医学に活かす 確率・統計

1. 医学に活かす確率・統計

2. A4用紙の配布 • 縦に使います • 学生番号　氏名

3. 避けて通れない確率・統計 • 不確実だから • 研究はわからないことを対象にする • 未知が対象 • 臨床は不十分な情報に基づいて行動する • 既知のリストから選び出す • 研究も　臨床も、論理的・科学的であることが必要だから • 他人を説得する • 自分が納得する • 論理・科学の(唯一の)共通言語だから

4. 手法は不要　考え方は必要 • 過去問になっている問題 • 過去問の類似問題 • 新しい問題

5. 計算機は不要(かも)　勘は必要 • 確率的思考をしているときに、電卓をたたいている暇はない • そこそこ、はずれない「勘」を持っていることが大事 • その「勘」のよさが、臨床のセンス、研究のセンスのよさ・・・のような気がします • この辺りのことに、なにがしかのイメージを持つことが3コマの目標です

6. 計算機が欲しいなら • フリーソフトをどうぞ • R • http://www.r-project.org/ • http://www.okada.jp.org/RWiki/index.php

7. 確率・統計的な考え方のこつ • 自分なりにわかること • 覚えることは何もない • 自分で考えを進められれば、よし • 疑う • 情報を鵜呑みにしない • 理由を見つける • こだわらない・こだわっている自分に気づく • 「絶対」はない • 場合にわける • 条件をつける

8. 推定* 推定*　：　斜字体の言葉はこの講義で理解するべき概念(「学問的」部分)

9. 合格したい試験がある • 自分が合格する確率は？

10. 合格したい試験がある • 自分が合格する確率は？ • 「当てる」ために必要な情報は？

11. 合格したい試験がある • 自分が合格する確率は？ • 「当てる」ために有用な情報は？ • 合格率は？

12. 合格したい試験がある • 自分が合格する確率は？ • 「当てる」ために有用な情報は？ • 合格率は？ • どうしてそれを知ることが有用？

13. 合格したい試験がある • 自分が合格する確率は？ • 「当てる」ために必要な情報は？ • 合格率は？ • 何の試験？ • どうしてそれを知ることが有用？

14. 【医師国家試験・医学部のある大学別合格率と合格者数】（2008年度医師国家試験のデータ）【医師国家試験・医学部のある大学別合格率と合格者数】（2008年度医師国家試験のデータ） 大学名新卒既卒　　　　　（受験者数・合格者数・合格率）　＜受験者数・合格者数・合格率＞ 国立大学医学部（42校）（4,016 3,819 95.1％）＜434  257   59.2％＞ 北海道大学       （106 104 98.1％）　　　 ＜17 10 58.8％＞ 旭川医科大学     （ 9689 92.7％）　　　 ＜ 83   37.5％＞ 弘前大学           （102   101   99.0％）       ＜ 9    5   55.6％＞ 東北大学           （  88    84   95.5％）        ＜16    4   25.0％＞ 秋田大学           （103    94   91.3％）        ＜ 8    6   75.0％＞ 山形大学           （ 99    97   98.0％）         ＜ 3    3  100.0％＞ 筑波大学           （108   105   97.2％）       ＜ 8    8  100.0％＞ 群馬大学           （103    94   91.3％）        ＜ 7    6   85.7％＞ 千葉大学           （103    99   96.1％）        ＜ 7    4   57.1％＞ 東京大学           （ 95    88   92.6％）         ＜ 2    0    0.0％＞ 東京医科歯科大学 （ 86    82   95.3％）      ＜ 7    6   85.7％＞ 新潟大学           （ 94    86   91.5％）         ＜ 6    2   33.3％＞ 富山大学           （ 91    88   96.7％）         ＜ 7    5   71.4％＞ 金沢大学           （101    97   96.0％）        ＜11    4   36.4％＞ 福井大学           （107    97   90.7％）        ＜12    5   41.7％＞ 山梨大学           （ 97    90   92.8％）        ＜14   11   78.6％＞ 信州大学           （ 98    93   94.9％）        ＜ 8    2   25.0％＞ 岐阜大学           （ 80    78   97.5％）        ＜ 8    5   62.5％＞ 浜松医科大学     （112   109   97.3％）      ＜ 6    4   66.7％＞ 名古屋大学        （100    96   96.0％）       ＜ 5    2   40.0％＞ 三重大学           （ 97    95   97.9％）        ＜ 7    5   71.4％＞  滋賀医科大学     （100    95   95.0％）       ＜ 3    2   66.7％＞ 京都大学           （ 97    95   97.9％）        ＜16    9   56.3％＞ 大阪大学           （ 98    92   93.9％）        ＜11    6   54.5％＞ 神戸大学           （100    98   98.0％）       ＜11    7   63.6％＞ 鳥取大学           （ 78    76   97.4％）　      ＜11    8   72.7％＞ 島根大学           （ 89    82   92.1％）        ＜ 7    4   57.1％＞ 岡山大学           （ 92    87   94.6％）        ＜ 8    5   62.5％＞ 広島大学           （ 95    89   93.7％）        ＜10    5   50.0％＞ 山口大学           （ 96    83   86.5％）        ＜10    9   90.0％＞ 徳島大学           （ 89    85   95.5％）        ＜15    7   46.7％＞ 香川大学           （ 89    87   97.8％）        ＜ 8    7   87.5％＞ 愛媛大学           （ 92    91   98.9％）        ＜10    7   70.0％＞ 高知大学           （ 88    81   92.0％）        ＜13    5   38.5％＞ 九州大学           （100    98   98.0％）       ＜15   10   66.7％＞ 佐賀大学           （ 91    88   96.7％）　      ＜ 7    3   42.9％＞ 長崎大学           （ 77    72   93.5％）        ＜18   11   61.1％＞ 熊本大学           （ 94    93   98.9％）        ＜18    8   44.4％＞ 大分大学           （ 84    80   95.2％）        ＜11    9   81.8％＞ 宮崎大学           （ 96    90   93.8％）        ＜15   12   80.0％＞ 鹿児島大学        （ 93    89   95.7％）        ＜24   16   66.7％＞ 琉球大学           （112   102   91.1％）      ＜17    7   41.2％＞

