第四节多元复合函数的求导法则

第四节多元复合函数的求导法则 在本节中,我们把一元函数微分学中复合函数的求导法则推广到多元复合函数的情况.下面按照多元复合函数不同的复合情形,分三种情形讨论. 1.复合函数的中间变量均为一元函数的情形. 定理1.如果函数u=φ(t)及v=ψ(t)都在点t可导,函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z=f[φ(t), ψ(t)]在点t 可导,且有

证明: 在区间I内任取一点t,设t取得增量△t后,t+△t∈I,由上讲定理知,函数 z=f(u,v)在点(u,v)=(φ(t), ψ(t))处可微,故有其中除以△t,得到

又因点t是区间I内任意取定的一点,因而复合函数在I内可导,又因点t是区间I内任意取定的一点,因而复合函数在I内可导, 且(1)式成立. 公式(1)称为全导数公式, 称为全导数

这个公式可以推广到复合函数的中间变量多于两个的情形,这个公式可以推广到复合函数的中间变量多于两个的情形, 例如设 z=f(u,v,w),u=φ(t),v=ψ(t),w=ω(t),复合而得到复合函数 z=f[φ(t),ψ(t),ω(t)]则在与定理类似的条件下,这函数在区间I内可导,且其导数为例1设z=uv (u>0,u≠1),而u=u(t),v=v(t)均可导,求

对z=uv我们曾经用对数求导的方法 现在我们利用复合函数的求导,方法要简单. 例2 已知z=u2v2, u=asint,v=bcost, 求

例3 设z=uv+sint, u=et, v=cost, 求 全导数实际上是复合一元函数的导数,在这里是借助偏导数来求全导数. 2. 复合函数的中间变量均为多元函数的情形

与定理1类似,我们给出下列定理 定理2设 z=f(u,v),u=φ(x,y),v=ψ(x,y) 若z=f(u,v)具有连续偏导数,u=φ(x,y)及v=ψ(x,y)都有对x及对y的偏导数,则复合二元函数 z=f[u=φ(x,y),v=ψ(x,y) ] 的两个偏导数存在,且这种复合函数的导数和全导数的情形没有本质区别,在求时把y看作常量,由公式(1)

不同的是,这里由于复合函数 z= f[u=φ(x,y),v=ψ(x,y) ] 及 u=φ(x,y),v=ψ(x,y) 实际上都是x,y的二元函数,因此要把(1)中的导数记号换成偏导数记号. 类似地,设z=f(u,v,w)具有连续偏导数,而 u=φ(x,y),v=ψ(x,y), w=ω(x,y) 都具有偏导数,则复合函数z=f[φ(x,y),ψ(x,y),ω(x,y)] 有对x,y的偏导数,且

3.复合函数的中间变量即有一元函数,又有多元函数的情形3.复合函数的中间变量即有一元函数,又有多元函数的情形定理3. 如果函数u=φ(x,y)在点(x,y)具有对x及对y的偏导数,函数v=ψ(y)在点y可导,函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z=f[φ(x,y),ψ(y)]在点(x,y)的两个偏导数存在,且有

上述情形实际上是情形2的一种特例,即在情形2中,如变量上述情形实际上是情形2的一种特例,即在情形2中,如变量 v与x无关 ;在v对y求导时,由于v是y的一元函数,故了. 从而换成就得到此结果在情形3中,还会遇到这样的情形:复合函某些中间变量本身又是复合函数的自变量.例如,设z=f(u,x,y)具有连续偏导数,而u=φ(x,y)具有偏导数,则复合函数z=f[φ(x,y),x,y]可看作情形2中当v=x,w=y的特殊情形,因此

从而复合函数z=f[φ(x,y),x,y]具有对自变量x及y的偏导从而复合函数z=f[φ(x,y),x,y]具有对自变量x及y的偏导数,且由公式(5),(6)得到是把复合函数是不同的, 注意:这里与 z=f[φ(x,y),x,y] 中的y看作不变而对x的偏导数, 是把f(u,x,y)中的u,y 看作不变而对x的偏导数, 与也有类似的区别

x z---u y 结合上面的情形,我们可知道多元复合函数的求导法则可有下面几种情形

x u z x x y z u v w

x y u v x z 是复合函数与是不同的, 这里应该注意,(*)式中的对自变量x求偏导数;而是函数f(u,v,x)对其第三变元(相当于中间变量,即把u,v,x看成相互独立的变量,u,v在这里不是x的函数)x求偏导数,二者一般不相同.

x y u v x z 上面的计算公式不必刻意去记,但要彻底理解.注意到以下几点有助于理解并写出上述公式,并在解题中自如地应用. (1)用图示法表示出函数的复合关系. 如

(2)函数对某自变量的偏导数之结构 1).项数=中间变量个数 (u,v,x)3个→三项. 2).每一项=函数对中间变量的偏导数×该中间变量对其指定自变量的偏导数 (3)一般情况,函数z对中间变量u,v,w的偏导数仍然是以u,v,w为中间变量,x,y为自变量的复合函数,对它们求偏导数时须重复使用复合函数求导法. (4)对于抽象函数在求偏导数时,一定要设中间变量.例如

和例4 设z=arctgv, u=cos(xy),v=x+y, 求 u x z v y

例5 设z=f(u,x,y) 具有连续偏导数,而u=φ(x,y) 具有偏导数, 求复合函数z=f(φ(x,y) ,x,y] 对x及y的偏导数 .

是f[φ(x,y) ,x,y] 中的y看作常量,而对自变量x求偏导数; 是把f(u,x,y)中的u,y看作常量而对中二者也是不同的.间变量x求偏导数另外和也有类似的区别. 注意:这里求与例6 设分析:若直接引入中间变量设根据规则,得到

是不同的 注意:这里与是把f[φ(x,y) ,x,y] 中的y看作常量,而对自变量x求偏导数; 是把f(u,x,y)中的u,y看作常量而对中.间变量x求偏导数也有类似的区别. 另外和例6 设求

这样做使得函数关系复杂化,而先用乘法公式,再用复合函数求这样做使得函数关系复杂化,而先用乘法公式,再用复合函数求偏导数公式可使问题简单化. 解答先用乘法公式然后对[f(x2-y2,xy)]’x用复合函数求偏导数公式,设u=x2 -y2, v=xy

例7 设z=f(y,xy),其中f具有二阶连续偏导数,求

三. 多元复合函数的全微分 设z=f(u,v),u=φ(x,y), v=ψ(x,y),则z通过中间变量u,v是x,y的函数,若f,φ,ψ都可微,则由全微分公式,有

由(1),(2)知,不论u,v是自变量还是中间变量,(2)式总是成立,这由(1),(2)知,不论u,v是自变量还是中间变量,(2)式总是成立,这个性质叫全微分形式的不变性.多元函数具有一阶微分形式的不变性.它是一元函数相应性质的推广.利用这一性质可以证明公式或计算导数与微分,特别当函数结构复杂时,更方便. 例8 利用全微分形式的不变性,求函数w=f(xy,yz,zx)的全微分和偏导数.

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