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탐욕적인 방법 (Greedy Approach)

탐욕적인 방법 (Greedy Approach). 탐욕적인 알고리즘 ?. Greedy algorithm 결정을 해야 할 때마다 미래에 대한 생각 없이 그 순간에 가장 최선의 선택 을 하는 알고리즘 순간 선택은 그 당시 최적 (locally optimal) 이다 . 하지만 , 최종적으로 최적 (globally optimal) 이라는 보장은 없다 . 따라서 , 탐욕적인 알고리즘은 항상 최적의 해를 주는지 검증해야 한다. 탐욕적인 알고리즘 설계 절차. 선정과정 (selection procedure)

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탐욕적인 방법 (Greedy Approach)

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Presentation Transcript

  1. 탐욕적인 방법(Greedy Approach)

  2. 탐욕적인 알고리즘? • Greedy algorithm • 결정을 해야 할 때마다 미래에 대한 생각 없이 그 순간에 가장 최선의 선택을 하는 알고리즘 • 순간 선택은 그 당시 최적(locally optimal)이다. • 하지만, 최종적으로 최적(globally optimal)이라는 보장은 없다. • 따라서, 탐욕적인 알고리즘은 항상 최적의 해를 주는지 검증해야 한다.

  3. 탐욕적인 알고리즘 설계 절차 • 선정과정(selection procedure) • 현재 상태에서 가장 좋으리라고 생각되는(greedy) 해답을 찾아서 해답모음(solution set)에 포함시킨다. • 적정성점검(feasibility check) • 새로 얻은 해답모음이 적절한지를 결정한다. • 해답점검(solution check) • 새로 얻은 해답모음이 최적의 해인지를 결정한다.

  4. 거스름돈 문제 • 문제: 동전의 개수가 최소가 되도록 거스름 돈을 주자. • 탐욕적인 알고리즘 • 거스름돈을 x라 하자. • 먼저, 가치가 가장 높은 동전부터 x가 초과되지 않도록 계속 내준다. • 이 과정을 가치가 높은 동전부터 내림순으로 총액이 정확히 x가 될 때까지 계속한다. • 최적일까? • 미국? • 우리나라?

  5. 36 센트 거슬러 주기

  6. 16 센트 거슬러주기 (12센트 동전이 있을때)

  7. 우리나라의 경우 (210원에 대한 거스름) • 현재의 동전체계 • 100원, 100원, 10원 • 120원짜리 동전이 있다면? • 120원, 50원, 10원x4개

  8. 신장 트리(Spanning Tree)

  9. 그래프 용어 복습 • 비방향성 그래프(undirected graph) • G = (V,E) • V는 정점(vertex)의 집합 • E는 이음선(edge)의 집합 • 경로(path) • 연결된 그래프(connected graph) • 어떠한 두 정점 사이에도 경로가 존재 • 부분그래프(subgraph) • 가중치 포함 그래프(weighted graph) • 순환경로(cycle) • 순환적 그래프(cyclic graph), 비순환적 그래프(acyclic graph). • 트리(tree) • 비순환적이며, 비방향성 그래프 • 뿌리 있는 트리(rooted tree) • 한 정점이 뿌리로 지정된 트리

  10. 연결된 가중치 비방향 그래프

  11. 신장트리 (Spanning Tree) • 연결된, 비방향성 그래프 G에서 순환경로를 제거하면서 연결된 부분그래프가 되도록 이음선을 제거하면 신장 트리(spanning tree)가 된다. • 따라서 신장 트리는 G안에 있는 모든 정점을 다 포함하면서 트리가 되는 연결된 부분그래프이다.