15. 【医師国家試験・医学部のある大学別合格率と合格者数】（2008年度医師国家試験のデータ）【医師国家試験・医学部のある大学別合格率と合格者数】（2008年度医師国家試験のデータ） 大学名新卒既卒　　　　　（受験者数・合格者数・合格率）　＜受験者数・合格者数・合格率＞ 国立大学医学部（42校）（4,016 3,819 95.1％）＜434  257   59.2％＞ 北海道大学       （106 104 98.1％）　　　 ＜17 10 58.8％＞ 旭川医科大学     （ 9689 92.7％）　　　 ＜ 83   37.5％＞ 弘前大学           （102   101   99.0％）       ＜ 9    5   55.6％＞ 東北大学           （  88    84   95.5％）        ＜16    4   25.0％＞ 秋田大学           （103    94   91.3％）        ＜ 8    6   75.0％＞ 山形大学           （ 99    97   98.0％）         ＜ 3    3  100.0％＞ 筑波大学           （108   105   97.2％）       ＜ 8    8  100.0％＞ 群馬大学           （103    94   91.3％）        ＜ 7    6   85.7％＞ 千葉大学           （103    99   96.1％）        ＜ 7    4   57.1％＞ 東京大学           （ 95    88   92.6％）         ＜ 2    0    0.0％＞ 東京医科歯科大学 （ 86    82   95.3％）      ＜ 7    6   85.7％＞ 新潟大学           （ 94    86   91.5％）         ＜ 6    2   33.3％＞ 富山大学           （ 91    88   96.7％）         ＜ 7    5   71.4％＞ 金沢大学           （101    97   96.0％）        ＜11    4   36.4％＞ 福井大学           （107    97   90.7％）        ＜12    5   41.7％＞ 山梨大学           （ 97    90   92.8％）        ＜14   11   78.6％＞ 信州大学           （ 98    93   94.9％）        ＜ 8    2   25.0％＞ 岐阜大学           （ 80    78   97.5％）        ＜ 8    5   62.5％＞ 浜松医科大学     （112   109   97.3％）      ＜ 6    4   66.7％＞ 名古屋大学        （100    96   96.0％）       ＜ 5    2   40.0％＞ 三重大学           （ 97    95   97.9％）        ＜ 7    5   71.4％＞  滋賀医科大学     （100    95   95.0％）       ＜ 3    2   66.7％＞ 京都大学           （ 97    95   97.9％）        ＜16    9   56.3％＞ 大阪大学           （ 98    92   93.9％）        ＜11    6   54.5％＞ 神戸大学           （100    98   98.0％）       ＜11    7   63.6％＞ 鳥取大学           （ 78    76   97.4％）　      ＜11    8   72.7％＞ 島根大学           （ 89    82   92.1％）        ＜ 7    4   57.1％＞ 岡山大学           （ 92    87   94.6％）        ＜ 8    5   62.5％＞ 広島大学           （ 95    89   93.7％）        ＜10    5   50.0％＞ 山口大学           （ 96    83   86.5％）        ＜10    9   90.0％＞ 徳島大学           （ 89    85   95.5％）        ＜15    7   46.7％＞ 香川大学           （ 89    87   97.8％）        ＜ 8    7   87.5％＞ 愛媛大学           （ 92    91   98.9％）        ＜10    7   70.0％＞ 高知大学           （ 88    81   92.0％）        ＜13    5   38.5％＞ 九州大学           （100    98   98.0％）       ＜15   10   66.7％＞ 佐賀大学           （ 91    88   96.7％）　      ＜ 7    3   42.9％＞ 長崎大学           （ 77    72   93.5％）        ＜18   11   61.1％＞ 熊本大学           （ 94    93   98.9％）        ＜18    8   44.4％＞ 大分大学           （ 84    80   95.2％）        ＜11    9   81.8％＞ 宮崎大学           （ 96    90   93.8％）        ＜15   12   80.0％＞ 鹿児島大学        （ 93    89   95.7％）        ＜24   16   66.7％＞ 琉球大学           （112   102   91.1％）      ＜17    7   41.2％＞ • 場合分け • どうしてそれを知ることが有用？

