运筹学

运筹学 运输问题

§1 运输模型 例1、某公司从两个产地A1、A2将物品运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如下表所示，问：应如何调运可使总运输费用最小？解：产销平衡问题：总产量 = 总销量设 xij为从产地Ai运往销地Bj的运输量，得到下列运输量表： Min f = 6x11+ 4x12+ 6x13+ 6x21+ 5x22+ 5x23 s.t. x11+ x12 + x13 = 200 x21 + x22+ x23 = 300 x11 + x21 = 150 x12 + x22 = 150 x13 + x23 = 200 xij ≥ 0 ( i = 1、2；j = 1、2、3）

物资运输问题 某种物资有m个产地Ai，i=1,2,….,m，产量分别为ai个单位；有n个销地Bj，销量分别为bj个单位，j=1,2,…..n，Ai与Bj之间的单位运价为Cij，问应如何安排运输方案，才能使总运费最少？设从产地Ai，运往销地Bj的销量为Xij，则目标为总运费最小

物资运输问题 产地约束条件销地约束条件非负约束

物资运输问题

物资运输问题 产销平衡的运输问题

物资运输问题 求一个初始基本可行解是判断基本可行解是否最优结束不是求使目标得到改善的基本可行解

约束方程系数矩阵结构

基变量个数m+n-1 A 的增广矩阵的秩小于m+n

基变量个数m+n-1 A 的增广矩阵的秩等于m+n-1

基变量的构成 闭回路其中，i1i2,….,is互不相同，j1j2,….,js互不相同）上述形式的变量的集合称为一个闭回路其中的变量称为闭回路的顶点闭回路的特点：封闭、每行每列至多两个顶点

基变量的构成 闭回路

基变量的构成 对于闭回路其对应的列向量线性相关

基变量的构成 若变量组中有一部分构成闭回路，则变量组线性相关。不包含任何闭回路的变量组中必有孤立点。孤立点是其所在行和所在列中包含在该变量组中的唯一向量。定理：r个变量对应的系数列向量线性无关的充要条件是变量组不包含闭回路。推论：m+n-1个变量构成基变量的充要条件是不含闭回路。

运输问题求解 初始基本可行解的确定 ①在供需表中任选一个单元xij，尽量匹配产销，使一个约束方程得以满足，填入相应位置； ②调整Ai的拥有量及Bj的需求量，分别减去xij，得到调整后的拥有量ai和需求量bj； ③若ai=0，则划去对应的行（拥有的量全部运走），若bj=0则划去对应的列（需求的量全部运来），且每次只划去一行或一列（每次只去掉一个约束）； ④若平衡表中所有的行或列均被划去，则结束。否则，在剩下的平衡表中选下一个变量，转②

运输问题求解 b’ j= b j- x ij a’ i= a i- x ij

基变量的构成 按照上述方法所产生的一组变量的取值将满足下面条件： a．所得的变量均为非负，且变量总数恰好为m+n-1个； b．所有的约束条件均得到满足； c．所得的变量不构成闭回路。因此所得的解一定是运输问题的基本可行解。在上面的方法中， xij的选取方法并没有加以限定，如果采取一定的规则来选取，则会产生不同的方法，若每次在调整后的供需表中选取最左上角的元素，则称为左上角方法（或称西北角法），若每次在调整后的供需表中选取对应单位运费最小的元素，则称为最小费用法。

西北角法 运输问题某地区有两个煤矿A1 A2 ，所产的煤要运往三个城市B1 B2 B3，各产地的产量、销地的销量以及各产地到各销地的单位运费见下表，求使总运费最小的运输方案

西北角法

最小费用法

最优性检验 21=C21- C11+ C12- C22=80-90+70-65=-5 13=C13- C23+ C22- C12=95-75+65-70=15

（2）用闭回路法或位势法求空格的检验数 1) 用闭回路法求检验数：首先，每一个空格有且仅有一个闭回路，而圈格无闭回路。闭回路是以空格为起点，沿同一行或同一列前进，遇上圈格可转90度继续前进，按此方法进行下去，直到回到始点的一个封闭折线。以始点为第0个点，依次给闭回路上的每一个顶点编号。其中奇序数对应的为奇顶点，偶数对应的为偶顶点。其次，每一个空格的检验数=奇顶点运费之和 – 偶顶点运费之和。

