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第 7 讲

第 7 讲. 不确定性和风险规避. 概率. 一个重复事件发生的 概率 是其出现的相对频率 投掷一枚均匀硬币，获得头像一面的概率是 0.5 如果一个彩票提供 n 个不同的奖金，获得奖金的概率是  i (i=1, n ) ，那么. 期望值. 彩票 ( X ) 的奖金是 x 1 , x 2 ,…, x n ，获奖概率是  1 , 2 ,… n , 这个彩票的 期望值 是. 期望值 是结果的加权和 权重是概率. 期望值. 假定史密斯和琼斯决定掷硬币 头像 ( x 1 )  琼斯给史密斯 ￥ 1

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第 7 讲

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Presentation Transcript

  1. 第 7 讲 不确定性和风险规避

  2. 概率 • 一个重复事件发生的 概率 是其出现的相对频率 • 投掷一枚均匀硬币，获得头像一面的概率是 0.5 • 如果一个彩票提供 n个不同的奖金，获得奖金的概率是 i (i=1,n)，那么

  3. 期望值 • 彩票 (X) 的奖金是 x1,x2,…,xn，获奖概率是 1,2,…n, 这个彩票的 期望值 是 • 期望值 是结果的加权和 • 权重是概率

  4. 期望值 • 假定史密斯和琼斯决定掷硬币 • 头像(x1)  琼斯给史密斯 ￥1 • 文字 (x2)  史密斯支付给琼斯 ￥1 • 从史密斯的角度看,

  5. 期望值 • 具有零期望值 (或者参与这个博弈需要花费博弈的期望值)的博弈称为 事实的公平博弈 • 但是可以观察到人们经常拒绝参与这种事实上的公平博弈

  6. 公平博弈 • 人们通常不愿意参与公平博弈 • 存在一些例外 • 赌注很小 • 参与博弈这个行为就可以获得效用 • 我们假定不存在这种情况

  7. 圣彼得堡悖论 • 投掷一枚硬币，直到出现头像一面 • 如果在第 n 次投掷中出现头像, 参与人获得 ￥2n x1 = ￥2, x2 = ￥ 4, x3 = ￥ 8,…,xn = ￥ 2n • 在第 I 次投掷中获得头像的概率是 (½)i 1=½, 2= ¼,…, n= 1/2n

  8. 圣彼得堡悖论 • 圣彼得堡悖论中博弈的期望值为无穷 • 因为没有参与人愿意为这个博弈支付很多, 它不值其期望值

  9. 期望效用 • 参与人不在意奖金的绝对数量 • 他们在意奖金的效用 • 如果我们假设财富的边际效用递减, 圣彼得堡悖论博弈将会收敛到有限的期望效用值 • 这测量了这个博弈对于参与人的价值

  10. 期望效用 • 期望效用可以利用与期望值相似的方法计算 • 因为效用比奖金的绝对数量上升得慢, 期望效用有可能小于期望值

  11. 冯·诺伊曼－摩根斯坦定理 • 假定存在 n种奖金，按照升序，参与人获得奖金的概率为 (x1,…xn) • x1 = 最不喜欢的奖金  U(x1) = 0 • xn = 最喜欢的奖金  U(xn) = 1

  12. 冯·诺伊曼－摩根斯坦定理 • 冯·诺伊曼－摩根斯坦定理说明存在合理的方式为每一个奖金指定一个特定的效用值

  13. 冯·诺伊曼－摩根斯坦定理 • 冯·诺伊曼－摩根斯坦方法将xi的效用值定义为参与人认为与xi无差异的赌博的期望效用 U(xi) = i · U(xn) + (1 - i) · U(x1)

  14. 冯·诺伊曼－摩根斯坦定理 • 因为 U(xn) = 1，U(x1) = 0 U(xi) = i · 1 + (1 - i) · 0 = i • 任何一个其他奖金的效用值为赢得其的概率 • 注意这种效用数字的选择是任意的

