Oscar J. Navarro Casillas presentación

1. Oscar J. Navarro Casillaspresentación Prof. Cesar Octavio Martínez Padilla

2. Ecuaciones diferenciales: • Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación que relaciona de manera no trivial a una función desconocida y una o más derivadas de esta función desconocida con respecto a una o más variables independientes. Si la función desconocida depende de una sola variable la ecuación diferencial se llama ordinaria , por el contrario, si depende de más de una variable, se llama parcial . • La frase de manera no trivial que hemos usado en la definición anterior tiene como propósito descartar ecuaciones diferenciales que satisfacen la definición, pero son realmente identidades, es decir, son siempre verdaderas sin importar quién sea la función desconocida. Un ejemplo de tal tipo de ecuaciones es:

3. Orden: • Al polinomio en el que los grados de sus términos van creciendo, se le llama POLINOMIO ORDENADO EN SENTIDO CRECIENTE • Ejemplo: 2 + 3x2 - 5x4 • Al polinomio en el que los grados de sus términos van decreciendo, se le llama POLINOMIO ORDENADO EN SENTIDO DECRECIENTE • Ejemplo: - 5x4 + 3x2 + 2 • Al polinomio que contiene todos los términos desde el grado 0 al grado "n" inclusive, se le llama POLINOMIO COMPLETO DE GRADO n • Ejemplo: 3 + 2x + 5x2 - 3x3 • Al polinomio desprovisto de términos semejantes y de coeficientes nulos se le llama POLINOMIO REDUCIDO • Ejemplo: 2x2 + 3x3+ Es un polinomio reducido • Ejemplo: 3x2 - 2x3 + 5x2 +  No es un polinomio reducido. Su forma reducida sería: 8x2 - 2x3

4. A que se le llama grado: • Al mayor exponente de la indeterminada con coeficiente distinto de 0 se le llama: GRADO DE UN POLINOMIO DISTINTO DEL POLINOMIO 0. • Ejemplo: P(x) = x - 5x2 + 7x3 - 3x4 • El grado de este polinomio es CUATRO. • Ejemplo: P(x) = 0 + 0x + 0x2 + 0x3 + ...... ¿Cuál es su grado? • NO TIENE GRADO • Ejemplo: P(x) = 6       ¿Cuál es su grado? • POLINOMIO DE GRADO CERO • ya que P(x) = 6x0

5. Clasificación de grado y tipos de orden: Grado: se clasifica en varias partes primer, segundo, tercer grado, etc... Lineales: las variables depensientes (Y) y todas sus derivadas son de primer orden No lineales: son aquellas que no cumplen con las lineales

6. Solución • Las ecuaciones diferenciales tienen importancia fundamental en las aplicaciones, ya que muchas leyes y relaciones físicas pueden idealizarse matemáticamente en la forma de estas ecuaciones. En particular, el estudio de problemas de equilibrio de sistemas continuos se encuentran dentro de este contexto. • SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL. • Dada una ecuación diferencial ordinaria de orden n y cualquier grado, cuya forma general es: • (1) Se establece en matemáticas que en su solución general deben aparecer n constantes arbitrarias. Entonces, puede aceptarse que la solución general de (1) es: • G(X, Y, C1, C 2, ... , C n) = 0 (2)

7. Solución general • En realidad, es de variables separables, no separadas. Lo primero, es separar las variables.y' = dy/dxPor tanto la ecuación: xdy/dx = (2x+1)(y+1)Ahora separas variables, las y a un lado y las x al otro:dy / (y+1) = [(2x+1) / x ] dxO de una forma más sencilla:dy / (y+1) = [2+ (1/x)] dxAhora se integra cada expresión y queda:ln(y+1) = 2x + ln(x) + Ksiendo K la constante de integración.

8. Solución particular u = x0 Ecuaciones en las que no aparece la variable dependiente: u como funcion de t. u = x0 ) x00 = u0, x00 = f (t, x0) ) u0 = f (t, u) Se resuelve u0 = f (t, u) y se obtiene u = u(t). Luego se deshace el cambio: x0(t) = u(t) ) x(t) =Z u(t) dt. 2tx00 − x0 +1x0 = 0 (t 6= 0) ) 2tu0 − u +1u= 03

9. Trayectorias ortogonales • Es una expresión de la forma F(x;y;K) = 0 en la que K es un parámetro arbitrario. Ejemplo x2+2kx +y2 = 0 Una trayectoria ortogonal de una familia de curvas es una curva que cruza con cada una de las curvas de la familia de forma ortogonal. En un campo electrostático, las líneas de fuerza son ortogonales a las líneas de potencial constante.

10. Campos direccionales • En la ecuación diferencial Dx F(x, y) = dy el valor de F(x, y) para cada pareja ordenada (x, y) del plano, representa la pendiente de la curva solución que pasa por ese punto. Si a cada punto del plano le asociamos un pequeño segmento de recta con pendiente F(x,y) se obtiene lo que se llama campo direccional, éstos segmentos permiten visualizar en forma general las curvas solución.

11. Referencias bibliográficas • http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/ecuacionesdiferenciales/edo-geo/edo-cap1-geo/node3.html • http://www.aulamatematica.com/ESO3/03_Polin/3ESO_index03.htm • http://www.mitecnologico.com/Main/SolucionGeneralEcuacionesDiferencialesLinealesHomogeneas • http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Cramer_d3/inicio.htm