16. 合格したい試験がある • 自分が合格する確率は？ • 模試とは？ 共用試験ナビ-年度一覧>第６版　共用試験ナビ>　医学系CBT－第３回正式実施全国成績

17. 模試から得る情報 • 自分の得点 • 自分の順位 • 知りたいことは？ 全体　vs. 個

18. 模試から得る情報 • 知りたいことは？ • 自分の得点→自分の「真の」正答力 • 自分の順位→自分の「真の」順位

19. 模試から得る情報 • 知りたいことは？ • 自分の得点→自分の「真の」正答力 • 自分の順位→自分の「真の」順位 • さらに知りたいことは？ • 「真の」正答力→自分が本番でとる得点 • 「真の」順位→自分が本番でとる順位

20. 模試から得る情報 • 知りたいことは？ • 自分の得点→自分の「真の」正答力 • 自分の順位→自分の「真の」順位 • さらに、知りたいことは？ • 「真の」正答力→自分が本番でとる得点 • 「真の」順位→自分が本番でとる順位 • さらに、さらに、知りたいことは？ • 「真の」正答力と「ありたい正答力」との差 • その差の詰め方

21. 模試から得る情報 • 知りたいことは？ • 自分の得点→自分の「真の」正答力 • 自分の順位→自分の「真の」順位 • 試験実施者が本当に知りたいことは • 「正答力」ではなくて「実力」なんだけれど・・・ • 「知りたいこと」は観察できない(ことが多い) • テスト(検査)で代用する • 実験で代用する

22. 模試から得る情報 • 「真の正答力」を推定する • 10問中8問の正解 • 模試の点数→「真の正当力」 • どうやって？

23. 模試から得る情報 • 「真の正答力」を推定する • 模試の点数→「真の正当力」 • どうやって？

24. 模試から得る情報 • 「真の正答力」を推定する • 模試の点数→「真の正当力」 • どうやって？ • 仮説からスタートする • 仮説を立てよう

25. 模試から得る情報 • 「真の正答力」を推定する • 模試の点数→「真の正当力」 • どうやって？ • 仮説からスタートする • 「真の正答力は、『正答する確率』が80%である」という仮説 • 仮説には「確率」がある

