算术方法与方程（组）法的比较

1. 算术方法与方程（组）法的比较 ——小学、初中衔接学法指导研究之一 西昌一中俊波外国语学校 范仕军

2. 问题的提出 • 解应用题，小学主要用算术方法 ，中学则主要以方程和方程组为工具。教学中经常遇到有同学习惯列算式而不习惯列方程，或者习惯了方程就不会用算术方法解题的现象，甚至有人有意无意地把算术方法和方程对立起来。它们真的是对立的吗？ • 站在系统的高度，研究算术方法与方程方法的特点，理清二者的关系，可以加深对它们的理解，更好的发挥其作用，从而提高解应用题的能力。

3. 算术方法与方程（组）法的比较 • 一元一次方程与综合算式的比较 • 二元一次方程组与算术方法的消元比较 • 代入法消元比较 • 加减法消元比较

4. 一、综合算式与一元一次方程 例1、队伍出发2小时后，发现一份文件遗忘在营地，通信员返回拿到后再追队伍，如果队伍每小时行进7千米，通信员每小时比队伍多行5千米，那么，通信员离开队伍后经过多长时间又追上队伍？ • 列方程：设通信员离开队伍后经过x小时追上队伍，则 ，解得 • 综合算式：

5. 一、综合算式与一元一次方程 方程： 算式： 1、综合算式把思考量集中在等号的一边，方程一般把思考量分担在等号的左右两边。 这是综合算式相对难度较大的原因，也是小学老师规定，“列方程时未知数不能单独放在等号一边”的原因。 2、方程的本质是对未知数的“约束条件”，综合算式可看作特殊的方程。

6. 例1、队伍出发2小时后，发现一份文件遗忘在营地，通信员返回拿到后再追队伍，如果队伍每小时行进7千米，通信员每小时比队伍多行5千米，那么，通信员离开队伍后经过多长时间又追上队伍？例1、队伍出发2小时后，发现一份文件遗忘在营地，通信员返回拿到后再追队伍，如果队伍每小时行进7千米，通信员每小时比队伍多行5千米，那么，通信员离开队伍后经过多长时间又追上队伍？ 把它看作一个“拉直”后的追及问题 根据“距离差÷速度差＝追上时间”可得算式： 根据“距离差＝速度差×追上时间”可得方程： 解题的关键在于深入思考，弄清情景，而不在于用方程还是算术方法

7. 二、二元一次方程组与算术方法的消元 • 1、代入（换）法消元 • 例1、大粮仓比小粮仓多装216吨米，大粮仓装米吨数是小粮仓的4倍，二者各装米多少吨？ • 算术方法：以小粮仓为标准，“大粮仓装米吨数是小粮仓的4倍”说明大粮仓比小粮仓多装3倍，3倍为216吨，故小粮仓装 吨，可解。 • 方程组法：设大小粮仓分别装米x吨和y吨，则 ， 把第二个方程代入第一个方程消去x， 即得 ，可解。 • 本质上，二者都通过“等量代换”减少了未知量个数。 “消元”是解多变量问题的必由之路。

8. 算术解法：以甲为标准， 把乙和丙所挖的土方都换为甲的： 乙比甲所挖的2倍还多2方， 则丙所挖为甲的6倍多4方； 如果从总量中把多的2方和4方减去， 则乙为甲的2倍，丙为甲的6倍， 相当于甲的（1+2+6）倍为 方，故甲挖 （1+2+6）=221方， 可解。 方程解法：设甲、乙、丙所挖土方量分别为x、y、z， 则 ， 把第二、三两个方程代入第一个方程消去y和z，即得 即 同综合算式一样。 例2、甲、乙、丙三台挖土机共完成1995方挖土任务，已知乙比甲所挖的2倍还多2方，丙所挖比乙的3倍少2方。问甲、乙、丙各挖土多少方？ • 算术方法难在消元时需要一点“化零为整” 的技巧——从总量中减去零头，这在方程解法中不过就是最基本、最简单的“移项”而已； • “列方程组”和“解方程组”是完全可以分开的，消元时不涉及x、y、z的具体含义；算术方法“列综合算式”则往往必须包含“解”的过程。

