一、齐次线性方程组解的理论二、齐次线性方程组的解法

Ch3 矩阵的秩与线性方程组 第二节齐次线性方程组一、齐次线性方程组解的理论二、齐次线性方程组的解法

一、齐次线性方程组解的理论 引例求解齐次线性方程组

② - ① 2 利用消元法求解该方程组解 ① ② ③ ，③ - ①，得 ① ④ ⑤

① ④ ⑤ ⑤ - ④， ④ 得 ① ⑥ 说明第3个方程是多余的！说明什么问题？

① ⑥ 得， ① ⑥ 行最简形矩阵

即得与原方程组同解的方程组 移项即得

定理1 = n x 0 元齐次线性方程组Am×n 有非零解 ( ) < 且此时， r A n . 的充分必要条件是系数矩阵的秩 - n r ( A ) . 通解表达式中含有个参数说明： 1 n×n 线性方程组Ax=0 有非零解的充要条件是 (2) (1) r(A)<n 2 m×n 线性方程组Ax=0 仅有零解的充要条件是 r(A)=n .

二、齐次线性方程组的解法 求解齐次线性方程组的步骤： 1. 将系数矩阵化为行阶梯形矩阵； 2. 由定理1分析齐次线性方程组解的情况； • 若r(A)<n，则将行阶梯形矩阵化为行最简形矩 • 阵，写出相应于行最简形矩阵的齐次线性方程组， • 然后选取自由未知量，并求出其通解.

例1求解齐次线性方程组 解对系数矩阵A进行初等变换

且可得到与 故方程组有非零解，原方程组同解的方程组

选取x2, x4为自由未知量，则通解为 或写为说明：自由未知量可取为系数矩阵的行阶梯形矩阵中除每行首非零元素相应的未知量以外的未知量.

例2 　当　取何值时，下述齐次线性方程组有非零解．解法一　因为系数矩阵A为方阵，故可考虑用“行列式法”，即计算系数行列式

从而可得 由于Ax=0有非零解的充要条件是

解法二　用“初等行变换”（法）把系数矩阵A解法二　用“初等行变换”（法）把系数矩阵A 化为阶梯形

由定理1，要使齐次线性方程组有非零解，必有r(A)<4,由定理1，要使齐次线性方程组有非零解，必有r(A)<4, 从而可得

例3 已知三阶非零矩阵B的每一列都为齐次线性方程组求 Ax=0的解，其中 (3) 一个矩阵B (2) 的值； (1) 即因此 (1) 由题意可知，Ax=0有非零解，解：因此，

(2) 将A化为行最简形矩阵 相应的线性方程组为

因此，通解为 从而所以B的任两列对应成比例， (3) 由B的列为Ax=0的解向量，可得B可取为

小结对齐次线性方程组

一、齐次线性方程组解的理论 二、齐次线性方程组的解法