26. 模試から得る情報 • 「真の正答力は、『正答する確率』が80%である」という仮説 • この場合の模試の点数は？ ->RGUI(編集→GUIpreference→フォント(20)) • p<-0.8;nq<-10 • rs<-rbinom(nq,1,p);mean(rs)*nq • rs<-rbinom(nq,1,p);mean(rs)*nq • …

27. 模試から得る情報 • 「真の正答力は、『正答する確率』が80%である」という仮説 • 「テストのたびに値が変わる・・・」 • p<-0.8 • nq<-10 • nt<-10 • rs<-matrix(rbinom(nq*nt,1,p),nrow=nt) • obs<-apply(rs,1,sum) • table(obs)

28. 模試から得る情報 • 「真の正答力は、『正答する確率』が80%である」という仮説 • 「テストのたびに値が変わる・・・」 • テストを繰り返せば • p<-0.8 • nq<-10 • nt<-10 • rs<-matrix(rbinom(nq*nt,1,p),nrow=nt) • obs<-apply(rs,1,sum) • table(obs) • p<-0.8 • nq<-10 • nt<-100 • rs<-matrix(rbinom(nq*nt,1,p),nrow=nt) • obs<-apply(rs,1,sum) • table(obs) • h<-hist(obs,xlim=c(0,nq),breaks=-1:nq) • plot(0:nq,h$counts,type="b")

29. 模試から得る情報 • 「真の正答力は、『正答する確率』が80%である」という仮説 • 「テストのたびに値が変わる・・・」 • p<-0.8 • nq<-10 • nt<-10 • rs<-matrix(rbinom(nq*nt,1,p),nrow=nt) • obs<-apply(rs,1,sum) • table(obs) • p<-0.8 • nq<-10 • nt<-100 • rs<-matrix(rbinom(nq*nt,1,p),nrow=nt) • obs<-apply(rs,1,sum) • table(obs) • h<-hist(obs,xlim=c(0,nq),breaks=-1:nq) • plot(0:nq,h$counts,type="b")

30. 模試から得る情報 • 「真の正答力は、『正答する確率』が80%である」という仮説 • 「テストのたびに値が変わる・・・」 • 100回　模試を受けても・・・ • p<-0.8 • nq<-10 • nt<-10 • rs<-matrix(rbinom(nq*nt,1,p),nrow=nt) • obs<-apply(rs,1,sum) • table(obs) • p<-0.8 • nq<-10 • nt<-100 • rs<-matrix(rbinom(nq*nt,1,p),nrow=nt) • obs<-apply(rs,1,sum) • table(obs) • h<-hist(obs,xlim=c(0,nq),breaks=-1:nq) • plot(0:nq,h$counts,type="b")

31. 模試から得る情報 100回　模試を受けても • 「真の正答力は、『正答する確率』が80%である」という仮説 • 「テストのたびに値が変わる・・・」 • 100回　模試を受けても・・・ • p<-0.8 • nq<-10 • nt<-10 • rs<-matrix(rbinom(nq*nt,1,p),nrow=nt) • obs<-apply(rs,1,sum) • table(obs) • p<-0.8 • nq<-10 • nt<-100 • rs<-matrix(rbinom(nq*nt,1,p),nrow=nt) • obs<-apply(rs,1,sum) • table(obs) • h<-hist(obs,xlim=c(0,nq),breaks=-1:nq) • plot(0:nq,h$counts,type="b")

32. 模試から得る情報 • 「真の正答力は、『正答する確率』が80%である」という仮説 • 「テストのたびに値が変わる・・・」→無限回　受ければ • p<-0.8 • nq<-10 • nt<-10 • rs<-matrix(rbinom(nq*nt,1,p),nrow=nt) • obs<-apply(rs,1,sum) • table(obs) • plot(0:nq,h$counts,type="b") • ds<-dbinom(0:nq,nq,p) • par(new=TRUE) • plot(0:nq,ds,type="b",col="red")

33. 模試から得る情報 • 「真の正答力は、『正答する確率』が80%である」という仮説 • 「テストのたびに値が変わる・・・」 • p<-0.8 • nq<-10 • nt<-10 • rs<-matrix(rbinom(nq*nt,1,p),nrow=nt) • obs<-apply(rs,1,sum) • table(obs) • plot(0:nq,h$counts,type="b") • ds<-dbinom(0:nq,nq,p) • par(new=TRUE) • plot(0:nq,ds,type="b",col="red")