9. 假设兔都身子直立， 举起两只前脚，这时应 有脚 只，比实际 少了 只， 原因在于每只兔子都少算了 2只前脚，故实际 有兔子 只， 有鸡 只。 设有鸡x只， 有兔y只，则 第一个方程两边 同乘以2，得 再对应去减第二个方程的 两边，得 ， 代入第一个方程得 。 2、加减法消元 例3、鸡兔同笼，头数72，数脚224，问鸡兔各几只？ • “假设比较法”正是“加减消元法”的算术解释，或者说方程的加减运算很抽象，但算术解法可以赋予它具体意义。

10. 2、加减法消元 设有鸡x只，兔y只，则 例3、鸡兔同笼，头数72，数脚224，问鸡兔各几只？ 算术法一：假设兔子高举前脚，后腿直立…… 消元法一：②－①×2,得 算术法二：假设鸡的双翅算作两只脚…… 消元法二：①×4－②,得 算术法三：假设鸡都抬起一脚，“金鸡独立”，兔都举起前脚，后腿直立…… 消元法三：②÷2－①,得 • 算术方法与方程解法之间一定具有对应关系吗？

11. 例4、鸡兔同笼，鸡比兔多15只，兔脚比鸡脚少22只，问鸡兔各几只？例4、鸡兔同笼，鸡比兔多15只，兔脚比鸡脚少22只，问鸡兔各几只？ 方程组法： 设有鸡x只， 有兔y只，则 算术法一：假设不算15只鸡，使鸡兔刚好配对，则兔脚反比鸡脚多8只…… 消元法一：②－①×2,得 算术法二：假设增加15只兔，使鸡兔刚好配对，则兔脚比鸡脚多38只…… 消元法二：①×4－②,得 消元法三：②÷2－①,得 算术法三：…… 消元法四：……

12. 能用算术方法解的题目，一定也可用方程办法解决；能用算术方法解的题目，一定也可用方程办法解决； • 反之则不然，因为虽然二者思维的本质是一致的,但方程组一旦列出来，其解法就脱离了具体问题，变为纯粹的代数运算；算术方法则因具体题目不同而需要不同的技巧。 • 方程办法是从具体问题中抽象出数量关系，解的时候就不再依赖具体问题，因而具有一般性和通用性，是较高级的思维方式，学会了就发现它比较简单；算术方法则依赖具体问题和特定情景，往往“就事论事”，找不到一把“万能钥匙”，属于比较低级的思维方式，因而显得难。

13. 算术方法：把一头牛一周所吃的草看作1个单位，那么算术方法：把一头牛一周所吃的草看作1个单位，那么 27头牛6星期吃草162单位， 23头牛9星期吃草207单位， 二者比较，后者多3周时间， 多吃草 单位， 说明该牧场每周新长出的草 为 个单位，故牧场 原有草 单位。 方程组法：设 牧场原有草x单位， 每周新长草y单位， 用第二方程减第一方程 即得 ，可解。 第二步设可供21头牛吃z周， 则 ， 即 ， 。 例5、某一牧场的草，27头牛6星期刚好吃完，或23头牛9星期刚好吃完，如果是21头牛，几周可以吃完（假设每头牛每周所吃草量和牧场每天生长出的草都是固定的）？ 若是21头牛，因为牧场每周新长出的草可供15头牛吃，原有的72单位供其他6头牛吃，刚好可吃个12个月。 深入情境，理解题目中的数量关系，才是解决问题的关键；方法的选择尚在其次。

14. 总结：算术方法与方程的比较 一、算术方法相对较难，原因有二： 1、思考量集中，列式的过程往往包括解、消元的步骤； 2、对具体问题、特殊技巧的依赖性大，通用性差。 方程法相对简单，原因在于： 1、列式时思考量分担在等号两边，各部分的难度相对较小； 2、“列方程”与“解方程”可独立进行，解方程（组）的程序已经一般化。 二、算术方法巧妙多变，生动具体，符合小学生思维特点； 方程思想简洁统一，抽象性强，适合中学生。 三、算术方法与方程解法往往具有一定的对应关系。 四、算术方法可以看作方程的特殊情况，但其思维相对“低级”，一般只能解决“低次少元”的问题，对于二次以上的问题往往无能为力；方程是数学中的重要思想，是“代数”部分的重要内容，它与不等式、函数有紧密联系，方程理论是数学中的成熟理论，从低次到高次，从一元到多元，从普通方程到不定方程、微积分方程，都已经有完善的研究成果，它的用途非常广泛。