大学物理实验绪论

1. 物理实验中心 大学物理实验绪论

2. 测量误差 • 不确定度 • 数据处理

3. 一、测量误差的基本概念

4. 1.真值 在一定条件下，任何一个物理量的大小都是客观存在的，都有一个 移的客观量值，称为真值。以 表示。 不依人的意志为转 A 严格的完善测量难以做到，故真值就不能确定。 约定真值： 理论真值： 理论设计值，公理值，理论公式计算值。 计量约定值： 国际计量大会规定的各种基本单位值，基本常数值。 标准器件值： 高级标准器件值作为较低级仪表的相对标准值。 算数平均值： 测量次数趋于无穷时，测量值的算术平均值趋于真值。

5. 2.测量误差 指测量值与待测量的真值之差。 若某物理量的测量结果为 ，其真值为 ， A x 则测量误差 定义为： 根据误差的性质，测量误差可分为系统误差和随机误差。

6. 系统误差 (1)系统误差 （简称系差） 是重复测量中保持恒定或以可预知 方式变化的测量误差分量。 系差特点： 确定性、有规律性、可修正性。 系差来源： 仪器不完善或使用不当； 环境的恒定因素； 理论或方法误差； 实验者生理或心理的固有特点等。

7. 已定、未定系差 系差分类： （按其可掌握程度分） 指误差取值的变化规律及其符号和绝对值 都能确切掌握的误差分量。 修正公式为： 已修正结果 已定系差 测量值（或平均值） = - 未定系差 指不能确切掌握误差取值的变化规律及其 符号和绝对值的系差分量。 仪表的基本允许误差主要属于未定系差。 已定系差

8. 随机误差 (2)随机误差 是重复测量中以不可预知的方式变化的测量误差分量。 随机误差特点： 随机性、服从统计规律。 大多数随机误差服从正态分布规律。 下面介绍其中的两个基本概念： 正态分布随机误差的特征 实验值及平均值的标准偏差概念

9. 正态分布 正态分布随机误差的特征 f f f ( ( ( ( ( ( x x x n n 2 ( ( x m S S 2 2 s i i 1 1 lim lim n n ∞ ∞ 称为正态分布的标准差 2 ( ( x m i s = 表征测量的分散性 n 若对某物理量作无数次重复测量， 测量值 出现的概率密度为 x 拐点 ， 拐点 服从正态分布时 68.3% 1 e = s 2 p s x m s m m + - x i 其中 称为总体平均值 m = n

10. 图示 f f f ( ( ( ( ( ( x x x 68.3% 95.4% s s s s 2 2 3 3 m m m m m m + + x s m s - - m m + - 99.7% s m s m + - 测量的 测量的 分散性较小 分散性较大 s x x m s m m + m - 正态概率分布

11. 随机差基本特征 正态分布随机误差有 归纳 四个基本特征 f ( ( 单峰性 x 绝对值小的误差 拐点 拐点 比绝对值大的误差出现的率大； 68.3% 对称性 绝对值相等的正误差 和负误差出现的几率相等； s x m s m m + - 有界性 绝对值很大的误差出现的概率近于零； 抵偿性 随机误差的算术平均值随着测量次数 的增加而减小，最后趋近于零。

12. 标准偏差 实验值及平均值的标准偏差概念 实际上测量次数 总是有限的，在大学物理实验中， n 通常取 ，一般采用下述定义式进行评估 5 ≤ 10 n ≤ n 1 S 测量值的算数平均值 x x = i 1 i n n 2 s s S x x ( x ) 单次实验值的标准偏差 s i i = x x x i 1 = 1 n （表征随机误差引起测得值 的分散性） n 2 S x ( x ) i i 1 平均值的实验标准偏差 = = = ) 1 ( n n n （表征同一被测量的各个测量列平均值的分散性）

13. 二、不确定度概念 二、测量不确定度的基本概念

14. 必要性 误差 理论上是对真值而言 一般不可能准确知道 真值 因此，误差无法按其定义式精确求出， 不应将任何一个确定的已知值称作误差。 现实可行的办法就只能根据测量数据和 测量条件进行推算（包括统计推算和其它推算）， 去求得 误差的估计值。 误差的估计值或数值指标应采用另一个专门名称， 这个名称就是 不确定度

15. 定义 不确定度通常用 表示。 U 用来表征被测量的真值所处的量值散布范围内的评定。 即表示由于测量误差的存在而对被测量值不能确定的程度。 不确定度 所反映的是可能存在的误差分布范围， U 即随机误差分量和未定系差分量的联合分布范围。 某个被测量 的直接测量结果表达式： x + x U x = ) ( U U + x x — — ， 内的概率约等于或大于0.95。 表示真值在区间

16. 两类分量 U U A A U U j j B B 2 2 j ( ( 1, 2, + U S ... = ( ( = j 不确定度有 A、B 两类分量： A 类分量 （重复测量时）用统计学方法计算的分量 B 类分量 是用其它方法（非统计方法）评定的分量。 两类分量用方和根法合成：

