商的形式） 判定函数在某个区间上的单调性的 方法步骤: 变形的常用方法有： 通分、分解因式、 分子分母有理化等等 3.判断上述差的符号 ; 4.下结论： 若差<0,则为增函数;若差>0,则为减函数.

  16. 证明：设任意 且 ， 则： 证明：设任意 满足 则： 由 ，得 又由 ， 得 于是 ，即 所以， 在（0，+∞)上是减函数. 例3证明函数 在(0,+∞)上 是减函数.

  17. 课堂练习 y o -4 -3 -2 -1 x -5 3 1 5 y 1 3 5 -2 -1 o -4 -3 x -5 y o -4 -3 -2 -1 x -5 3 1 5 1.写出下列图象中表示的函数的单调增、减区间 正确答案： 增区间：[-2，1]，[3，5] 减区间：[-5，-2]，[1，3] 增区间：[-2，1]，[3，5] 减区间：[-5，-2]，[1，3] 增区间：[-2，0]，（0，1]， [3，5) 减区间：[-5，-2]，[1，3]

  18. 证明：设任意 且 ， 则： 由 ，得 又由 ， 得 于是 ，即 所以， 在 上是减函数. 2. 证明函数 在(-∞,0)上 是减函数. （- ∞ ，0） （- ∞ ，0 ）

  19. 课堂小结，知识再现 小 结 1、函数单调性是对定义域的某个区间而言的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变化的性质. 2、判断函数单调性的方法： （1）利用图象： 在单调区间上，增函数图象从左向右是上升的， 减函数图象从左向右是下降的. （2）利用定义： 用定义证明函数单调性的一般步骤： 任意取值→作差变形→判断符号→ 得出结论.

  20. 谢谢大家！ 课外作业：教科书P.66 习题2.3 补充：证明 上是增函数 课后思考题： 函数 在定义域内是单调函数，求k的取值范围。

  21. 单调减区间： 或： 不能写成：

  22. 单调减区间：（－3，－1］和 ［0，1］ 单调增区间：（－1，0］和 ［1，3）

  23. y x o 结合图象说出函数 的单调区间,以及在各个区间上是 增函数还是减函数;你能给出相应 的证明吗?

  24. 求差可以判断两数大小关系，还有其他的方法吗？求差可以判断两数大小关系，还有其他的方法吗？

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