34. みんなが使うものだから • 正答確率 0.8の場合の得点分布の確率分布は • 「知られている」

35. みんなが使うものならば • 正答確率 0.8の場合の得点分布の確率分布は • 「知られている」 • 「知られてい」れば、「知れ」ばよし • 情報収集・調査・勉強 • 「知られていないけれど、知りた」ければ、「知れ」ばよし • 研究

36. 模試から得る情報 • 「真の正答力」を推定する • 「真の正答力は、『正答する確率』が80%である」という仮説 • どうして、「80%」と思った？？？ • 50%,10%,90%だったら？ • p<-c(0.8,0.5,0.1,0.9) • ds<-dbinom(0:nq,nq,p[1]) • ylim<-c(0,1) • plot(0:nq,ds,type="b",col="red",ylim=ylim) • par(new=T) • ds<-dbinom(0:nq,nq,p[2]) • plot(0:nq,ds,type="b",ylim=ylim) • par(new=T) • ds<-dbinom(0:nq,nq,p[3]) • plot(0:nq,ds,type="b",ylim=ylim) • par(new=T) • ds<-dbinom(0:nq,nq,p[4]) • plot(0:nq,ds,type="b",ylim=ylim)

37. 0.8 0.5 0.1 0.9

38. 0.8 0.5 0.1 0.9

39. 0.8 0.5 0.1 0.9

40. 0.8 0.5 0.1 0.9

41. 今、気になるのは、８点を取った場合 0.8 0.5 0.1 0.9

42. 仮説→事象が起きる　確率　(起きそうなやすさ)仮説→事象が起きる　確率　(起きそうなやすさ) • 事象が起きる→仮説　尤度　(ありそうな程度) 真の正答確率が p　のときに8点を取る確率は 8点を取ったときに、真の正答確率がpである尤度

43. 「真の正答力は、『正答する確率』がpである」という仮説の下で、10問中8問を正答する確率10問中8問を正答したときに、真の正答力がpである尤度「真の正答力は、『正答する確率』がpである」という仮説の下で、10問中8問を正答する確率10問中8問を正答したときに、真の正答力がpである尤度 point<-8 p<-seq(from=0,to=1,by=0.01) ds<-dbinom(point,nq,p) plot(p,ds,type="l") abline(h=ds[81]) par(new=T) v<-dbeta(p,point+1,nq-point+1) plot(p,v)

44. 模試から得る情報 「真の正答力」を推定する 何点を取ろうとも。 • p<-seq(from=0,to=1,by=0.01) • obss<-matrix(0,length(p),nq+1) • for(i in 1:length(p)){ • obss[i,]<-ds<-dbinom(0:nq,nq,p[i]) • } • persp(obss,xlab="p",ylab="points",theta=90,phi=30) persp(obss,xlab="p",ylab="points",theta=0,phi=30)

45. 仮説の下での確率密度分布 実力 テストの点

46. 観察の下での尤度分布 テストの点 実力

47. １回目の模試が8点の場合 実力が0.8の場合 尤度 実力 テストの点 実力

48. 「真の正答力は、『正答する確率』がpである」という仮説の下で、10問中8問を正答する確率10問中8問正答のときの真の正答力の尤度「真の正答力は、『正答する確率』がpである」という仮説の下で、10問中8問を正答する確率10問中8問正答のときの真の正答力の尤度 • p=0.8のときに最も大きい • 最大の尤度を持つ仮説は「p=0.8」 • pの最尤推定値

49. １回目の模試が80%正解の場合 実力はどこまで推定できた？ 信頼区間をどう決めたい？ 実力 実力 模試の結果から、実力を推定した。 正答率80％を最高に（最尤推定値)　：　点推定 幅がある(信頼区間)　：　区間推定

50. 信頼区間をどう決めたい？ 下限と上限に挟まれた範囲が95% 実力 上限・下限それぞれに2.5%ずつ 上限・下限の尤度を同じにして合わせて5% 上限・下限を中心から等距離とするとして、合わせて5％ 下限だけ？