17. A类分量计算 A (1) 类分量 的计算 U U A A 乘以因子 来求得，即 t t S = n n 其中 t可用测量次数 n , 和置信概率 P 为参数， 从实验手册中查得，例如 1. 直接测量结果不确定度的评定 重复测量次数为 n 时，UA由实验标准差 S

18. 续 不同置信概率 P 下，t 与 测量次数 n 的关系 P P P P P = 0.99 = 0.95 = 0.90 = 0.68 = 0.95 9 6 5 4 8 15 7 20 3 10 n U U 1.11 1.14 1.09 1.04 1.32 1.08 1.03 1.20 1.07 1.06 1.00 A A 2.02 1.89 1.86 1.83 2.13 1.94 1.76 1.73 2.92 2.35 1.65 2.36 2.31 3.18 2.45 2.26 2.78 2.57 4.30 2.15 2.09 1.96 2.98 2.86 5.84 3.71 2.58 9.93 4.60 4.03 3.50 3.36 3.25 t 当 例如，取 时查得 6 t n = 2.57 = ， n t 2.57 S S S 1.05 = = = 6 n 近似取 通常实验 S S ≈ = ≤ n 10 ＜ 5

19. B类分量计算 (2) 类分量 的计算 B 实验中直接测量的B 类 分量 UB 近似取仪器误差限值, U 厂家给出的仪器误差限值或最大允许误差 △I ，实际上就是 B 一种未定系差。取 是认为 UB 主要由仪器的 △ U ≈ I B 误差性质决定的。 r 常用仪器的 I r 仪 器 I 最小刻度的一半 米尺 螺旋测微器 最小刻度的一半 精度（尺上标明） 游标卡尺 显示的最小单位 数字显示仪器 量程 电表 级别 % X s m

20. 结果表达 不确定度 用下式计算 U U = △ I (3) 物理量 直接测量结果的表达 X t + （单位） X U x = n — 2 ( 2 2 ( S + U = x U U 如果是多次直接测量，则式中 为平均值 r r x x 称为相对扩展不确定度 称为扩展不确定度 U ，

21. 间接测量不确定度 2. 间接测量结果的不确定度合成 设间接被测量为Y，有 k 个直接被测量，分别为 X1，X2，…，Xk，它们之间的函数关系为 f ) X Y ) X X = ... 1 2 k , , e d d 其全微分式 Y = X X ) ) ) f f f ) ) ) X X X j j j j j e 对于有限小量 △ Y e e e X X X △ = j j j k k S S 2 k 其标准差的合成式 e S S = S Y j j 1 1 = = j X j 1 =

22. 传递公式 由 可求不确定度 2 k 是各直接测量量 e S = (1) 测量不确定度的传递公式 的扩展不确定度 j 1 = ) ) ) f f f ) ) ) X X X j j j U U 若 X j j 用相对不确定度来合成 中各量间是积商关系 X X e e e X X X j j j j U U 更方便 Y Y k 2 ln f 2 k e 2 e S = S U S = S Y Y j X j X j 1 j 1 = =

23. 计算步骤 (2) 间接测量结果不确定度的评估 ① 间接测量结果不确定度的计算步骤 先求出各直接测量量的平均值、不确定度的 A、B两类分量，再求出各直接测量量的不确定度 ； 2 k e S = 根据 和 的函数关系式写出 的全微分表达式 Y Y ； j 1 = ) f ) X 不确定度的传递公式 用已述 的 或 j 求 Y Y 。 U U 。 X j j X X e X j j U U U Y Y Y 如果某一分量小于最大分量 时， 用 可将这一分量看作是可 （或合成结果）的 1/5 到 1/6， 忽略的微小分量而将其删除。

24. 结果表达 ② 间接测量结果的表达 间接测量结果的表示方法与直接测量类似， 写成以下形式： + （单位） y Y U = Y — U Y = y 为间接测量量的最佳估值，由各直接测量的 y U r 最佳估值（平均值）代入函数关系式求得。

25. 例一 已知 = ( 213.04 0.05 )g 求 密度 m ± r 例 分度 h 游标卡尺 0.02 mm 量具: 0 ~ 125 mm 解法 提要 d 单位 测量数据 mm 80.37 80.38 80.36 80.36 80.37 n 80.38 S i 1 千分尺 0 ~ 25 mm d 一级 h 量具: m 测量数据 单位 mm 19.464 19.465 19.467 19.465 19.466 19.466 求 h h U 及 （1） h 1 80.37 h = mm = i n

26. 续 6 n 2 2 h S 80.37 ) h ) S h ( ) s s i i = = h h 0.0089 i 1 i 1 = = mm = 6 1 1 n 2 2 2 0.022 2 + + 0.0089 mm = 0.02 = = △ n I S i 1 h ± ± ( 80.37 0.03 ) mm = = 求 d U 及 （2） d 1 d 19.466 d mm = = i n h U U h h 6 n 2 2 d ) 19.466 d S h ( ( ) S s i = i = d 0.0012 i 1 mm i 1 = = = 6 1 1 n

