§1 ． 10 连续函数的运算与初等函数的连续性

1. §1．10 连续函数的运算与初等函数的连续性 一、连续函数的和、积及商的连续性 定理 二、反函数与复合函数的连续性 反函数的连续性定理、 复合函数的连续性定理 三、初等函数的连续性 基本的连续函数、 初等函数的连续性在求函数极限中的应用

2. 一、连续函数的和、积及商的连续性 定理1有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的 函数． 证明 考虑两个在点x0连续的函数f(x)、g(x)的和： F(x)=f(x)+g(x)． 由函数的连续性定义，有 =f(x0)+g(x0)=F(x0)， 这就证明了两个在点x0连续的函数之和在点x0连续．类似地可 证明有限个函数之和的情形．

3. 一、连续函数的和、积及商的连续性 定理1有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的 函数． 定理2有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续 的函数． 定理3两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函 数，只要分母在该点不为零．

4. 例1 函数 x2、 sin x和cos x都在区间(-，+)内连续． 由定理1，x2+sin x、 x2+cos x、sinx +cos x在区间(-，+) 内都是连续的． 由定理2，x2 sin x、 x2 cos x 、sin x cos x在区间(-，+)内 都是连续的． 由定理3， tan x和cot x在它们的定义域内是连续的．

5. 二、反函数与复合函数的连续性 1．反函数的连续性 定理4如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或单调减少)且连 续，那么它的反函数x=j(y)也在对应的区间 Iy={y|y=f(x)，xIx} 上单调增加（或单调减少）且连续． 加且连续，所以它的反函数y=arcsin x在区间[-1,1]上也是单调 增加且连续的．

6. 同样，y=arccos x在区间[-1，1]上也是单调减少且连续； y=arctan x在区间(-，+)内单调增加且连续；y=arccot x在区 间(-，+)内单调减少且连续． 总之，反三角函数arcsin x、arccos x、arctan x、arccot x在它 们的定义域内都是连续的．

7. 2．复合函数的连续性 而函数y=f(u)在点u=a连续，那么 注1： 把定理5 中的xx 0换成x，可得类似的定理． 注2： 在定理5中，因为有 所以有

8. 2．复合函数的连续性 而函数y=f(u)在点u=a连续，那么 所以

9. 2．复合函数的连续性 而函数y=f(u)在点u=a连续，那么 定理6设函数u=j(x)在点x=x0连续，且j(x0)=u0，而函数y=f(u) 在点u=u0连续，那么复合函数=f[j(x)]在点x=x0也是连续的． 注：在定理6的条件下有

11. 三、初等函数的连续性 基本的连续函数： 三角函数： sin x， cos x， tan x， cot x； 反三角函数：arcsinx，arccosx，arctanx，arccotx； 指数函数：ax(a>0，a1)； 对数函数：logax (a>0，a1)； 证明 指数函数ax(a>0，a1)对于一切实数x 都有定义，且 在区间(-，+)内是单调的和连续的，它的值域为(0，+)． 由定理4，对数函数logax (a>0，a1)作为指数函数ax的反函数 在区间(0，+)内单调且连续．

12. 三、初等函数的连续性 基本的连续函数： 三角函数： sin x， cos x， tan x， cot x； 反三角函数：arcsinx，arccosx，arctanx，arccotx； 指数函数：ax(a>0，a1)； 对数函数：logax (a>0，a1)； 幂函数：xm．

13. 幂函数连续性的证明： 幂函数y=xm的定义域随m 的值而异，但无论m 为何值，在区 间(0，+)内幂函数总是有定义的．可以证明，在区间(0，+)内 幂函数是连续的．事实上，设x>0，则 因此，幂函数xm可看作是由y=au，u=m logax复合而成的，由 此，根据定理6，它在(0，+)内连续．如果对于m取各种不同 值加以分别讨论，可以证明幂函数在它的定义域内是连续的．

14. 三、初等函数的连续性 基本的连续函数： 三角函数： sin x， cos x， tan x， cot x； 反三角函数：arcsinx，arccosx，arctanx，arccotx； 指数函数：ax(a>0，a1)； 对数函数：logax (a>0，a1)； 幂函数：xm． 结论1：基本初等函数在它们的定义域内都是连续的． 结论2：一切初等函数在其定义区间内都是连续的． 注：所谓定义区间，就是包含在定义域内的区间．

15. 初等函数的连续性在求函数极限中的应用： 如果f(x)是初等函数，且x0是f(x)的定义区间内的点，则

16. 举例: 解 解

17. 于是 解 令ax-1= t， 则x=loga(1+t)， 当x0时t0， =lna .