  12. 최소비용 신장 트리(Minimum Spanning Tree) • 신장 트리가 되는 G의 부분그래프 중에서 가중치가 최소가 되는 부분그래프를 최소비용 신장 트리(minimum spanning tree)라고 한다. • 최소의 가중치를 가진 부분그래프는 반드시 트리가 되어야 한다. 왜냐하면, 만약 트리가 아니라면, 분명히 순환경로(cycle)가 있을 것이고, 그렇게 되면 순환경로 상의 한 이음선을 제거하면 더 작은 비용의 신장 트리가 되기 때문이다. • 최소비용 신장 트리를 구하는 무작정 알고리즘의 시간복잡도는 지수시간 이상이다.

  13. 최소비용 신장 트리(MST)의 예 • 도로 건설 • 도시들을 모두 연결하면서 도로의 길이가 최소가 되도록 하는 문제 • 통신(telecommunications) • 전화선의 길이가 최소가 되도록 전화 케이블 망을 구성하는 문제 • 배관(plumbing) • 파이프의 총 길이가 최소가 되도록 연결하는 문제

  14. 탐욕적 알고리즘: 최소비용 신장 트리 • 추상적 기술 • F = ∅ • 사례가 해결될 때까지 다음을 반복 • 지역적으로 최적인 간선을 선택한다. (선정절차) • 선택한 간선이 순환경로를 만드는지 검사한다. (적정성 검사) • 만들지 않으면 F에 추가한다. • T = (V, F)가 신장 트리 인지 검사한다. (해답 검사)

  15. Prim의 알고리즘(추상적 기술) • F = ∅ • Y = {v1} • 사례가 해결될 때까지 다음을 반복 • V-Y에서 가장 Y와 가까운 정점을 선택한다. (선정절차 + 적정성 검사) • 선택한 정점을 Y에 추가하고, 해당 간선을 F에 추가한다. • Y = V이면 종료한다. (해답 검사)

  16. Prim의 알고리즘(세부적 기술) • Prim 알고리즘의 자료구조 • 인접행렬W[i][j]: Floyd의 최단경로 알고리즘에서 사용한 행렬과 같은 행렬 (n × n 행렬) • nearest[i]: Y에 속한 정점 중 vi와 가장 가까운 정점의 색인 • distance[i]: vi와 nearest[i]를 잇는 간선의 가중치

  17. Prim의 알고리즘

  18. Prim의 알고리즘

  19. Prim의 알고리즘

  20. Prim의 알고리즘 분석 • 모든 경우 시간 복잡도 분석 • 단위 연산: 비교 연산 • 입력크기: n • 분석 • for(j=1; j<=n-1; j++)문: (n-1)번 반복 • 2개의 for(i=2; i<=n; i++)문: 각 (n-1)번 반복

  21. 최적 여부의 검증(Optimality Proof) • 정의:비방향 그래프 G = (V, E)가 주어졌을 때, E의 부분집합 F에 MST가 되도록 간선을 추가할 수 있으면 F는 유망하다(promising)고 한다. • 보조정리:G = (V, E)가 연결된 가중치 비방향 그래프이고, F가 E의 유망한 부분집합이며, Y는 F에 의해 연결되는 정점들의 집합이라 하자. Y와 V-Y를 연결하는 간선 중 가중치가 최소인 간선이 e라고 하면, F∪{e}는 유망한 부분집합이다. • 증명:F가 유망한 집합이므로 F ⊆ F'이고 (V, F')이 G의 MST인 F'이 존재한다. 이 때 e ∈ F' 이면 F∪{e} ⊆ F'이다. 이것이 성립하지 않는다고 하자. (V, F')은 MST이므로 e가 F'에 포함되지 않으면 F'∪{e}는 순환 경로를 가지게 된다. 따라서 Y와 V-Y를 연결하는 또 다른 간선 e'이 F'에 있어야 한다. 그러므로 F'∪{e}에서 e'을 제거하면 ST가 된다. e의 가중치는 e'보다는 같거나 작기 때문에 F'∪{e}-e'은 MST이다. 그런데 F∪{e} ⊆ F'∪{e}-e'이다. 즉, F∪{e}는 유망하다.