27. 续 U 2 2 2 2 0.0042 + + s 0.0012 mm = 0.004 = = d d d d ± ± ( 19.466 0.005 ) mm U = d = 求 （3） r ± r r r U △ = r I 4 m 3 3 3 - - - g g g cm cm cm 8.927 = = . . . h d 2 p 2 U 2 ( ( ( h + 2 U U 2 0.048 % U U U + × ( ( ( ( U = ( r r = = ( ( h d r r r r m r d m r 0.0043 = = 8.927 0.048 % × = r ± U ( 8.927 0.005 ) ± = = r

28. 例二 已知 D D D D D = ( 3.600 0.004 ) cm ± 1 1 1 1 1 例 D D D D D = ( 2.880 0.004 ) cm ± 2 2 1 1 2 D h = ( 2.575 0.004 ) cm ± 1 D 求 2 体积 V 解法 ( ( ( 提要 ( ( ( 2 2 2 2 2 2 h p p D D D V = - - - 2 2 2 h 4 4 9.436 3 = cm ( ( 2 h ln 2 ln ln ln ln ln ln D + + V V V V - = 2 2 2 1 e e e - = = = h e e h , , e

29. D D 1 1 即 应用公式 D D 2 1 2 2 ( U U U 2 2 ( ( ( ( ( 2 得 2 2 V V V U + 2 + k 2 U ( ( U ln f 2 e h 2 = 2 S 2 D D D 2 V 1 = - 2 j 1 = 2 6 6 6 64.9 64.9 ( ( _ _ _ + 38.1 2.4 10 10 10 + 24.4 = = 2 2 D - 2 ( ( U V 0.0081 0.81% r = = = = 3 3 3 V cm cm cm e e X X j j 0.08 U U 0.076 0.0081 9.436 V 0.0081 = = = = Y Y k 2 ln f e 2 1 S = V ( 9.44 0.08 ) ± U U = Y Y j j X X h j 1 =

30. 三、数据处理知识 三、数据处理的基本知识与方法

31. 说明 1.有效数字 测量结果的有效数字 有效数字的运算规则 ２.数据处理一般方法 列表法 作图法 逐差法 线性回归法

32. 1.有效数字 数据左起第一位非零数起,到第一位欠准数止的全部数字。 测量结果的有效数字 有效数字=准确数字+欠准数位

33. 有效数字来源 于测量时所用的 仪器。我们的任 务是使测量值尽 可能准确地反映 出它的真实值。 有两个特征： （1）以刻度为依据 可读到最小刻度所 在位。 （2）在最小刻度 之间可估计一位。

34. 35 36 (cm) [3]位置介于35.7-- 35.8之间,最接近真 实位置的值,既不是 35.7,也不是35.8, 而是35.7 -- 35.8 之间的某值,可以估 计为35.75. 35.76 35.77，不妨取35.76。 [1] [2] [1]位置为35.00, 不能写成 35cm。 [2]位置为35.40cm [3] 估计值只有一位，所以也叫欠准 数位。

35. [1]进舍: 四舍六入五凑偶。 有效数字的运算规则 [2]加减：与位数最高者对齐。 [3]乘除：一般可与位数最少者相同。 [4]幂运算：对数（指数）、三角函数(反 三角）不改变有效数字位数。

36. 加减法 约简 可见，约简不影响计算结果。在加法运 算中，各量可约简到其中位数最高者的下一 位，其结果的欠准数位与参与运算各量中位 数最高者对齐。

37. 乘除法 在乘除运算之前，各量可先约简到比其中位数最少者多一位。一般与位数最少者相同，特殊情况比最少者多（少）一位。 全部欠准时，商所在位即为 为欠准数位。比位数最少者 少一位的情况。 多一位的情况

38. 四位有效数字，经正弦运算后得几位？ 问题是在 位上有波动，比如为 ， 对正弦值影响到哪一位，哪一位就应是欠准 数所在位。 根据微分在近似计算中的应用，可知： 第四位为欠准数位。 初等函数运算

39. X含意X1 X2 Xn（单位） Y含意Y1 Y2 Yn （单位） ２.数据处理一般方法 列表法 简单明了，要求数据清晰不能涂改，单位规范，并加必要说明。

40. 作图法 注意:[1]根据数据的分布范围，合理 选择单位长度及坐标轴始末 端的数值，并以有效数字的 形式标出。 [2]将实验点的位置在图上，用铅 笔连成光滑曲线或一条直线， 并标出曲线的名称。

41. [3]求直线的斜率时,应在直 线上选相距较远的两新点A.B 标明位置及坐标 A(X1 Y1),B(X2 Y2) 由此求 得斜率。

42. 对于X ：X1 Xn X2n Y ：Y1 Yn Y2n 逐差法 当 X 等间隔变化，且 X 的误 差可以不计的条件下， 将其分成两组，进行逐差可求得： Y = a + bX

44. 若 线性回归法 是从统计的角度处理数据，并 能得到测量结果不确定度的一种 方法。 满足线性关系Y=a+bX

45. 在所有误差平方和 为最小的条件下，得到的方程 Y=a+bX的方法叫线性回归法。 由于每次测量均有误差，使

46. 应由 得出。 令 使之满足 的条件，

47. 称 为线性相关系数 ，作为Y与X线性相关程度的评价。

48. 谢谢大家！ 再见！