11.3 角平分线的性质

1. 11.3角平分线的性质 第一课时

2. A 活 动 1 D B C E 情境问题 如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。 将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?

3. A D B C E • 2、证明： 在△ACD和△ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） CA=CA（公共边） ∴ △ACD≌ △ACB（SSS） ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应边相等） ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）

4. A 活 动 2 N C E B M 探究新知 根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器） N E C O M O

5. Ｍ Ｃ ２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ． Ｏ Ｎ 如何用尺规作角的平分线？ A 作法： １．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢＮ于． Ｂ ３．作射线OC． 则射线ＯＣ即为所求．

6. C O B A D 活 动 4 实践应用(1) 1〉平分平角∠AOB 2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？ 3〉结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。

7. A D C 活 动 4 P 1 2 O E B 探究角平分线的性质 已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 求证: PD=PE 证明：∵OC平分∠ AOB （已知） ∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知） ∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义） 在△PDO和△PEO中 ∠PDO= ∠PEO（已证） ∠1= ∠2 （已证） OP=OP （公共边） ∴△PDO ≌ △PEO（AAS） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等） (3)验证猜想

8. A D C 活 动 4 ∵ ∠1= ∠2, PD ⊥ OA， PE⊥ OB（已知） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等） P 1 2 O E B 角平分线上的点到角两边的距离相等。 (4)得到角平分线的性质： 利用此性质怎样书写推理过程?(几何语言)

9. 思考： 如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,问PE=PD?为什么? A E O C P D B PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等直

10. 活 A 动6 E F D B C 实践应用(2) 如图：在△ABC中，∠C=90° AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB 分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌Rt△EDB. 现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需要我们找什么条件 试试自己写证明。你一定行！ DC=DE (因为角的平分线的性质) 再用HL证明.

11. 从这节课中你有哪些收获？

12. 小结: 1：画一个已知角的角平分线；(注意作图痕迹和几何语言的表达) 及画一条已知直线的垂线； 2：角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 3：角平分线的性质的应用

13. A 随堂练习 D C · P O E B 1.如图，OC是∠AOB的平分线， ∵ ∴PD=PE PD⊥OA，PE⊥OB

14. A E B C D 2.如图,在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长。

15. A E D C B 动脑筋 3.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC， DE⊥AB于E，则： ⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？ ⑵哪条线段与DE相等？为什么？ ⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6，　　　　　　求BE，AE的长和△AED的周长。