  22. 최적 여부의 검증(Optimality Proof) • 정리: Prim의 알고리즘은 항상 최소비용 신장 트리를 만들어 낸다. • 증명: (수학적귀납법) 매번 반복이 수행된 후에 집합 F가 유망하다는 것을 보이면 된다. • 출발점: 공집합은 당연히 유망하다. • 귀납가정: 어떤 주어진 반복이 이루어진 후, 그때까지 선정하였던 이음선의 집합인 F가 유망하다고 가정한다 • 귀납절차: 집합 F ∪ {e}가 유망하다는 것을 보이면 된다. 여기서 e는 다음 단계의 반복 수행 시 선정된 이음선 이다. 그런데, 위의 보조정리에 의하여 F ∪ {e}은 유망하다고 할 수 있다. 왜냐하면 이음선 e는 Y에 있는 어떤 정점을 V - Y에 있는 어떤 정점으로 잇는 이음선 중에서 최소의 가중치를 가지고 있기 때문이다. Q.E.D.

  23. Kruskal의 알고리즘 • 아이디어 • 단계 1. 각 정점 하나만을 포함하는 n개의 집합을 만든다. • 단계 2. 모든 간선을 가중치 값을 기준으로 오름차순으로 정렬한다. • 단계 3. 가중치가 가장 작은 것부터 검사하여 간선이 서로소(disjoint)인 두 집합을 연결하면 그 간선을 F에 추가하고, 연결된 두 집합을 하나의 집합으로 결합한다. • 단계 4. F가 MST가 될 때까지 단계 3을 반복한다.

  24. Kruskal의 알고리즘

  25. Kruskal의 알고리즘

  26. Kruskal의 알고리즘 분석 • 단위연산: 비교 • 입력크기: 정점의 수 n, 간선의 수 m • 간선 정렬 시간: Θ(mlgm) • while루프: Θ(mlgm) • V[i]집합 초기화 시간: Θ(n) • n < m, W(m,n) = Θ(mlgm) • m이 최악의 경우일 때, • 최적 여부의 검증(Optimality Proof) • 과제

  27. Prim vs. Kruskal

  28. 단일 출발점 최단경로 문제 • Floyd의 최단경로 알고리즘 • 모든 정점간의 최단 경로 • 시간복잡도? • Dijkstra 알고리즘 • 단일 출발점 최단 경로(Single-source shortest path) • Prim의 MST 알고리즘과 유사 • 자료구조 • W[i][j] • touch[i]: Y에 있는 정점들만을 이용하여 v1에서 vi로 가는 현재 최단경로 상의 마지막 간선 (v, vi)라고 할 때, Y에 있는 정점 v의 색인 • length[i]: Y에 있는 정점들만을 이용하여 v1에서 vi로 가는 현재 최단경로의 길이

  29. Dijkstra 알고리즘

  30. Dijkstra 알고리즘

  31. Dijkstra 알고리즘

  32. Prim 알고리즘

  33. 기말 프로젝트 • 12/3 까지 • 그래프 알고리즘 구현 • Floyd, Prim, Kruskal, Dijkstra, TSP 중 택 1 • 이 외의 주제를 하고자 할 경우, 미리 상담 • 언어 사용 자유 • 발표 (5분) • 발표 슬라이드 + 프로그램 데모 • 적절한 사례를 선택

  34. 스케줄링 • 시스템 내부 시간(time in the system) • 서비스를 받기 위해 대기하는 시간 + 서비스를 받는 시간 • 스케줄링 문제: 모든 사용자의 전체 시스템 내부 시간이 최소화되도록 일정을 구성하는 문제 • 마감시간이 있는 스케줄링 문제 • 서비스를 받는 시간은 작업마다 항상 같지만 각 작업마다 마감시간(서비스가 반드시 시작되어야 하는 시간)이 다르며, 발생되는 이윤이 다른 경우 • 3개의 작업에 소요되는 시간 5, 10, 4 • [1, 2, 3]: 5+(5+10)+(5+10+4) = 39, [1, 3, 2]: 33 • [2, 1, 3]: 10+(10+5)+(10+5+4) = 44, [2, 3, 1]: 43 • [3, 1, 2]: 4+(4+5)+(4+5+10) = 32, [3, 2, 1]: 37

