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已知：

先回顾等比数列前 n 项求和公式的推导. 通项公式 :. n -1. …. a 1 q. = a 1 +a 1 q + + + +. a 1 q. a 1 q. 2. 3. a n= a 1 •. 作 减 法. 作 减 法. 作 减 法. 等比数列 { a n} ，. a 1 ，. q ，. n- 1. n. q. 已知：. q s n +. 求： S n.

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  1. 先回顾等比数列前n项求和公式的推导 通项公式: n-1 … a1q =a1+a1q + + + + a1q a1q 2 3 an=a1• 作 减 法 作 减 法 作 减 法 等比数列 {an}， a1， q， n-1 n q 已知： qsn + 求：Sn (1-q)Sn=a1-a1q n { =a1q + + + Sn= a1q a1q a1q n n-1 2 3 … + a1q (q=1) (q=1) 解：Sn=a1+a2+ a3 +a4 + …+an n·a1

  2. 运用条件：若数列｛ Cn｝满足 Cn = an · bn，其中｛an｝为等差数列， ｛ bn｝ 为等比数列且公比为q，则数列｛ Cn｝的前n项和可用“错位相减法”求之。 • 基本步骤为：先写出Sn，再求出qSn，然后求“Sn - qSn”。但须注意书写时“同类项”要对齐，即要“错位”，以便求差。

  3. 77···7 77···7 77···7 77···7 7+7+7···+7 77···7 n个 n个 n-1个 n个 n个7 n个 解：∵Sn = 7+ 77+ 777 + ··· + ， ∴10 Sn =70+770+ ··· + ×10 + ×10 ∴ Sn- 10 Sn = - ×10 例一、求数列7，77，777，···， ，··· 的前n项的和 分析：该数列的特点是从第2项起数列的每一项是它前一项的10倍加7，故可尝试先将和式乘以10后再与原式相减。

  4. =7n – 7(10n-1) × • 【导评】从上面的解题过程可以看出：如果一数列｛an｝满足an+1=k an +p (k, p为常数），即从第2项起每一项是它前面一项的k倍加上p，则该数列的前n项求和用上述方法求之。 • 【基本步骤】先写出Sn，再求出kSn，最后求“Sn- kSn”。

  5. (1-a)Sn=1+2a+2a2+2a3+ ··· +2an-1- (2n-1)an =2(1+a+a2+a3+ ··· +an-1) - (2n-1)an-1 = • 例二、求数列1，3a，5a2，7a3 ··· （2n-1)an-1 ··· (a≠1) 的前n项的和 解：因Sn=1+3a+5a2+7a3+ ··· +(2n-1)an-1 ① ①×a，得 aSn=a+3a2+5a3+ ··· (2n-3)an-1+(2n-1)an 两式相减得

  6. 【另】如将常数1提出，则： 所以 计算结果与之前相同。

  7. 由此可知，作差后所得数列中，如有常数项，可以凑成等比数列的项，也可以独立提出来，并不影响计算结果。由此可知，作差后所得数列中，如有常数项，可以凑成等比数列的项，也可以独立提出来，并不影响计算结果。

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