最优性检验：闭回路法 闭回路方法原理是通过寻找闭回路来找到非基变量的检验数。可以证明，如果对闭回路的方向不加区别，那么以每一个非基变量为起始顶点，以基变量为其它顶点的闭回路就存在而且唯一。如果规定作为起始顶点的非基变量为偶数次顶点，闭回路的其他顶点依次为第一个顶点、第二个顶点……，那么就有检验数=偶数点单位运费之和－奇数点单位运费之和若所有非基变量检验数≥0，则最优。

最优性检验：位势法 位势法其原理是利用约束条件的特殊性来找到非基变量的检验数。从约束条件中解出基变量（用非基变量表示基变量），代入目标后消去目标中的基变量，得到的非基变量的系数就是检验数。这一过程若用消元的方法加以实现，则回产生位势法。若所有非基变量检验数≥0，则最优。

2)用位势法求出空格的检验数并进行最优解的判别2)用位势法求出空格的检验数并进行最优解的判别设u1,u2,…um; v1,v2,…,vn是对应运输问题m+n个约束条件的对偶变量，B为含有人工变量的初始可行基，由LP问题的对偶理论知：CBB-1=(u1,u2,…um; v1,v2,…,vn) 而每个决策变量Xij相应的系数向量Pij=ei+em+j，所以CBB-1Pij=ui+vj,于是，检验数σij=CBB-1Pij－Cij =(ui+vj)－Cij 又各基变量的检验数为0，故对每个基变量所在的圈格的检验数有即有方程组：共m+n个未知数 s=m+n－1个方程

20 20 40 0 0 30 60 -8 -7 -7 4 0 1 2 -3 显然上述方程有解，且由于含有一个自由变量，因此，令任一未知数为0，就可求出上述方程组的解(ui1,ui2,…uim,vj1,vj2,…vjn)──称为位势解。如用位势法求引例初始基可行解的检验数：

最优性检验：位势法 位势法

最优性检验：位势法

调整流量 X21进基， = min{x 11, x22}=min{100,50}=50 X22出基

调整流量 调运量的调整步骤： ①闭回路上的奇数次顶点的调运量减去θ； ②闭回路上的偶数次顶点（包括起始变量）的调运量加上θ； ③非闭回路顶点的其他变量调运量不变； ④奇数点上被修改为0的变量为出基变量，在新的方案中不再标出其值。但若有两个为零的变量，则只取其一作为出基变量。

调整流量 22=C22- C21+ C11- C12=65-80+90-70=5 13=C13- C23+ C21- C11=95-75+80-90=10

最优性检验：位势法

运输问题的求解-模型的特殊性质 基变量个数m+n-1 将A 的前m行加到第一行，后n行加到最后一行，则两行完全相同，所以A 的增广矩阵的秩小于m+n

取A 的第2至m+n行， 对应的列组成一个m+n-1阶子式：运输问题的求解-模型的特殊性质该子式的行列式不等于0，所以A 的增广矩阵的秩等于m+n-1

运输问题的求解-模型的特殊性质 3、基变量的构成闭回路其中，i1i2,….,is互不相同，j1j2,….,js互不相同）上述形式的变量的集合称为一个闭回路其中的变量称为闭回路的顶点闭回路的特点：封闭、每行每列至多两个顶点

运输问题的求解-模型的特殊性质 闭回路：

西北角法 运输问题的求解-表上作业法例某地区有两个煤矿A1 A2 ，所产的煤要运往三个城市B1 B2 B3，各产地的产量、销地的销量以及各产地到各销地的单位运费见下表，求使总运费最小的运输方案

西北角法 运输问题的求解-表上作业法

最小费用法 运输问题的求解-表上作业法

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