  15. 期望效用最大化 • 理性参与人利用期望效用选择赌博 (冯·诺伊曼－摩根斯坦效用指数的期望值)

  16. 期望效用最大化 • 考虑两个赌博: • 第一个以概率q获得x2，概率(1-q)获得x3 期望效用 (1) = q · U(x2) + (1-q) · U(x3) • 第二个以概率 t 获得x5，概率(1-t)获得x6 期望效用 (2) = t · U(x5) + (1-t) · U(x6)

  17. 期望效用最大化 • 带入效用指数 期望效用 (1) = q · 2+ (1-q) · 3 期望效用 (2) = t · 5+ (1-t) · 6 • 相对于 2 参与人偏好 1 ，当且仅当 q · 2+ (1-q) · 3 > t · 5+ (1-t) · 6

  18. 期望效用最大化 • 在不确定的环境中，如果参与人的行为遵守冯·诺伊曼－摩根斯坦公理, 他们的行为看起来仿佛是选择可以获得最大的冯·诺伊曼－摩根斯坦效用指数期望值的彩票

  19. 风险规避 • 两个彩票可能有相同的期望值，但是风险是不同的 • 掷硬币，奖金是￥1 对￥1,000 • 风险 指的是某个不确定行为结果的可变性 • 当两个赌博具有相同的期望值时, 参与人会选择风险小的

  20. 风险规避 • 一般来说, 我们假定财富的边际效用递减 • 掷硬币，奖金为￥1,000，那么获胜时候效用增量较小，损失时候效用增量较大 • 掷硬币，奖金为￥1，那么获胜时候效用增量与损失时候效用增量相差不大

  21. U(W) 是冯·诺伊曼－摩根斯坦效用指数， 反映了参与人对于财富价值的个人评判 U(W) 风险规避 效用 (U) 这个曲线是凹的，表示财富的 边际效用递减 财富 (W)

  22. 假定W* 是参与人当前收入水平 U(W*) U(W*) 是参与人当前 效用水平 W* 风险规避 效用 (U) U(W) 财富 (W)

  23. 风险规避 • 假定参与人面对两个公平赌博: • 50-50 的机会赢得或损失 ￥h Uh(W*) = ½ U(W* + h) + ½ U(W* - h) • 50-50的机会赢得或损失 ￥ 2h U2h(W*) = ½ U(W* + 2h) + ½ U(W* - 2h)

  24. 赌博 1 的期望效用是Uh(W*) Uh(W*) W* - h W* + h 风险规避 效用 (U) U(W) U(W*) 财富 (W) W*

  25. 赌博 2 的期望效用是 U2h(W*) U2h(W*) W* - 2h W* + 2h 风险规避 效用 (U) U(W) U(W*) 财富(W) W*

  26. 风险规避 U(W*) > Uh(W*) > U2h(W*) 效用 (U) U(W) U(W*) Uh(W*) U2h(W*) 财富 (W) W* - 2h W* - h W* W* + h W* + 2h

  27. 风险规避 • 相对于附加上公平博弈的现有财富，参与人偏好于现有财富 • 参与人偏好小的赌博

  28. 风险规避和保险 • 参与人可能希望付一些钱避免参与赌博 • 这解释了为什么一些参与人购买保险

  29. W ” 与参加赌博 1 效用相同 W ” 风险规避和保险 效用 (U) U(W) U(W*) 参与人最多愿意支付 W* - W ” 避免参加赌博 Uh(W*) 财富(W) W* - h W* W* + h

  30. 风险规避和保险 • 总是拒绝公平赌博的参与人是 风险规避 • 体现了收入的边际效用递减 • 愿意为避免参加公平赌博支付

  31. 对保险的支付意愿 • 考虑一个人，当前财富是 ￥100,000 ，有 25% 的可能性损失 ￥20,000 • 假定参与人冯·诺伊曼－摩根斯坦效用指数为 U(W) = ln (W)

