Напряженное состояние в точке

1. наклонное сечение N h N  A A b поперечное сечение Напряженное состояние в точке 1. Напряжения по наклонным площадкам в растянутом стержне n N N  x P  P-полное напряжение на наклонной площадке  P N =  ·A N = P·A   = 00,   =  = max,  = 0 Поперечное сечение: при  = 450,  ≠ 0, max = ½  Наклонное сечение:

2. Напряженное состояние в точке 1. Напряжения по наклонным площадкам в растянутом стержне Вывод: Нормальные напряжения достигают экстремальных значений на площадках, где касательные напряжения отсутствуют. Такие площадки называются главными.

3. Напряженное состояние в точке 2. Виды напряженных состояний. Система обозначений. z Вырежем из тела прямоугольный параллелепипед dz dx dy y x

4. Напряженное состояние в точке 2. Виды напряженных состояний. Система обозначений. y y Объемное xy x zy yx yz x zx z xz z Внимательнее с индексами! Всего 9 неизвестных: 3 нормальных напряжения и 6 касательных

5. Напряженное состояние в точке 2. Виды напряженных состояний. Система обозначений. Смотрим с конца оси z: пусть две грани ┴оси z свободны от напряжений Плоское y y xy x yx 4 неизвестных. Из условия равновесия: x z Закон парности касательных напряжений

6. x x Напряженное состояние в точке 2. Виды напряженных состояний. Система обозначений. Линейное y x z 1 неизвестная

7. Напряженное состояние в точке 3. Анализ плоского напряженного состояния. Правило знаков: а) Растягивающие нормальные напряжения, направленные от площадки, считаем положительными; б) Касательные напряжения считаем положительными, если они вращают элемент против хода часовой стрелки.

8. x1 y1 y А  Зададим положительные напряжения yx Py  dА Px   x x y1x1 xy С В y dАcos dАsin Определим напряжения на наклонных площадках Fkx = 0;PxdA - xdAcos - xydAsin = 0, Px =xcos + xysin (1) Fky = 0;PydA - ydAsin + yxdAcos = 0, Py =ysin - yxcos (2)

9. x1 y1 y Определим (сумма проекций Pxи Py на нормаль)  yx Py  Px  =Pxcos + Pysin= xcos2 + xysincos + ysin2 - yxsincos x x y1x1 xy y Учитывая xy= - yx =xcos2 + ysin2 - yxsin2 (3) Определим (сумма проекций Pxи Py на ось y1) y1x1=Pxsin - Pycos= xcossin + xysin2 -ysin cos + yxcos2 y1x1=½(x - y) sin2 + yxcos2  (4)

10. Таким образом, уравнения (3) и (4) показывают изменение нормальных и касательных напряжений при повороте площадки на угол .

11. А теперь посмотрим, что происходит с напряжениями на ортогональной площадке. Введем формальную замену:  =  + 900 y1  x1 x1 y1 cos(900+) = -sin sin(900+) = cos sin(1800+2) = - sin2 cos(1800+2) = -cos2 x1y1 y1x1  x y1=xcos2 + ysin2 - yxsin2 x1y1=½(x - y) sin2 + yxcos2 y1=xsin2 + ycos2 + yxsin2 x1y1=½(x - y) (-sin2) + yx(-cos2)

12. Рассмотрим выражение: x + y= x1 + y1 Таким образом, сумма нормальных напряжений по двум перпендикулярным площадкам не зависит от угла  (инвариант)

13. Напряженное состояние в точке 4. Главные напряжения При изменении угла  будем получать разные  , yx. Экстремальные значения нормальных напряжений называются главными (min , max). =xcos2 + ysin2 - yxsin2 -2(xcossin - ysincos -yxcos2) = = -2[1/2(x - y)sin2 + yxcos2] = 0 на главных площадках Т.о. =½(x - y) sin20+ yxcos20 =0