偶然を制御する

1. 偶然を制御する 関西学院大学オープンセミナー ２０１０年６月１２日

2. 自然・社会現象の２つのタイプ • 決定論的現象 　 天体の運動のように未来が現在により決まっている現象 • 偶然的現象 　 偶然的な要素が加わり、未来の予測が不可能な現象 　　　気象、地震、災害、事故、宝くじ 　　　株価、寿命、… … … … … … … … .

3. 決定論的現象 • 天体の運動 • 多くの古代文明で天体の運動の規則性が 　 知られており、それにより暦が作られた。 • 1687年：ニュートンは 　　　　　　「プリンキピア」 　 により力学の法則を提唱した。 微分・積分の発見、微分方程式 • 多くの自然現象は決定論的であり、物理・ 化学の理論として現在の自然科学の基礎に なっている。

4. 歴史に現れた偶然的現象 • 　賭け • 　保険・年金 • 　観測誤差

5. 背景にある法則 • 　平均値が重要な裏付け 　　　大数の法則 • 　揺らぎに潜む法則 　　　中心極限定理

6. 偶然的現象１：賭け 1654年： パスカルとフェルマーの賭けに関する往復書簡 A,Bがそれぞれ100円の元手を基に硬貨投げをし、表が出ればAが1点、裏が出ればBが１点獲得するゲームを繰り返し、最初に10点を取った方が賭け金の200円を受け取るとする。Aが5点、Bが3点を取った段階でゲームを中止した場合、賭け金200円のうちAはいくらもらえるか。 Aが勝つ確率 = 0.73 ⇒ ￥200ⅹ0.73=￥146

7. パスカルの三角形

8. 偶然的現象２：保険・年金 • 損害保険： • ギリシャ時代に海上保険が始まる。 • １４世紀にはイタリアを中心にした地中海交易 • 1666年のロンドンの大火より火災保険 • 生命保険・年金： • １７世紀にイギリスの牧師が葬式代を生前にお金を出して工面しあった。若い牧師に不満 • ハレーが生命表を作成し、年齢による死亡率をだし、保険料を合理的に計算する方法を発案　⇒　生命保険の始まり１８世紀

9. 生命保険標準生命表

10. 理論的背景（大数の法則） • 生命保険において年齢別の死亡率が保険料決定に有効な背景 人口が大きなグループでは年齢により年間に死亡する人数はほぼ一定であるという経験則 　　　＝　大数の法則 ヤコブ・ベルヌーイ(1654-1705) 1714年出版の「推測の技法」の中でこの大数の法則を証明

11. ３０-３４歳死亡率（１０万人当たり）

12. モンテカルロ法

16. 偶然的現象３：観測誤差 • 天体観測などで惑星の軌道を計算する場合の測定には誤差が付きまとうので何が正確な値かを知る必要がある。 • ボーデの法則 • 1801年に小惑星のセレス(n=4)が発見されるが、太陽に隠されて見失う。正確な軌道を知る必要が生じた。ガウスの登場

17. 自宅の金平糖

18. 揺らぎの例：金平糖

19. 金平糖の芯

20. 理論的背景（中心極限定理） • ド・モアブル(1667-1754) 1733年「偶然の教義」（第３版） 　大数の法則での誤差について厳密な考察 • 　ラプラス(1749-1827) 　正規分布の発見、ド・モアブルの結果を完全にする • 　ガウス(1777-1855) 　観測誤差の理論、最小２乗法の提案 　正規分布の別の視点からの導出＝ガウス分布

21. ガウス分布曲線

22. 近代確率論 • 1922年： ブラウン運動の構成 ウィーナーはすべての点で微分不可能なブラウン運動を数学的に構成した。 • 1933年:公理論的確率論の成立 1902年のルベーグによる新しい積分論を基礎にコルモゴロフにより近代的な確率論が確立され、これにより確率論は数学の１部門になる。 • 1942年：　確率微分方程式の理論成立 　伊藤清博士により偶然現象におけるニュートンの理論が構築された。ブラウン運動に基礎

23. 現在の状況 • 2006年　伊藤清博士第１回ガウス賞授賞 • 2006年　４人のフィールズ賞受賞者のうち　　 　　　　　３人の研究が確率論に関係 • 2007年　バラダン教授第６回アーベル賞受賞　 1.大数の法則、2.中心極限定理 3.大偏差原理： 平均からの大きなずれ 　　　　　 保険の研究に起源