  32. 对保险的支付意愿 • 参与人的期望效用 E(U) = 0.75U(100,000) + 0.25U(80,000) E(U) = 0.75 ln(100,000) + 0.25 ln(80,000) E(U) = 11.45714 • 此时, 公平的保费是 ￥5,000 (￥20,000的25% )

  33. 对保险的支付意愿 • 参与人愿意 ￥5,000 以上避免参加赌博。他愿意支付多少? E(U) = U(100,000 - x) = ln(100,000 - x) = 11.45714 100,000 - x = e11.45714 x = 5,426 • 最大保费是 ￥5,426

  34. 风险规避的测量 • 最常用的测量风险规避的方法由 Pratt 提出 • 对于风险规避的参与人, U”(W) < 0 • 对于风险规避的参与人，r(W)为正 • r(W) 不受到冯·诺伊曼－摩根斯坦效用指数的影响

  35. 风险规避的测量 • 风险规避的Pratt 测量与参与人为了避免参加公平赌博所愿意支付的量成正比

  36. 风险规避的测量 • 令h表示公平赌博获胜奖金 E(h) = 0 • 令 p表示参与人愿意支付的最大保费 E[U(W + h)] = U(W - p)

  37. 风险规避的测量 • 我们将两边泰勒展开 • 因为 p是一个固定量, 我们可以对右面线性近似 U(W - p) = U(W) - pU’(W) + 高阶项

  38. 风险规避的测量 • 对左边, 我们展开二次项，从而可以考虑赌博(h)的波动 E[U(W + h)] = E[U(W) - hU’(W) + h2/2 U”(W) + 高阶项 E[U(W + h)] = U(W) - E(h)U’(W) + E(h2)/2 U”(W) + 高阶项

  39. 风险规避的测量 • E(h)=0, 丢掉高阶项, 将E(h2)/2替换为 k

  40. 风险规避和财富 • 随着财富增加，风险规避不一定下降 • 边际效用递减使得财富更多的参与人认为潜在损失不严重 • 不过, 边际效用递减也使得获胜奖吸引力变小 • 净结果依赖于效用函数的形状

  41. 风险规避和财富 • 如果效用函数对于财富是二次的 U(W) = a + bW + cW 2 其中 b > 0，c < 0 • Pratt 风险规避系数 • 随着财富增加，风险规避增加

  42. 风险规避和财富 • 如果效用是对数形式 U(W) = ln (W ) 其中 W > 0 • Pratt 风险规避系数 • 随着财富增加，风险规避下降

  43. 风险规避和财富 • 如果效用是指数 U(W) = -e-AW = -exp (-AW) 其中 A是正常数 • Pratt 风险规避系数 • 随着财富增加，风险规避是常数

  44. 相对风险规避 • 避免参加一个赌博的支付意愿独立于财富看起来不太合理 • 一个更加吸引人的假设是支付意愿和财富成反比

  45. 相对风险规避 • 相对风险规避 公式

  46. 相对风险规避 • 幂函数 U(W) = WR/R对于 R < 1,  0 展示了递减的绝对风险规避 相对风险规避为常数

  47. 依状态偏好方法 • 本章到目前为止考虑的方法与其他章的方法不同 • 没有利用基本的预算约束条件下效用最大化模型 • 需要开发新的技术合并进标准的选择理论框架中

  48. 世界状态 • 任何一个随机事件的结果可以概括进 一系列 世界状态 • “好日子” 或者 “坏日子” • 或有商品 是一些特殊商品，仅仅在一个特定世界状态发生的时候体现 • “好日子的￥1” 或者 “坏日子的￥1”

  49. 世界状态 • 参与人可以购买或有商品 • 购买一个承诺， 某人会在明天是好日子的情况下支付给你￥1 • 这个商品很可能不能卖到￥1

  50. 效用分析 • 假定有两种或有商品 • 好日子的财富 (Wg) 和坏日子的财富 (Wb) • 参与人相信好日子发生的概率为 

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