  35. 스케줄링: 탐욕적인 알고리즘 증명 • (정리) 시스템 내부 시간의 총 시간이 최소가 되도록 하는 유일한 스케줄은 작업의 서비스 시간에 따라 오름차순으로 구성한 스케줄이다. • (증명) 최적의 스케줄 T에서 ti가 i번째로 스케줄 된 작업의 서비스 시간이라 하자. 이 최적의 스케줄이 서비스 시간에 따라 오름차순으로 구성되어 있지 않다고 하면 ti>ti+1인 부분스케줄이 존재한다. T에서 이 두 작업의 순서만을 바꾼 스케줄을 T'이라 하면 다음이 성립한다. T' = T+ti+1-ti 그런데 ti>ti+1이므로 T'<T이다. 따라서 오름차순으로 구성하지 않은 스케줄은 최적의 스케줄이 될 수 없다.

  36. 마감시간이 있는 스케줄

  37. 마감시간이 있는 스케줄 • 무작정 알고리즘의 시간복잡도? • 이익이 가장 큰 것은 최적 스케줄에 포함되었지만 두 번째는 포함되지 않았다. 그 이유는 작업 4와 작업 2의 마감시간이 같아 둘 중 하나만 포함할 수 있기 때문이다.

  38. 마감시간이 있는 스케줄링 알고리즘 • 이익을 기준으로 오름차순으로 작업을 정렬한다. • 정렬된 순서로 작업을 선택한다. • 선택한 작업이 적정성을 검사한다. 가능한 스케줄이면 스케줄에 포함한다. • 고려할 작업이 남아 있으면 단계 2부터 다시 반복한다.

  39. 마감시간이 있는 스케줄링 알고리즘

  40. 허프만 코드(Huffman Code) • a, b, c를 코드화 할 수 있는 방법? • (고정 2비트 코드) a:00 b:01 c:11 • (길이가 변하는 코드) a:10 b:0 c:11 • Ex) ababcbbbc • 000100011101010111 • 1001001100011

  41. 허프만 알고리즘

  42. 탐욕적 방법 Vs. 동적 프로그래밍 • 최적화 문제를 위해 사용할 수 있는 기법 • 보통 탐욕적 방법이 보다 효율적 • 탐욕적 방법은 알고리즘의 결과가 최적인지 증명 • 동적 프로그래밍은 최적화 문제가 최적의 원칙에 적용되는지 검사

  43. 0-1 배낭 채우기 문제 • 0-1 Knapsack problem • S = {item1, item2, …, itemn} • wi: itemi의 무게 • pi: itemi의 가치 • W: 배낭이 수용할 수 있는 총 무게 • A: S의 부분집합으로 선택된 item들의 집합 • 목표: 를 만족하면서 가 최대가 되도록 A⊆S를 만든다. • 0-1? itemi는 A에 포함되거나 포함되지 않는다. • 무작정 알고리즘 • S의 가능한 모든 부분집합을 고려한다. • 시간 복잡도?

  44. 탐욕적 알고리즘 -첫번째 • 가장 비싼 item 순으로 채운다. • 최적? • 30kg

  45. 탐욕적 알고리즘 - 두번째 • 가장 무게가 적은 item순으로 채운다. • 최적? • 30kg

  46. 탐욕적 알고리즘 - 세번째 • 무게당 가치가 가장 높은 물건부터 채운다. • 최적? • 30kg

  47. 만약, 빈틈없이 채우기라면? • 배낭 빈틈없이 채우기 문제: item의 일부도 담을 수 있다. • 금괴 vs. 금가루 • 탐욕적 알고리즘 3이 최적이다.

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