Моделирование полупроводникового диода

1. П.В. Корякин Моделирование полупроводникового диода Научный руководитель: к.ф.-м.н. Е.А. Альшина 21.10.2009

2. План доклада • Введение • Диффузионно-дрейфовая модель • Бикомпактные схемы и слоистые среды • Диагностика особенностей при численном решении диф. уравнений • Расчёты статических и динамических характеристик полупроводникового диода • Основные результаты

3. E Полупроводники электроны дырки p n log концентрации x

4. 8 мкм легирование дырками легирование электронами Рассматриваемый прибор • Кремневая пластина • S=1e-3 кв. см. • d=8 мкм

5. Рассматриваемый прибор

6. Свет Процесс легирования HF Фоторезист SiO2 Si

7. Диффузионно-дрейфовая модель

8. - концентрация дырок - концентрация электронов - плотность дырочного тока - плотность электронного тока - напряженность поля Модель

9. Модель Граничные условия

10. Бикомпактные разностные схемы и слоистые среды

11. Основная идея n-1 n n+1 h Среда 1 Среда 2 В точке, где свойства среды меняются скачкообразно, приходится делать аппроксимацию через разрыв коэффициентов, что приводит к локальному понижению точности аппроксимации и как следствие к понижению точности всего расчета Идея бикомпактных схем заключается в том, чтобы использовать лишь двухточечный шаблон.

12. Пример построения бикомпактных схем

13. Пример построения бикомпактной схемы Задача построения схемы заданного порядка точности по пространству сводится ко взятию интегралов в правых частях с нужной точностью

14. Схема 2-го порядка точности по пространству Полученную систему можно непосредственно интегрировать по времени, однако придется решать систему уравнений довольно непривычного вида; кроме того, потребуется задавать начальный профиль не только для температуры, но и для потока. Чтобы избавиться от необходимости задавать начальный профиль потока и одновременно привести систему к привычному виду, проведём ряд преобразований, в результате чего получив следующую систему уравнений:

15. Схема 2-го порядка точности по пространству Спектр схемы Хотя полученная схема очень похожа на классическую схему для теплопроводности, её незначительные отличия приводят к очень интересному результату: спектр пространственного оператора бикомпактной схемы существенно лучше спектра классической схемы! Подробное исследование устойчивости всех схем будет проведено ниже.

16. Схема 4-го порядка точности по пространству

17. Исследование устойчивости

18. Множители роста

19. Иллюстрация спектра

20. Примеры расчётов • Вид сетки • Равномерная • Пилообразная, с соотношением шагов ½ • Среда • Сплошная • Слоистая • Начальный профиль • Гладкий • Ступенька

21. Примеры расчетов • Схема второго порядка точности по пространству • Слоистая среда • Разрывный начальный профиль • Пилообразная сетка

22. Схема четвёртого порядка точности по пространству Примеры расчетов

23. Диагностика особенностей точных решений при численном решении ОДУ

24. Поведение решения в зависимости от значения Пример проблемы

25. Явные схемы Схема Рунге-Кутта порядка точности O(t) (ERK1)

27. Одностадийная схема Розенброка CROS

28. 1100 1000 900 128 256 800 512 700 1024 600 u(t) 500 400 300 200 100 0 -100 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 t Схема CROS для задач с сингулярностью

30. Определение типа особенности Для степенной особенности можно показать, что peff = –  Для логарифмической особенности peff = 0

31. Разрывы производных

32. Эффективный порядок точности в контрольных точках

33. Эффективный порядок точности вконтрольных точках после первого уточнения

34. Бикомпактная схема для диффузионно-дрейфовой модели

35. Описание схемы

36. 10 10 10 10 5 5 5 5 Структура матриц …

37. Результаты расчетов

38. Результаты расчетов

39. Результаты расчетов

40. Результаты расчетов

41. Публикации • Калиткин Н.Н., Корякин П.В.Одномерные и двумерные бикомпактные схемы в слоистых средах // Математическое моделирование, 2009 г., т. 21, № 8, стр. 44-62. • Калиткин Н.Н., Корякин П.В.Бикомпактные схемы и слоистые среды. // ДАН, 2007 • Е.А. Альшина, Н.Н. Калиткин, П.В. КорякинДиагностика особенностей точного решения методом сгущения сеток.// ДАН, 2005 г., т. 404, №3, с.1-5. • Е.А. Альшина, Н.Н. Калиткин, П.В. КорякинДиагностика особенностей точного решения при расчетах с контролем точности.// ЖВМиМФ, 2005 г., т. 45, №10 с. 1837-1847. • Альшина Е.А., Корякин П.В.Численный метод для режимов с обострениями. // Тезисы докладов II всероссийской конференции памяти А.Ф. Сидорова «Актуальные проблемы прикладной математики и механики», Абрау-Дюрсо, 2004, с. 10-11. • P.V. Koryakin Thesingularity diagnostics in numerical solving systems of ODE, International congress for mathematicians, Madrid, 2006. • Е.А. Альшина, Н.Н. Калиткин, П.В. КорякинДиагностика особенностей решения при расчетах схемой CROS. Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных по фундаментальным наукам «Ломоносов-2005», секция физика, сборник тезисов, часть 1, стр. 107-109.

42. Основные результаты • Построен и исследован новый тип разностных схем применительно к уравнению теплопроводности. Построены схемы разных порядков точности. Исследована устойчивость схем. Теоретические проработаны подходы построения бикомпактных схем для двумерных задач. • Разработана уникальная методика диагностики особенностей точных решений при численном интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений. Проведены расчеты, подтверждающие возможность расширения методики для диагностики особенностей при решений систем ОДУ и уравнений в частных производных. • Построенные численные методы применены к расчетам диффузионно-дрейфовой модели полупроводникового диода.